2017年春中考数学总复习《圆》单元测试(六)含答案
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径 点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点 且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图 在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上 以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径 弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点） 过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图 则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不 合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图 取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值 最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。
2017年中考数学试卷汇编——圆(带答案)
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圆的有关性质一、选择题1．（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD,AD 分别与BC,OC相交于点E，F,则下列结论：①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角,∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC,再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC;④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边,所以不一定全等．【解答】解:①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC,∴CB平分∠ABD,④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°,∵点O为圆心，∴AF=DF，⑤、由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF,⑥∵△CEF和△BED中,没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选D【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．2．（2016·山东省德州市·3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股（长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少?"（ ）A．3步B．5步C．6步D．8步【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】圆的有关概念及性质．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．【解答】解:根据勾股定理得：斜边为=17,则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步,故选C【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r=．（2016·山东省济宁市·3分)如图，在⊙O中， =，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）3．A．40°B．30°C．20°D．15°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°,再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中， =，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选C．4. （2016·云南省昆明市·4分）如图,AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G,EF切⊙O 于点B，∠A=30°,连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（ ）A．EF∥CD B．△COB是等边三角形C．CG=DG D．的长为π【考点】弧长的计算；切线的性质．【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据垂径定理判断C;利用弧长公式计算出的长判断D．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴AB⊥EF,又AB⊥CD,∴EF∥CD，A正确；∵AB⊥弦CD，∴=,∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD,∴△COB是等边三角形，B正确；∵AB⊥弦CD，∴CG=DG，C正确；的长为： =π,D错误,故选：D．5。
中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷(附答案)
中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷(附答案)一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的面积等于（）A．2πB．√2πC．2√2πD．√22π2．如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8)，点C、F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，E点的坐标是（）A．(0,103)B．(0,83)C．(0,2)D．(0,52)3．下列四边形中一定有外接圆的是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形4．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（）个：①AF=BG；②CG=CH；③AB+CD=AD+BC；④BG＜CG．A．1B．2C．3D．45．如图，圆内接四边形ABCD中AB＝AC，AC⊙BD，则⊙DAC是⊙BAC的（）A．12B．13C．23D．256．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为12，∠B=135°，则AC⌢的长为（）A．6πB．12πC．2πD．3π7．如图，⊙ABC内接于⊙O，⊙B＝65°，⊙C＝70°．若BC＝3 √2，则弧BC的长为（）A．34πB．32πC．92πD．3 √2π8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD̂上一点，且DF̂= BĈ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若⊙ABC=105°，⊙BAC=30°，则⊙E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°9．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．⊙APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．10．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为()A．2 cm B．√3cm C．2√3 cm D．2√5 cm11．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）.若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中这个六边形的顶点A，B，C，D，E，F中会过点（2017，2）的是（）A．点A B．点C C．点E D．点F12．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是AB 上方半圆上的一点，点D 是AB 下方半圆的中点，连接AC，BC，AD，过点 D 作DE⊙AB 交CB 的延长线于点 E.若AD= 5 √2，则AC·CE的最大值为（）A．50B．50 √2C．100D．75 √2二、填空题(共6题；共6分)13．如图，四边形内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=46°，则∠A的度数为．14．如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，⊙AEC=37°，⊙CAE=31°，则⊙APB的度数为．15．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A=110°，则∠DCE 的度数为°．16．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若⊙ABC＝65°，则⊙ACD＝°.17．如图，已知正⊙ABC的边长为9，⊙O是它的内切圆，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）18．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC.若AB＝BC，⊙B＝40°，则⊙OCB ＝.三、综合题(共6题；共56分)19．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：∠E=∠B；（2）连接AD．若CE=4√5，BC=8求AD的长．20．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E.（1）求证：∠CAD=∠CDE（2）若CD=6，tan∠BAD=√2求⊙O的半径.21．如图，在△ABC中AC=BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB=ED．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）若AF=2，tanA=2求BE的长．22．如图，在Rt△ABC中∠C=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AD：AE=5：6和BC=10求BD的长.23．如图1，在平面直角坐标系xOy中A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为：AB= √(x2−x1)2+(y2−y1)2我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中A （x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．（1）问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．（2）综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使⊙POA=30°，作PD⊙OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．①证明：AB是⊙P的切线；②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．24．（1）解方程：x(x−4)=−2(x−4)（2）已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，设⊙O的半径为r，求AC的长．参考答案1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】D12．【答案】C13．【答案】46°14．【答案】99°15．【答案】110°16．【答案】4017．【答案】27√3−9π418．【答案】20°19．【答案】（1）证明：连接OC如图：OD⊙CB∴OB=OC，⊙B=OCD又CE为圆O的切线∴OC⊙CE∴⊙ECD+⊙DCO=⊙ECD+⊙E=90°∴⊙E=⊙DCO=⊙B∴⊙E=⊙B（2）解：连接AD如图∵⊙EDC为Rt⊙∴DE=√EC2−DC2=√(4√5)2−42=8由（1）得⊙E=⊙B又AB为直径∴⊙BCA=90°在⊙CED和⊙ABC中∵{∠B=∠E∠EDC=∠BCAED=BC∴⊙CED⊙⊙ABC（AAS）∴AC=DC=12BC=420．【答案】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，点A为切点∴∠OAE=90°，∴∠OAD+∠DAE=90°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°∴∠B+∠OAD=90°，∴∠B=∠DAE∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠DAE∵∠ODB=∠CDE，∴∠CDE=∠CAD；（2）解：∵∠BAD+∠DAE=90°，∠AEB+∠B=90°，∠BAD=∠B ∴∠BAD=∠AED∵tan∠BAD=√2∴tan∠AED =AB AE =AD DE =√2 ∵∠C =∠C ，∠CDE =∠CAD∴ΔCDE ∼ΔCAD∴CA CD =CD CE =AD DE∵CD =6，∴CA 6=6CE=√2 ∴CA =6√2，CE =3√2，∴AE =CA −CE =3√2 ∴AB 3√2=√2，∴AB =6 ∴OB =12AB =3，∴⊙O 的半径为3. 21．【答案】（1）证明：∵AC=BC ，EB=ED ∴⊙A=⊙ABC ，⊙D=⊙EBD∵CD⊙AC∴⊙A+⊙D=90°∴⊙ABC+⊙EBD=90°∴⊙CBE=90°∵BC 是⊙O 的直径．∴BE 是⊙O 的切线．（2）解：连接BF∵BC 是⊙O 的直径．∴⊙BFC=⊙BFA=90° 在Rt⊙ABF 中tanA=BF AF =BF 2=2 ∴BF=4设CF=x ，则AC=BC=x+2在Rt⊙BCF 中即(x +2)2=x 2+42∴x=3∴CF=3，BC=5∵⊙ACB=⊙AFB=90°∴BF⊙CD∴⊙1=⊙2又∵⊙CFB=⊙EBC=90°∴⊙CFB⊙⊙EBC∴FC BE =FB BC∴3BE =45∴BE=15422．【答案】（1）证明：连接OD∵点D 在⊙O 上∴OD =OA∴∠A =∠ADO∵∠C =90°∴∠CDB +∠CBD =90°∵∠CBD =∠A =∠ADO∴∠CDB +∠ADO =90°∴∠ODB =90°，即OD ⊥BD∵点D 在⊙O 上∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：连接DE∵∠ADE =90°=∠C ，∠CBD =∠A∴△ADE ∽△BCD∴ADBC=AEBD，即ADAE=BCBD∵ADAE=56，BC=10∴BD=12.23．【答案】（1）（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（2）解：①∵PO=PA PD⊙OA∴⊙OPD=⊙APD在⊙POB和⊙PAB中{PO=PA ∠OPB=∠APB PB=PB∴⊙POB⊙⊙PAB∴⊙PAB=⊙POB=90°∴PA⊙AB∴AB是⊙P的切线②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q 当点Q在线段BP中点时∵⊙POB=⊙PAB=90°∴QO=QP=QA=QB∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等∵PB⊙OA，⊙POB=90°，⊙POA=30°∴⊙PBO=30°．∴在Rt⊙POB中OP=6∴OB= √3OP=6 √3，PB=2PO=12∴B点坐标为（6 √3，0）∵Q是PB中点，P（0，6），B（6 √3，0）∴Q点坐标为（3 √3，3）∴OQ= 12PB=6∴以Q为圆心，OQ为半径的⊙Q的方程为（x﹣3 √3）2+（y﹣3）2=36 24．【答案】（1）解：x(x−4)+2(x−4)=0，∴x2−2x−8=0∴(x+2)(x−4)=0解得：x1=−2，x2=4（2）解：连接OC，如图：∵AB是直径∴AB⊥CD∴42+(r−2)2=r2即r=5∴AF=2r−2=8∴由勾股定理得AC=√42+82=4√5.。
中考数学总复习《圆的综合题》练习题及答案
中考数学总复习《圆的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．△ABC是△O内接三角形，△BOC=80°，那么△A等于（）A．80°B．40°C．140°D．40°或140°2．如图，把直径为60cm的圆形车轮（⊙O）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（）A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为30πcmB．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为60πcmC．当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆心O运动的路径的长为7.5πcmD．当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆心O运动的路径的长为45πcm3．下列说法正确的是（）A．垂直于弦的直线必经过圆心B．平分弦的直径垂直于弦C．平分弧的直径平分弧所对的弦D．同一平面内，三点确定一个圆4．一根钢管放在V形架内，横截面如图所示，钢管的半径是6，若∠ACB=60°，则阴影部分的面积是（）A．18√3−12πB．36√3−12πC．18√3−6πD．36√3−24π5．半径为2cm 的△O中有长为2√3cm的弦AB，则弦AB所对的圆周角度数为() A．60°B．90°C．60°或120°D．45°或90°6．如图，A点在半径为2的△O上，过线段OA上的一点P作直线l，与△O过A点的切线交于点B，且△APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的△O交BC边于点D，交AC边于点E，连结DE。
下列五个结论：①BD=DE；②△CDE是等腰三角形；③2DE2=CA·CE；④DE=AB·sinB；⑤S△DECS△ABC=cos2C。
2017版山西地区中考数学《第六章圆》自我测试含答案
一、选择题
1． 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为
2， 则其内切圆半径的长为 ( C )
A． 2 2－ 1 B． 2 2－ 2 C． 2－ 2 D . 2－ 1
︵ 2． (2016 ·成都 )如图 ， AB 为⊙ O 的直径 ， 点 C 在⊙ O 上， 若∠ OCA ＝ 50° ， AB ＝ 4， 则 BC
(1) 证明：如图 ， 连接 OD ，
∵BD 为∠ ABC 平分线 ，∴∠ 1＝∠ 2，∵ OB＝ OD ，∴∠ 1＝∠ 3，∴∠ 2＝∠ 3，∴OD∥ BC， ∵∠ C＝90° ， ∴∠ ODA ＝ 90° ，则 AC 为⊙ O 的切线； (2) 解：如图 ， 过 O 作 OG ⊥ BC ，垂足为 G， 连接 OE， 由 (1)可知四边形 ODCG 为矩形 ， ∴ GC＝ OD ＝ OB＝ 10， OG ＝CD＝ 8， 在 Rt△ OBG 中 ， 由勾股定理得： BG＝ 6，∵ OG ⊥ BE ， OB＝ OE， ∴ BE＝ 2BG＝ 12.解得 BE ＝12
第 10 题图
第 11 题图
11．如图 ，已知 P 是⊙ O 外一点 ，Q 是⊙ O 上的动点 ，线段 PQ 的中点为 M ，连接 OP，OM ， 若⊙ O 的半径为 2， OP＝ 4，则线段 OM 的最小值是 __1__． (导学号 02052445) 解析：如图 ， 设 OP 与⊙ O 交于点 N，
2π 3
，在直角△
ABC
中 ，BC ＝AB·sin60°＝ 2×
23＝
1 3，AC ＝ 1，∴ S△ABC ＝ S△ADE ＝ 2AC·BC
＝12× 1×
3＝
3 2 ，扇形
CAE 的面积是：
60π × 360
中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。
2017中考数学全国试题汇编------圆(含详细解析)
FhseFhee2017中考数学全国试题汇编-■■■■■圆24 （2017.北京）如图，AB是LI O的一条弦,LI O的切线交CE的延长线于点D .（1）求证：DB 二DE ；（2）若AB =12, BD =5，求LI O 的半径.【解析】E是AB的中点，过点E作EC_OA于点C ,过点B作试题分析：（1）由切线性质及等量代换推出/ 4=7 5,再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin7 DEF和sin7 AOE的值，禾用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）证明：T DC 丄OA, A / 1 + 7 3=90°, v BD 为切线，二OB 丄BD, /-Z 2+7 5=90°, v OA=OB, •••7 1=7 2，v/ 3=7 4，A/ 4=7 5,在厶DEB中, 7 4=7 5，A DE=DB.⑵作DF丄AB 于F,连接OE, ・，.EF^-EE=3/在RTADEF中，EA3, DE=BD=5J EQ3 , J.f~nj jQ-F* 4Y彗一3 =斗——=-3「.在irrAAOE 中rDE5TAEh,二曲二二■ ■考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数27 （2017甘肃白银）•如图，AN是L M的直径，NB//X轴, ~A OAB交L M于点C .(1)若点A 0,6 , N 0,2厂ABN =30°，求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是L M的切线.解：(1)v A 的坐标为(0, 6), N (0, 2)••• AN=4, .............................................................................................................. 1 分vZ ABN=30°, / ANB=90°,••• AB=2AN=8, ...................................................................................................... 2分•••由勾股定理可知：NB=4..3 ,••• B ( 4 3 , 2) ....................................................... 3 分(2)连接MC , NC ........................................................................................... 4 分v AN是O M的直径,•••Z ACN=90°°•••Z NCB=90° ° ................................................................................................... 5 分在Rt A NCB中,D为NB的中点,1•CD= = N B=ND ,2•Z CND=Z NCD, .............................. 6 分v MC=MN ,•Z MCN=Z MNC.vZ MNC+Z CND=90°°• Z MCN+Z NCD=90° ° ...................... 7 分即MC I CD.•直线CD是。
中考数学专题复习《圆的阅读理解题》测试卷(附带参考答案)
中考数学专题复习《圆的阅读理解题》测试卷（附带参考答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．请阅读下列材料 并完成相应的任务：斯库顿定理：如图1．在ABC 中 AD 为BAC ∠的平分线 则2··AD BD DC AB AC +=．下面是该定理的证明过程： 证明：如图2O 是ABC 的外接圆 延长AD 交O 于点E 连接BE ．∵AD 为BAC ∠的平分线 ∵BAE DAC ∠=∠．∵E C ∠=∠ （依据∵__________________________） ABE ADC ∴△∽△．（依据∵_________________________） AB ADAE AC∴= AD AE AB AC ∴⋅=⋅又AE AD DE =+()AD AD DE AB AC ∴⋅+=⋅．2AD AD DE AB AC ∴+⋅=⋅．……任务：（1）证明过程中的依据是：∵__________________________________． ∵__________________________________． （2）将证明过程补充完整：（3）如图3．在圆内接四边形ACEB 中 对角线AE BC 相交于点D ．若BE CE = 4AC =6AB=2BD=请利用斯库顿定理直接写出线段AE的长．CD=32．如图1 正五边形ABCDE内接于∵O阅读以下作图过程并回答下列问题作法：如图2 ∵作直径AF∵以F为圆心FO为半径作圆弧与∵O交于点M N∵连接AM MN NA．,,∠的度数．(1)求ABC(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始以DN长为半径在∵O上依次截取点再依次连接这些分点得到正n边形求n的值．3．阅读与应用请阅读下列材料完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者著名的天文学家地理学家占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1 四边形ABCD 内接于O ．求证：AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅．证明：如图2 作BAE CAD ∠=∠交BD 于点E ．∵AD AD = ∵ABE ACD ∠=∠．（依据） ∵ABE ACD ∽△△．∵AB BEAC CD=．AB DC AC BE ⋅=⋅． …∵ABC AED ∽△△． ∵AC BCAD ED=．∵AD BC AC ED ⋅=⋅． ∵AB DC AC BE ⋅=⋅∵()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅． ∵AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______ (2)补全证明过程(3)如图3 O的内接五边形ABCDE的边长都为2 求对角线BD的长．4．阅读与思考请阅读下列材料,并按要求完成相应的任务．阿基米德是伟大的古希腊数学家哲学家物理学家他与牛顿高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理其中第三个引⊥于点C点D在弦AB上且理是：如图1 AB是O的弦点P在O上PC AB=．小明思考后给出如=在PB上取一点Q使PQ PAAC CD=连接BQ则BQ BD下证明：任务：(1)写出小明证明过程中的依据： 依据1：________ 依据2：________(2)请你将小明的证明过程补充完整(3)小亮想到了不同的证明方法：如图3 连接AP PD PQ DQ ．请你按照小亮的证明思路 写出证明过程．5．阅读资料：我们把顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 如图1中CBD ∠即为弦切角．同学们研究发现：A 为圆上任意一点 当弦AB 经过圆心O 且DB 切O 于点B 时 易证：弦切角CBD A ∠=∠．问题拓展：如图2 点A 是优弧BC 上任意一点 DB 切O 于点B 求证：CBD A ∠=∠． 证明：连接BO 并延长交O 于点A ' 连接A C ' 如图2所示． ∵DB 与O 相切于点B ∵A BD ∠'=________ ∵90A BC CBD ∠'+∠=︒． ∵A B '是直径∵90ACB ∠'=︒_____________（依据）． ∵90A A BC ∠'+∠'=︒．∵CBD A ∠=∠'________________（依据）．又∵A A ∠'=∠________________（依据） ∵CBD A ∠=∠．(1)将上述证明过程及依据补充完整．(2)如图3 ABC 的顶点C 在O 上 AC 和O 相交于点D 且AB 是O 的切线 切点为B 连接BD ．若2,6,3AD CD BD === 求BC 的长．6．阅读：如图1所示 四边形ABCD 是∵O 的内接四边形 连接AC BD ．BC 是∵O 的直径 AB ＝AC ．请说明线段AD BD CD 之间的数量关系．下面是王林解答该问题的部分解答过程 请补充完整：+CD ＝BD ．理由如下：∵BC 是∵O 的直径 ∵∵BAC ＝90°． ∵AB ＝AC ∵∵ABC ＝∵ACB ＝45°．如图2所示 过点A 作AM ∵AD 交BD 于点M …(1)补全王林的解答过程(2)如图3所示 四边形ABCD 中∵ABC ＝30° 连接AC BD ．若∵BAC ＝∵BDC ＝90° 直接写出线段AD BD CD 之间的关系式是 ． 7．阅读下列材料 并按要求完成相应的任务． 黄金三角形与五角星当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时 我们把这样的三角形叫做黄金三角形． 按下面的步骤画一个五角星（如图）：∵作一个以AB 为直径的圆 圆心为O ∵过圆心O 作半径OC ∵AB ∵取OC 的中点D 连接AD∵以D 为圆心OD 为半径画弧交AD 于点E ∵从点A 开始以AE 为半径顺时针依次画弧正好把∵O 十等分（其中点F G B H I 为五等分点） ∵以点F G B H I 为顶点画出五角星． 任务： (1)求出AEOA的值为 (2)如图 GH 与BF BI 分别交于点M N 求证：△BMN 是黄金三角形． 8．阅读下面材料 并按要求完成相应的任务．阿基米德是古希腊的数学家 物理学家．在《阿基米德全集》里 他关于圆的引理的论证如下：命题：设AB 是一个半圆的直径 并且过点B 的切线与过该半圆上的任意一点D 的切线交于点T 如果作DE 垂直AB 于点E 且与AT 交于点F 则DF EF =． 证明：如图1 延长AD 与BT 交于点H 连接OD OT ． ∵DT BT 与半圆O 相切 ∵……∵ ∵BT DT =． ∵AB 是半圆O 的直径 ∵90ADB ︒∠=．∵在BDH △中 由BT DT = 可得TDB TBD ∠=∠ ∵H TDH ∠=∠．∵BT DT HT ==． 又∵//DE BH ∵DF AFHT AT = EF AF BT AT=∵EF DFBT HT=． 又∵BT HT = ∵DF EF =任务：(1)请将∵处的证明过程补充完整． (2)证明过程中∵的证明依据是 ．(3)如图2 AB 为∵O 的直径 ∵BED 是等边三角形 BE 是∵O 的切线 切点是B 点D 在∵O 上 CD ∵AB 垂足为C 连接AE 交CD 于点F ．若∵O 的半径为2 求CF 的长． 9．阅读材料 某个学习小组成员发现：在等腰ABC 中 AD 平分BAC ∠ ∵AB AC =BD CD = ∵AB BDAC CD= 他们猜想：在任意ABC 中 一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．【证明猜想】如图1所示 在ABC 中 AD 平分BAC ∠ 求证：AB BDAC CD=． 丹丹认为 可以通过构造相似三角形的方法来证明△和ACD面积的角度来证明．思思认为可以通过比较ABD(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．(2)【尝试应用】如图2O是Rt ABC的外接圆点E是O上一点（与B不重合且=连结AE并延长AE BC交于点D H为AE的中点连结BH交AC于点G求AB AEHG的值．GB(3)【拓展提高】如图3在（2）的条件下延长BH交O于点F若BE EF=求=GH xO的直径（用x的代数式表示）．10．请阅读下面材料并完成相应的任务阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes 公元前287—公元前212年古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一他与牛顿高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1 AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）>M是ABC的中点则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点即BC ABCD AB BD=+．=+的部分证明过程．这个定理有很多证明方法下面是运用“垂线法”证明CD AB BD证明：如图2 过点M作MH⊥射线AB垂足为点H连接MA MB MC．∵M 是ABC 的中点 ∵MA MC =． … 任务：（1）请按照上面的证明思路 写出该证明的剩余部分（2）如图3 已知等边三角形ABC 内接于O D 为AC 上一点 15ABD ∠=︒ CE BD ⊥于点E 2CE = 连接AD 则DAB 的周长是______．11．阅读与思考请阅读下列材料 并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2 正五边形ABCDE 内接于∵O AB ＝2 求对角线BD 的长．12．阅读下列材料 完成相应任务：如图∵ ABC 是∵O 的内接三角形 AB 是∵O 的直径AD 平分BAC ∠交∵O 于点D 连接BD 过点D 作∵O 的切线 交AB 的延长线于点E ．则CAD BDE ∠=∠．下面是证明CAD BDE ∠=∠的部分过程：证明：如图∵ 连接DO AB 是∵O 的直径 90ADB ∴∠=︒ODA ∴∠+∵________90=︒．（1） DE 为∵O 的切线 90ODE ∴∠=︒90ODB BDE ∴∠+∠=︒ （2）由（1）（2）得 ∵________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠CAD ∴∠=∵________CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路 补全证明过程：∵________ ∵________ ∵________ （2）若5,2OA BE == 求DE 的长．13．阅读下列材料：平面上两点P 1（x 1 y 1） P 2（x 2 y 2）之间的距离表示为()()22121212PP x x y y =-+- 称为平面内两点间的距离公式 根据该公式 如图 设P （x y ）是圆心坐标为C （a b ）半径为r 的圆上任意一点 则点P ()()22x a y b r -+-= 变形可得：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2 我们称其为圆心为C （a b ） 半径为r 的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25可得它的圆心为（1 2） 半径为5．根据上述材料 结合你所学的知识 完成下列各题．（1）圆心为C （3 4） 半径为2的圆的标准方程为：（2）若已知∵C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22 圆心为C 请判断点A （3 ﹣1）与∵C的位置关系．14．阅读以下材料 并按要求完成相应的任务：几何定论 是指变化的图形中某些几何元素的几何量保持不变（如定长 定角 定比 定积等） 或几何元素间的某些性质或位置关系不变（如定点 定线 定方向等）如图∵ 点A 为O 外一点 过点A 为O 作直线与O 相交于点B C 点B '为点B 关于OA 的对称点 连接B C '交OA 于点M 设O 的半径为R ．如图∵ 当过点A 的直线与O 相切时 点B C 重合 可得2R OA OM =⋅．如图∵ 当过点A 的直线与O 相交时 证明2R OA OM =⋅．证明：如图∵ 连接OC CD ．∵B ' B 关于OA 对称∵BD BD '=．∵∵1＝∵2 .（依据）…任务：（1）上述证明过程中的依据是____________________（2）根据以上的证明提示 完成上述证明过程（3）如图∵ 若5OA = 1OM = 求O 的半径．15．阅读下列相关材料 并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家 天文学家他编著了《婆罗摩修正体系》 他曾经提出了“婆罗摩笈多定理” 也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直 则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证 并完成这个定理的证明过程已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2） 在O 中 弦AB CD ⊥于M 连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点 EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H 当M 是AB 中点时 直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．参考答案：1．解：（1）∵同弧或等弧所对的圆周角相等∵E ∠和C ∠所对的弧是同一条弧∵∵应填：同弧或等弧所对的圆周角相等∵两角分别相等的两个三角形相似∵题目中的结论是两个三角形相似 用的方式是三角形的两个角分别相等∵∵应填两角分别相等的两个三角形相似（2）∵BDE ADC ∠=∠ E C ∠=∠.BDE ADC ∽△∴△.BD DE AD DC∴= AD DE BD DC ∴⋅=⋅2AD BD DC AB AC ∴+⋅=⋅（3）42AE =∵BE CE =.∵弧BE =弧CE∵BAE CAE ∠=∠∵AE 平分BAC ∠.由斯库顿定理 得2AD BD DC AB AC +⋅=⋅又∵4AC = 6AB = 2CD = 3BD =∵23264AD +⨯=⨯.解得=AD AD =-。
2017中考数学全国试题汇编------圆(含详细解析)
2AE 2CD
BE 2
CD
当 D 在 C 右侧时，过 E 作 EI AB 于 I
在 Rt IBE 中， BE 2EI 2 2 AE 2
2AE 2CD
BE 2
CD 考点：圆的相关知识的综合运用 2（5 2017 贵州六盘水）.如图，MN 是 ⊙O 的直径，MN = 4 ，点 A 在⊙O 上，∠ AMN = 30°， B 为 AN 的中点， P 是直径 MN 上一动点 . (1)利用尺规作图，确定当 PA + PB 最小时 P 点的位置 (不写作法，但要保留作图痕 迹 ). (2)求 PA + PB 的最小值 .
2
∴∠ CND=∠ NCD， 6 分 ∵MC=MN， ∴∠ MCN=∠MNC． ∵∠ MNC+∠CND=90°， ∴∠ MCN+∠NCD=90°， 7 分 即 MC⊥CD．
y
A C
M
N
D
O
BA x
∴直线 CD是⊙ M 的切线． 8 分
25（ 2017 广东广州） .如 Nhomakorabea 14，AB 是 O 的直径， AC BC, AB 2 ，连接 AC ．
∴AN=4，1 分 ∵∠ ABN=30°，∠ ANB=90°， ∴AB=2AN=8，2 分 ∴由勾股定理可知： NB= 4 3 ，
∴B（ 4 3 ， 2） 3 分
（2）连接 MC，NC4 分 ∵AN 是⊙ M 的直径， ∴∠ ACN=90°， ∴∠ NCB=90°， 5 分 在 Rt△ NCB中， D 为 NB 的中点， ∴CD= 1 NB=ND，
20（2017 湖北黄冈）．已知：如图， MN 为⊙ O 的直径， ME 是⊙O 的弦， MD
垂直于过点 E 的直线 DE，垂足为点 D，且 ME 平分∠ DMN． 求证：（ 1） DE是⊙ O 的切线； （ 2） ME2=MD?MN．
中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷(带有答案)
中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一 与圆的性质有关的证明与计算典例精讲例 (一题多设问) 如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是AC ︵的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN . (1)EM 与BE 的数量关系是________； (2)求证：EB ︵＝CN ︵；(3)若AM ＝3，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．例题图拓展设问(4)若∠BAC ＝15°，AM ＝3，求⊙O 的半径及EN 的长．针对演练1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，连接AD，OE，若M为CD的中点．(1)求证：DE∥AB；(2)若OE∥AD①连接AC，求证：AC＝DE；②若CD＝23，求图中阴影部分的面积．第1题图类型二与切线有关的证明与计算典例精讲例(一题多设问) 如图①，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线DF，与AC交于点F.(1)求证：CF＝EF；【思维教练】要证CF＝EF，可连接OD、DE，利用切线的性质及AB＝AC可证明DF⊥AC，则只需证明△CDE是等腰三角形，利用三线合一的性质即可求证．例题图①(2)如图②，连接BE，求证：DF∥BE；【思维教练】根据AB是⊙O的直径，可以得到BE⊥AC，要证DF∥BE，只需证明DF⊥AC 即可，由(1)即可得知．例题图②(3)如图③，若③O的半径为4，③CDF＝30°，求CF的长；【思维教练】要求CF的长，可将其放在Rt△CDF中，利用三角函数求解，连接AD，由⊙O 的半径可得CD的长，即可求解．例题图③(4)如图④，若tan C＝2，CE＝4，求⊙O的半径；【思维教练】要求⊙O的半径，只需求出AB的长，连接BE，构造出Rt△ABE，在直角三角形中求解即可．例题图④(5)如图③，若③A ＝45°，AB ＝4，求阴影部分的面积．【思维教练】要求阴影部分的面积，可将其分为△AOE 、△BOD 及扇形DOE 三部分，利用和差法求解即可．例题图⑤针对演练1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以点B 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP ，交AC 于点F .点O 是斜边AB 上一点，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆恰好与AC 相切于点F .第1题图(1)若∠A ＝30°，求证：△ABF 是等腰三角形；(2)若BC ＝6，tan A ＝34，求⊙O 的半径．参考答案类型一 与圆的性质有关的证明与计算典例精讲例 (1)解：BE ＝2EM ；(2分)【解法提示】∵AC 为⊙O 的直径，E 是AC ︵的中点，∴∠ABE ＝45°.∵AB ⊥EN ，∴△EMB 为等腰直角三角形，∴BE ＝2EM . (2)证明：如解图①，连接EO∵AC 是⊙O 的直径，点E 是AC ︵的中点 ∴∠AOE ＝90°∴∠ABE ＝12∠AOE ＝45°.∵EN ⊥AB ，垂足为M ∴∠EMB ＝90° ∴∠ABE ＝∠BEN ＝45° ∴AE ︵＝BN ︵. ∵点E 是AC ︵的中点 ∴AE ︵＝EC ︵ ∴EC ︵＝BN ︵∴EC ︵－BC ︵＝BN ︵－BC ︵ ∴EB ︵＝CN ︵；(7分)例题解图①(3)解：如解图①，连接AE ，OB ，ON ∵EN ⊥AB ，垂足为M ∴∠AME ＝∠EMB ＝90°.∵BM ＝1，由(2)得∠ABE ＝∠BEN ＝45° ∴EM ＝1，BE ＝ 2.∵在Rt △AEM 中，EM ＝1，AM ＝3 ∴tan ∠EAB ＝13＝33∴∠EAB ＝30°. ∵∠EAB ＝12∠EOB∴∠EOB ＝60°. 又∵OE ＝OB∴△EOB 是等边三角形 ∴OE ＝BE ＝ 2. 又∵EB ︵＝CN ︵∴CN ＝BE ＝2，∠CON ＝∠BOE ＝60°.又∵S 扇形CON ＝60π×（2）2360＝π3，S △OCN ＝12CN ·32CN ＝12×2×32×2＝32∴S 阴影＝S 扇形CON －S △OCN ＝π3－32.(12分)拓展设问(4)解：如解图②，连接AE ，AN ，OE ∵点E 是AC ︵的中点 ∴∠AOE ＝90°.∵OA＝OE∴∠EAC＝45°.∵∠BAC＝15°∴∠EAB＝45°－15°＝30°.∵EM⊥AB∴在Rt△AEM中，EM＝AM·tan30°＝3，AE＝AMcos30°＝23∴在Rt△AOE中，OA＝AE·cos45°＝ 6.∵∠BAN＝∠BEN＝45°，EM⊥AB∴在Rt△AMN中，MN＝AM＝3∴EN＝EM＋MN＝3＋3∴⊙O的半径为6，EN的长为3＋3.例题解图②针对演练1. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，CM＝DM∴AB⊥CD.∵DE⊥CD∴∠CMB＝∠CDE＝90°∴DE∥AB；(2)①证明：∵OE∥AD，OA∥DE∴四边形AOED是平行四边形．∵OA＝OE∴四边形AOED是菱形∴AD＝DE.∵AB⊥CD∴AD＝AC∴AC＝DE；②解：如解图，连接OC ∵DE ⊥CD∴CE 为⊙O 的直径，即点O 在CE 上． ∵M 为CD 的中点∴CM ＝12CD ＝3，AC ＝AD ＝OE ＝OA ＝OC∴△AOC 是等边三角形∴∠AOC ＝60°，OC ＝CMsin ∠AOC ＝2.∵AD ∥OE∴∠OAD ＝∠AOC ，∠ADC ＝∠DCE . ∵AD ＝OC ∴△ADM ≌△OCM∴S 阴影＝S 扇形AOC ＝60π×22360＝2π3.第1题解图类型二 与切线有关的证明与计算典例精讲例 (1)证明：如解图①，连接OD ，DE ∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB . ∵OB ＝OD ∴∠OBD ＝∠ODB ∴∠ODB ＝∠ACB ∴OD ∥AC . ∵DF 是⊙O 的切线 ∴DF ⊥OD ∴DF ⊥AC .∵∠DEC ＝∠ABC ∴∠DEC ＝∠ACB ∴DE ＝CD ∴CF ＝EF ；例题解图①(2)证明：由(1)知DF ⊥AC ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AC ∴DF ∥BE ；(3)解：如解图②，连接AD ∵∠CDF ＝30°，DF ⊥AC ∴∠ACB ＝60°∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°. ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90° ∴BD ＝CD .在Rt △ABD 中，∵AB ＝2AO ＝8 ∴BD ＝AB ·cos ∠ABC ＝4 ∴CD ＝4在Rt △CDF 中，∵∠CDF ＝30° ∴CF ＝12CD ＝2；例题解图②(4)解：如解图③，连接BE∵CE ＝4，点F 是CE 的中点 ∴CF ＝2 ∵tan C ＝DFCF ＝2∴DF ＝4 ∴BE ＝2DF ＝8设AE ＝x ，则AB ＝AC ＝x ＋4在Rt △ABE 中，由勾股定理得AB 2＝AE 2＋BE 2，即(x ＋4)2＝x 2＋82 解得x ＝6 ∴AB ＝x ＋4＝10 即⊙O 的半径为5；例题解图③(5)解：如解图④，连接OE 、OD ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ∵∠A ＝45°，OA ＝OE ，AB ＝AC ∴∠AEO ＝∠A ＝45°，∠AOE ＝90°. ∵AC ∥OD∴∠DOE ＝∠AEO ＝45°，∠BOD ＝∠A ＝45° ∴DH ＝22OD ＝2 ∴S 阴影＝S △AOE ＋S 扇形DOE ＋S △BOD ＝12OA 2＋45π×22360＋12OB ·DH ＝2＋π2＋2∴阴影部分的面积为2＋π2＋ 2.例题解图④针对演练1. (1)证明：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°第 11 页 共 11 页 ∴∠ABC ＝60°由作图步骤可知，BP 是∠ABC 的平分线 ∴∠ABF ＝12∠ABC ＝30°∴∠A ＝∠ABF ，即AF ＝BF∴△ABF 是等腰三角形；(2)解：∵BC ＝6，tan A ＝34∴tan A ＝BC AC ＝34，即AC ＝8∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10如解图，连接OF∵AC 是⊙O 的切线∴∠AFO ＝90°∴△AOF ∽△ABC∴OF BC ＝AO AB ，即OF 6＝10－OF 10解得OF ＝154∴⊙O 的半径为154.第1题解图。
中考数学复习《圆的综合》专项综合练习含答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．(1)如图(1),求证:AD∥BC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129【解析】试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF=1CN，∴AE=2DF．2（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=43，DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE= GE=53．∵tan∠AEB= tan∠ADF=43，设HE=x，则AH=43x．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x=53，解得：x=3，∴AB=83，HB=43，AH=12，EC=DE=AB=83，∴HC=HE+EC=383+=93．在Rt△AHC中，AC=222212(93)AH HC+=+=343．作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=AC AP，∴3432129sin6032ACAP===︒，∴⊙O的半径是129．2．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）23【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.3．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．4．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB．(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;(2)如图2,在弧AC 上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB 取点G ，使AG ∥OB ，若∠BAC=600， 求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下,AF 、BC 的延长线相交于点E,若AF ：FE=1:9，求sin ∠ADG 的值。
中考数学总复习《圆的综合题》练习题附带答案
中考数学总复习《圆的综合题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线EC，则AC是⊙O的切线D．若BE= √322．如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝58°，则∠C的度数为（）A．23°B．26°C．29°D．32°3．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．10C．4√3D．4√5 4．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径5．如图，点O是半径为6的正六边形ABCDEF的中心，则扇形AOE的面积是（）A．2πB．4πC．12πD．24π6．如图，CD为⊙O的直径，AB为弦，AB⊥CD，点E在圆上，若OF＝DF，则∠AEB的度数为（）A．135°B．120°C．150°D．110°7．如图，⊙O的半径长6cm，点C在⊙O上，弦AB垂直平分OC于点D，则弦AB的长为（）A．9cm B．6√3cm C．92cm D．3√3cm8．如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=（)A．90°B．180°C．270°D．360°9．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°10．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．13D．14 11．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°12．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧PQ,交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于弧PQ点M，N；（3）连接OM，MN. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD二、填空题(共6题；共6分)13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为．14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2√3，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是．（结果保留根号和π）15．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为.16．如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC的度数是.17．如图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都＞2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是．（结果保留π）18．如图，扇形AOB中OB=4,∠AOB=90°点E为AB的中点，过点E作AO的平行线DF，则阴影部分的面积为.三、综合题(共6题；共65分)19．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行.⌢的中点.（1）求证：点D是BC（2）若AC=OD=6，求阴影部分（弓形AC）的面积.20．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长;（2）∠COD的度数．21．如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点AC⌢=CB⌢．（1）求证：CD=CE．（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．22．如图，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝3 x（x＞0）的图象交于点B（3，b）．点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．（1）求△OCD面积为32时，则点D的坐标；（2）求△OCD面积的最大值；（3）当△OCD面积最大时，则以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形24．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】π4−1214．【答案】18√3−8π 15．【答案】30 16．【答案】120° 17．【答案】nπ218．【答案】8π3−2√3−219．【答案】（1）证明：连接BC 交OD 于E∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵AC ∥OD∴∠OEB=∠ACB=90° 即OD ⊥BC ∵OD 过圆心O∴CD⌢=BD ⌢ ∴点D 是BC⌢的中点. （2）解：作CE ⊥AB 于E 如图2，∵AC =OD =OC =OA∴△AOC 是等边三角形∴∠AOC =60°∴S 扇形AOC =60π×62360=6π∴∠OCE =30°∴OE =12OC =12×6=3∴CE =√3OE =3√3∴S △AOC =12AO ⋅CE =12×6×3√3=9√3 ∴S 阴影=S 扇形AOC −S △AOC =6π−9√3.20．【答案】（1）解：∵CA ，CE 都是圆O 的切线 ∴CA=CE同理DE=DB ，PA=PB∴三角形PDE 的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12 即PA 的长为6. （2）解： ∵∠P=60°∴∠PCE+∠PDE=120°∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240° ∵CA ，CE 是圆O 的切线∴∠OCE=∠OCA=12∠ACD ；同理：∠ODE=12∠CDB∴∠OCE+∠ODE=12（∠ACD+∠CDB ）=120°∴∠COD=180﹣120°=60°.21．【答案】（1）证明：连接OC∵弧AC=弧CB ∴∠COA=∠COB∵D 和E 为OA 和OB 的中点 ∴OD=OE ∴△COD ≌△COE ∴CD=CE （2）连接AC ∵∠AOB=120°∴∠AOC=60°，∵OA=OC ∴△AOC 为等边三角形 ∵点D 为OA 的中点 ∴CD ⊥OA ，OD=12OA=12x在直角三角形COD 中，CD=OD ×tan ∠COD=√32x∴四边形ODCE 的面积y=12×OD ×CD ×2=√34x 222．【答案】（1）解：∵点B （3，b ）在反比例函数y ＝ 3x的图象上∴3b ＝3 ∴b ＝1 ∴B （3，1）∵点B （3，1）在一次函数y ＝kx ﹣2（k ≠0）的图象上 ∴3k ﹣2＝1 ∴k ＝1∴直线AB 的解析式为y ＝x ﹣2设点C 的坐标为（m ，m ﹣2）（0＜m ＜3）∵C 且平行于y 轴的直线CD 交这个反比例函数的图象于点D ∴D （m ， 3m）∴CD ＝ 3m ﹣（m ﹣2）＝ 3m+2﹣m∴S △OCD ＝ 12 CD •m ＝ 12 （ 3m +2﹣m ）×m ＝﹣ 12（m 2﹣2m ﹣3）∵△OCD面积为3 2∴﹣12（m2﹣2m﹣3）＝32∴m＝0（舍）或m＝2∴D（2，3 2）（2）解：由（1）知，S△OCD＝﹣12（m2﹣2m﹣3）＝﹣12（m﹣1）2+2∵0＜m＜3∴m＝1时，则△OCD面积的最大值为2（3）解：存在理由：∵直线AB的解析式为y＝x﹣2∴A（0，﹣2）∴OA＝2由（1）知，B（3，1）∴OB＝√32+12＝√10由（2）知，m＝1∴C（1，﹣1），D（1，3）∴OC＝√12+12＝√2，OD＝√12+32＝√10∴OC＜OA＜OB＝OD∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2＜r≤√1023．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A+∠BCD=180°∵∠DCE+∠BCD=180°∴∠A=∠DCE∵DC=DE∴∠DCE=∠AEB∴∠A=∠AEB（2）证明：∵∠A=∠AEB∴△ABE是等腰三角形∵EO⊥CD∴CF=DF∴EO是CD的垂直平分线∴ED=EC∵DC=DE∴DC=DE=EC∴△DCE是等边三角形∴∠AEB=60°∴△ABE是等边三角形．24．【答案】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D∴OD⊥DE∵F为弦AC中点∴OD⊥AC∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．∵AC∥DE，AE=AO∴OF=DF∵AF⊥DO∴AD=AO∴AD=AO=OD∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a∴AO∥CD，又AE=CD∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM= √3a2a2．∴平行四边形ACDE面积= √32。
山东省2017年春中考数学总复习第六章圆单元检测题
第六章 单元检测题一、选择题1.下列正多边形中,中心角等于内角的是( )A.正六边形B.正五边形C.正方形D.正三角形 2.如图，AB 和CD 都是⊙O 的直径，∠AOC=50°，则∠C 的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.50° 3.如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在上，且不与M ，N 重合，当P点在上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度( )A.变大B.变小C.不变D.不能确定4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB=8，则CD 的长是( )A.2B.3C.4D.55.如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA=CD ，且 ∠ACD=40°，则∠CAB=( )A.10°B.20°C.30°D.40°6.如图，直线AB,CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么⊙P 与直线CD 相切时运动时间为（导学号：88692357）( )A.4 sB.8 sC.4 s 或6 sD.4 s 或8 s7.如图是一块△ABC 余料，已知AB=20 cm ，BC=7 cm ，AC=15 cm,现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 （导学号：88692358）( )A.π cm2B.2π cm2C.4π cm2D.8π cm2 8.一个点到圆的最小距离为3 cm ，最大距离为8 cm ，则该圆的半径是 （导学号：88692359）( )A.5 cm 或11 cmB.2.5 cmC.5.5 cmD.2.5 cm 或5.5 cm9.如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M ，N 两点，若点M 的坐标是(-4，-2)，则点N 的坐标为（导学号：88692360）( )A.(-1，-2)B.(1，-2)C.(-1.5，2)D.(1.5，-2) 10.如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是上一点，BD 交AC 于点E.若BC=4，，则AE 的长是（导学号：88692361）( )A.3B.2C.1D.1.211.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆， 交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积为（导学号：88692362）( )12.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②∠AOC=∠AEC ；③CB 平分∠ABD ；④AF=DF ；⑤BD=2OF ；⑥△CEF ≌△BED.其中一定成立的是（导学号：88692363）( )A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D.①③④⑤ 二、填空题13.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，点E 在DC 的延长线上.若 ∠A=50°，则∠BCE=____________.14.如图，边长为1的菱形ABCD 的两个顶点B ，C 恰好落在扇形AEF 的上.若∠BAD=120°，则的长度等于__________.(结果保留π)（导学号：88692364）15.赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1 400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB 约为40 m ，主拱高CD 约10 m ，则桥弧所在圆的半径R=_____m.（导学号：88692365）16.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB=60°，BC=4 cm ，则切线AB=____________cm. （导学号：88692366）17.如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径OA=2 cm ，C 为的中点，D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中阴影部分的面积为_____cm 2.（导学号：88692367）18.如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AD ⊥l ，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC ，BE.若AE=6，OA=5，则线段DC 的长为_________.（导学号：88692368）三、解答题19.如图所示，AB=AC ，AB 为⊙O 的直径，AC,BC 分别交⊙O 于点E,D ，连接ED,BE.（导学号：88692369）(1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由；(2)如果BC=6，AB=5，求BE的长.20.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E.（导学号：88692370）(1)求证：AB=BE；21.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB.（导学号：88692371）(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若PB=6，DB=8，求⊙O的半径.22.如图，CE是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，D为⊙O上的一点，且AD=AC，延长AD交CE的延长线于点B.（导学号：88692372）(1)求证：AD为⊙O的切线；(2)求证：∠A=2∠DCB；(3)若BE=EO=3，求图中阴影部分的面积(结果保留π)参考答案1.C2.B3.C4.A5.B6.D7.C8.D9.A 10.C 11.A 12.D19.解：(1)DE=BD.证明：连接AD ，则AD ⊥BC,在等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC, ∴∠CAD=∠BAD. ∵∠CAD=∠DBE ， ∠BAD=∠DEB, ∴∠DEB=∠DBE ， ∴DE=BD. (2)∵AB=5，∴AD=4. ∵AB=AC=5， ∴AC ·BE=CB ·AD ， ∴BE=4.8.20.解：(1)如图，连接OD ，∵PD 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥PD. ∵BE ⊥PC ，∴OD ∥BE ，∴∠ADO=∠E. ∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ADO ， ∴∠OAD=∠E ，∴AB=BE.(2)由(1)知，OD ∥BE ，∴∠POD=∠B ，21.解：(1)∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EP B，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°.∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线.(2)在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD-PC=10-6=4.在Rt△CDO中，设OC=r，则有D O=8-r，根据勾股定理得(8-r)2=r2+42，解得r=3.则圆的半径为3.22.解：(1)如图，连接OD，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC+∠ODC=∠ACD+∠OCD，即∠ADO=∠OCA.∵CE是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴BC⊥AC，∴∠ADO=∠ACB=90°，∴AD为⊙O的切线.(2)∵∠ADC=∠ACD，∴∠A=180°-2∠ACD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB，∴∠A=180°-2(90°-∠DCB)= 2∠DCB.(3)∵AD是⊙O的切线，∴∠ADO=90°. ∵BE=EO=3，∴BO=6，OD=3，∴sin∠B=ODBO=12,∴∠B=30°，∴∠DOC=120°，∴∠BOD=60°.如图，过点D作DF⊥BC于点F，。
2017年春中考数学总复习 单元测试(六)圆试题
单元测试(六) 圆(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( B ) A ．3 cm B ．4 cm C ．5 cm D ．6 cm2．(2016·绍兴)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( D ) A ．60° B ．45° C ．35° D ．30°3．(2015·常德)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD 的度数为( D ) A ．50° B ．80° C ．100° D ．130°4．(2016·达州)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( C ) A.13 B ．2 2 C.24 D.2235．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( B )A ．24 cmB ．48 cmC ．96 cmD ．192 cm6．如图所示，将含有30°角的直角三角尺放在量角器上，D 点的度数为150°，则图中∠APC 的度数是( B ) A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°7．如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是( C ) A ．60° B ．65° C ．70° D ．75°8．(2016·广安)如图，AB 是圆O 的直径，弦CD⊥AB，∠BCD ＝30°，CD ＝43，则S 阴影＝( B )A ．2π B.83π C.43π D.38π二、填空题(每小题4分，共24分)9．(2016·巴中)如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠OBC ＝55°，则∠A＝35°．10．已知△ABC 在网格中的位置如图，那么△ABC 对应的外接圆的圆心坐标是(2，0)．11．(2016·扬州)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD ＝4，∠ABC ＝∠DAC，则AC 长为12．(2016·威海)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，其边长为4，则⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为13．如图，边长为1的菱形ABCD 的两个顶点B 、C 恰好落在扇形AEF 的弧EF 上．若∠BAD＝120°，则弧BC 的长度等于π3(结果保留π)．14．(2016·泰安)如图，半径为3的⊙O 与Rt △AOB 的斜边AB 切于点D ，交OB 于点C ，连接CD 交直线OA 于点E ，若∠B＝30°，则线段AE三、解答题(共44分)15．(8分)如图，在⊙O 中，直径AB⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF⊥AD.求∠D 的度数．解：∵在⊙O 中，D 为圆上一点， ∴∠AOC ＝2∠D .∴∠EOF ＝∠AOC＝2∠D. 在四边形FOED 中，∠CFD ＋∠D＋∠DEO＋∠FOE＝360°， ∴90°＋∠D＋90°＋2∠D＝360°. ∴∠D ＝60°.16．(10分)(2016·新疆)如图，在⊙O 中，半径OA⊥OB，过OA 的中点C 作FD∥O B 交⊙O 于D 、F 两点，且CD ＝3，以O 为圆心，OC 为半径作CE ︵，交OB 于E 点． (1)求⊙O 的半径OA 的长； (2)计算阴影部分的面积．解：(1)连接OD. ∵OA ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°. ∵CD ∥OB ， ∴∠OCD ＝90°.在Rt △OCD 中，∵C 是OA 中点，CD ＝3， ∴OD ＝2OC.设OC ＝x ， ∴x 2＋(3)2＝(2x)2. ∴x ＝1. ∴OD ＝2.∴⊙O 的半径OA 的长为2. (2)∵sin ∠CDO ＝CO OD ＝12，∴∠CDO ＝30°. ∵FD ∥OB ，∴∠DOB ＝∠ODC＝30°.∴S 阴＝S △CDO ＋S 扇形OBD －S 扇形OCE ＝12×1×3＋30π×22360－90π×12360 ＝32＋π12.17．(12分)已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.(1)如图1，求∠ADC 的大小；(2)如图2，经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵交于点F ，连接AF ，求∠FAB 的大小．解：(1)∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°，即∠BCD＋∠OCB＝90°.∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AD. ∴∠OCB ＝∠CBD.∴∠BCD ＋∠CBD＝90°.∴∠ADC ＝180°－90°＝90°. (2)连接OB.由圆的性质知OA ＝OB ＝OC. ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ＝AB.∴OA＝OB ＝AB.∴△OAB 是等边三角形．∴∠AOB＝60°. 由垂径定理，得AF ︵＝BF ︵， ∴∠FAB ＝12∠BOF＝14∠AOB＝15°.18．(14分)(2016·长沙)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB 、DC 、DF. (1)求∠CDE 的度数；(2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．解：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°.∴∠CDE ＝90°.(2)证明：连接OD.∵∠CDE＝90°，F 为CE 中点， ∴DF ＝12CE ＝CF.∴∠FDC＝∠FCD.又∵OD＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD.∴∠ODC ＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD. ∴∠ODF ＝∠OCF. ∵EC ⊥AC ， ∴∠OCF ＝90°. ∴∠ODF ＝90°， 即DF 为⊙O 切线．(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC ＝∠ACE＝90°，∠EAC ＝∠CAD， ∴△ACD ∽△AEC. ∴AC AE ＝AD AC，即AC 2＝AD·AE. 又AC ＝25DE ，∴20DE 2＝(AE －DE)·AE， ∴(AE －5DE)(AE ＋4DE)＝0. ∴AE ＝5DE.∴AD＝4DE.在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴CD ＝2DE. 又在⊙O 中，∠ABD ＝∠ACD， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝ADCD＝2.。
安徽省2017年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第六单元 圆单元测试(六)圆试题
单元测试(六) 圆(时间：100分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠AOB ＝135°，则∠ACB 的度数为( D ) A ．35° B ．55° C ．60° D ．67.5°2．已知⊙O 的半径是4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是( A ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆上 C ．点P 在圆外 D ．不能确定3．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则OD 的长为( D ) A ．1 B ．2 C ．2.5 D ．34．在平面直角坐标系中，以点O(1，－2)为圆心，1为半径的圆，必与( B ) A ．x 轴相切 B ．y 轴相切 C ．x 轴相交 D ．y 轴相交 5．如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( B ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D. 36．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，则cosC 的值为( B ) A.35 B.45 C.33 D.327．一个圆锥的高为3 cm ，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的侧面积是( A )A ．6π cm 2B ．9π cm 2C ．63π cm 2D ．93π cm 28．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧瓶盖后放倒，水平放置在桌面上．水杯的底面如图所示，已知水杯内径(图中小圆的直径是8 cm ，水的最大深度是2 cm ，则杯底有水部分的面积是( A ) A ．(163π－43)cm 2 B ．(163π－83)cm 2C ．(83π－43)cm 2D ．(43π－23)cm 29．如图，等腰△ABC 的三边分别与⊙O 相切于点D ，E ，F ，且DE∥BC，AB ＝5，AD ＝3，则DE 的长为( C ) A ．2 B ．2.3 C ．2.4 D ．2.510．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A(6，0)、B(0，6)，⊙O 的半径为2(O 为坐标原点)，点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长P Q 的最小值为( D ) A.7 B ．3 C ．3 2 D.14提示：连接OQ ，OP ，在Rt △OPQ 中，PQ ＝OP 2－OQ 2，∵OQ ＝2，故当OP 取最小值时，PQ 最小．又∵OP≥32，∴PQ ≤14.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为6cm.12．如图，将一个正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A 的坐标为(－1，0)，则点B 的坐标为(－12，－2)．13．(2013·安徽考纲样卷)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上一点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E＝50°．14．(2016·安徽十校联考)如图，在正方形ABCD 中，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连接DQ.给出如下结论：①DQ 与半圆O 相切；②PQ BQ ＝43；③∠ADQ＝2∠CBP；④cos ∠CDQ ＝35.其中正确的是①③(请将正确结论的序号填在横线上)．提示：①连接OD ，OQ ，证明△AOD 与△QOD 全等即可；②连接AQ ，借助三角函数和勾股定理求出PQ ，BQ 的长度即可求解；③借助①②的相关结论，结合三角形外角的性质和同角的余角(补角)相等即可求解； ④过点Q 作QH⊥CD 于点H ，求出三角形DQH 的三边长度即可确定相关的三角函数． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．在⊙O 中，直径AB ＝10 cm ，弦AC 与AB 的夹角为30°，求弦AC 的长．解：连接BC. ∵AB 为直径，∴△ABC 为直角三角形． 又∵∠A＝30°， ∴AC ＝AB·cos30°＝10×32＝53(cm)．16．如图，一条赛道的急转弯处是一段圆弧AC ︵，点O 是这段弧所在圆的圆心，AC ＝10 m ，B 是AC ︵上一点，OB ⊥AC ，垂足为D ，BD ＝1 m ，求这段弯路的半径．解：∵OB⊥AC，∴AD ＝12AC ＝5 m ，设OA ＝r ，则OD ＝r －1，在Rt △AOD 中，∵AD 2＋OD 2＝OA 2，即52＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝13，即OA ＝13.答：这段弯路的半径是13 m.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，以AC 为直径画⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，连接CE. (1)求证：BD ＝CD ； (2)求CE 的长．解：(1)证明：连接AD.∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD. (2)在Rt △ADC 中，∵AC ＝13，CD ＝12BC ＝5，∴AD ＝132－52＝12.∵AC 为直径，∴∠AEC ＝90°，∴12CE·AB＝12AD·BC，∴CE ＝12×1013＝12013.18．(2016·利辛中疃模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E. (1)求证：△ACE∽△CBE；(2)若AB ＝8，设OE ＝x(0＜x ＜4)，CE 2＝y ，请求出y 关于x 的函数解析式．解：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBA＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠AE C ＝∠BEC＝90°.∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.∴∠CBA ＝∠ACE.∴△ACE ∽△CBE. (2)连接OC.∵AB ＝8，∴OC ＝4.在Rt △OCE 中，OE ＝x ，OC ＝4，根据勾股定理得CE ＝16－x 2，∵CE 2＝y ，∴y ＝－x 2＋16(0<x<4)．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．(2015·天津)已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.(1)如图1，求∠A DC 的大小；(2)如图2，经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵交于点F ，连接AF ，求∠FAB 的大小．解：(1)∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°，∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AD ，∴∠ADC ＝180°－90°＝90°. (2)连接OB.由圆的性质知OA ＝OB ＝OC ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ＝AB.∴OA＝OB ＝AB.∴△OAB 是等边三角形．∴∠AOB＝60°. ∵OF ∥CD ，∠ADC ＝90°，∴OF ⊥AB. 由垂径定理，得AF ︵＝BF ︵， ∴∠FAB ＝12∠BOF＝14∠AOB＝15°.20．小明将自己的一块三角板ABC 的AC 边放在直线MN 上，然后以点C 为中心，将三角板顺时针旋转90°，使BC 边落在MN 上，若三角板的∠ABC＝30°，AC ＝5 cm ，求三角板旋转过程中扫过的阴影部分的面积．解：设AA′︵与AB 的交点为D ，连接CD.∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°∴∠BAC ＝60°又∵AC＝DC ，∴△ADC 是等边三角形． ∴S 扇形CAD ＝60360π×52＝256π，S △BCD ＝12S △ABC ＝12×12×5×53＝2543，S 扇形CBB′＝90360π×(53)2＝754π.∴S 阴影＝256π＋2543＋754π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27512π＋2543cm 2.六、(本题满分12分)21．(2016·合肥蜀山二模)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E.(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝8.⊙O 的半径为5，求DE 的长．解：(1)证明：连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA.∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD ＝∠OAD. ∴∠CAD ＝∠ODA.∴AC∥OD.∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°.∴∠ODE＝90°. 又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 是⊙O 的切线． (2)连接BD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∠CAD＝∠OAD，∴△EAD ∽△DAB. ∴AE AD ＝AD AB，∴AD 2＝AE·AB＝8×10＝80，AD ＝4 5. 在Rt △EAD 中，DE ＝AD 2－AE 2＝80－64＝4.七、(本题满分12分)22．清水浴池的王老板要为锅炉烟筒的顶端增设一个圆锥形的防水帽，方案如图所示，底面直径AB ＝24 cm ，高CO ＝5 cm.王老板拿来一块足够大的铁皮，想请正在上九年级的同学吴军把图形给画出来．那么吴军该怎样画呢？(写出计算过程，并简述画法)．解：计算：由题意可知，OA ＝12AB ＝12 cm ，∴AC ＝122＋52＝13(cm)． ∴展开后扇形的半径为13 cm.∵底面圆的周长为π×24，∴展开后扇形的弧长为24π.设展开后扇形的圆心角为n °，根据弧长公式有：n π×13180＝24π，∴n ≈332.画法：先用圆规画一个半径为13 cm 的圆，然后用量角器画一个332°的圆心角，即可得到所需扇形．八、(本题满分14分)23．(2016·宿州灵璧县一模)如图，△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C ＝90°，D 在AB 边上，以DB 为直径的半圆O 经过点E ，交BC 于点F. (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若∠A＝30°，连接EF ，求证：EF ∥AB ；(3)在(2)的条件下，若AE ＝2，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OE.∵OB ＝OE ，∴∠BEO ＝∠EBO.∵BE 平分∠CBO，∴∠EBO ＝∠CBE. ∴∠BEO ＝∠CBE.∴EO∥BC.∵∠C ＝90°，∴∠AEO ＝∠C＝90°. ∴AC 是⊙O 的切线．(2)证明：∵∠A＝30°，∴∠ABC ＝60°. ∴∠OBE ＝∠FBE＝30°.∴∠BEC ＝90°－∠FBE＝60°. ∵∠CEF ＝∠FBE＝30°，∴∠BEF ＝∠BEC－∠CEF＝60°－30°＝30°. ∴∠BEF ＝∠OBE.∴EF∥AB. (3)连接OF.∵EF ∥AB ，BF ∥OE ，OB ＝OE ，∴四边形OBFE 是菱形． ∴S △EFB ＝S △EOF. ∴S 阴影＝S 扇EOF.设圆的半径为r ，在Rt △AEO 中，AE ＝2，∠A ＝30°，∴r ＝OE ＝233.∴S 阴影＝S 扇EOF ＝60π×（233）2360＝2π9.。
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单元测试(六) 圆
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( B ) A ．3 cm B ．4 cm C ．5 cm D ．6 cm
2．(2016·绍兴)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵
，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( D ) A ．60° B ．45° C ．35° D ．30°
3．(2015·常德)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为( D ) A ．50° B ．80° C ．100° D ．130°
4．(2016·达州)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( C ) A.13 B ．2 2 C.24 D.223
5．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( B )
A ．24 cm
B ．48 cm
C ．96 cm
D ．192 cm
6．如图所示，将含有30°角的直角三角尺放在量角器上，D 点的度数为150°，则图中∠APC 的度数是( B ) A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°
7．如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是( C ) A ．60° B ．65° C ．70° D ．75°
8．(2016·广安)如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD ＝30°，CD ＝43，则S 阴影＝( B )
A ．2π B.83π C.43π D.38
π
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2016·巴中)如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠OBC ＝55°，则∠A ＝35°．
10．已知△ABC 在网格中的位置如图，那么△ABC 对应的外接圆的圆心坐标是(2，0)．
11．(2016·扬州)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD ＝4，∠ABC ＝∠DAC ，则AC 长为
12．(2016·威海)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，则⊙O 的内接正三角形EFG
13．如图，边长为1的菱形ABCD 的两个顶点B 、C 恰好落在扇形AEF 的弧EF 上．若∠BAD ＝120°，则弧BC 的长度等于π
3
(结果保留π)．
14．(2016·泰安)如图，半径为3的⊙O 与Rt △AOB 的斜边AB 切于点D ，交OB 于点C ，连接CD 交直线OA 于点
E ，若∠B ＝30°，则线段AE
三、解答题(共44分)
15．(8分)如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD.求∠D 的度数．
解：∵在⊙O 中，D 为圆上一点， ∴∠AOC ＝2∠D.
∴∠EOF ＝∠AOC ＝2∠D. 在四边形FOED 中，
∠CFD ＋∠D ＋∠DEO ＋∠FOE ＝360°，
∴90°＋∠D ＋90°＋2∠D ＝360°. ∴∠D ＝60°.
16．(10分)(2016·新疆)如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，过OA 的中点C 作FD ∥O B 交⊙O 于D 、F 两点，且CD ＝3，以O 为圆心，OC 为半径作CE ︵
，交OB 于E 点． (1)求⊙O 的半径OA 的长； (2)计算阴影部分的面积．
解：(1)连接OD. ∵OA ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°. ∵CD ∥OB ，
∴∠OCD ＝90°.
在Rt △OCD 中，∵C 是OA 中点，CD ＝3， ∴OD ＝2OC.设OC ＝x ， ∴x 2＋(3)2＝(2x)2. ∴x ＝1. ∴OD ＝2.
∴⊙O 的半径OA 的长为2. (2)∵sin ∠CDO ＝CO OD ＝1
2，
∴∠CDO ＝30°. ∵FD ∥OB ，
∴∠DOB ＝∠ODC ＝30°.
∴S 阴＝S △CDO ＋S 扇形OBD －S 扇形OCE ＝1
2×1×3＋30π×22360－90π×12360 ＝32＋π12
.
17．(12分)已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.
(1)如图1，求∠ADC 的大小；
(2)如图2，经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵
交于点F ，连接AF ，求∠FAB 的大小．
解：(1)∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°，
即∠BCD ＋∠OCB ＝90°.
∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AD. ∴∠OCB ＝∠CBD.
∴∠BCD ＋∠CBD ＝90°.
∴∠ADC ＝180°－90°＝90°. (2)连接OB.
由圆的性质知OA ＝OB ＝OC. ∵四边形OABC 是平行四边形，
∴OC ＝AB.∴OA ＝OB ＝AB.
∴△OAB 是等边三角形．∴∠AOB ＝60°. 由垂径定理，得AF ︵＝BF ︵
，
∴∠FAB ＝12∠BOF ＝1
4
∠AOB ＝15°.
18．(14分)(2016·长沙)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB 、DC 、DF. (1)求∠CDE 的度数；
(2)求证：DF 是⊙O 的切线；
(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．
解：(1)∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC ＝90°.∴∠CDE ＝90°.
(2)证明：连接OD.∵∠CDE ＝90°，F 为CE 中点， ∴DF ＝1
2CE ＝CF.∴∠FDC ＝∠FCD.
又∵OD ＝OC ，
∴∠ODC ＝∠OCD.
∴∠ODC ＋∠FDC ＝∠OCD ＋∠FCD. ∴∠ODF ＝∠OCF. ∵EC ⊥AC ， ∴∠OCF ＝90°. ∴∠ODF ＝90°，
即DF 为⊙O 切线．
(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC ＝∠ACE ＝90°，∠EAC ＝∠CAD ， ∴△ACD ∽△AEC. ∴
AC AE ＝AD
AC
，即AC 2＝AD·AE. 又AC ＝25DE ， ∴20DE 2＝(AE －DE)·AE ，
∴(AE －5DE)(AE ＋4DE)＝0. ∴AE ＝5DE.∴AD ＝4DE.
在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴CD ＝2DE. 又在⊙O 中，∠ABD ＝∠ACD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD
CD ＝2.。