层状结构岩体模型

层状结构岩体模型
一、模型简介：
岩体的地质特征是岩体中存在着纵横交错的各类结构面，在力学上则表现为存在着弱面或弱夹层，这是岩体与其他均质连续体的本质区别。

因而岩体力学方法必须考虑各向异性和非均匀强度的特点，其力学模型应当是具有各种弱面（或弱夹层）的各向异性和非均匀强度的弱面体。

层状岩体的破坏，通常是发生在弱面上。

所以必须研究弱面的屈服条件和破坏条件。

层状弱面体的屈服条件，不仅与岩体受力情况和弱面的强度有关，而且还与弱面的产状有关。

对于平面弱面体问题，只与弱面的倾角有关；对于空间弱面体问题，除了倾角有关外，还与岩层的走向有关。

再次，通过模型分析还要可以确定出弱面的最不利位置，即当弱面具有该角度时最易出现剪裂。

讨论各向异性下的层状岩体的屈服条件
二、模型假设：
本模型通过摩尔—库伦理论研究层状结构岩体中的弱面体及块体的破坏规律。

摩尔—库伦理论假设物体的任意一点在任意一个平面上的剪应力达到库伦理论中所表示的抗剪强度的值时物体会达到破坏。

只是由于岩石有分层现象使得内部存在弱面。

假设弱面的抗剪强度距离岩体的抗剪强度有一定的差距。

并且不考虑弱面之间的相互作用对抗剪强度的影响。

对每层的岩体单独进行考虑。

在对于层状岩体的正交异性情况推广到摩尔库伦理论是假设他们的弹性变形是横观各向同性的。

三、观点详述：
1、平面层状弱面的屈服条件按照摩尔库伦破坏条件表达，弱面体的破坏形式可表达为：
''
tan c
R t
j
i
+≥≤ϕστσ ①
式中
弱面的抗拉强度、内摩
—、、力；
弱面的法向应力和剪应—、'
'
c R j
i ϕτσ
以上的式子可以作为一种弱面体的破坏准则。

考虑摩尔圆的表达时，假设弱面与最小主应力3σ的方向的夹角为β，按摩尔圆得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-++=βσστβσσσσσ2sin )(212cos )(2
1)(21313131 ② 再设）（）、最大剪应力（平均应力31m 31m -2
121
σστσσσ=+=代入上式可得：
⎩
⎨
⎧=+=βττβ
τσσ2sin 2cos m m m ③ 在将上式代入摩尔库伦条件表达式中，得：
''tan c m m +=ϕσατ ④
或)2cos(sin )cot (''''ϕβϕϕστ-+=c m m ⑤ 式中βϕβα2cos tan 2sin '
-=
将m τσ和m 代入 ④中得：
()()'
''3''''3'''3'31'
31'31sin )2sin(sin 2cos 2)cot tan 1(2sin tan 22tan tan 222tan ϕϕβϕσϕβϕβϕσϕαϕσσσσσαϕσσ--+=
-+=-+=---=+c c c c ⑥ 或
'
'3'1tan )
(tan 2ϕααϕσσ-++=
c ⑦ 或)
1(csc )2sin()1(cot 21
3''13'
'1σσϕϕβσσϕσ+---=
c ⑧
上述 ①—⑧都是弱面破坏准则。

从以上的方程可知，当弱面进入塑性状态的时候，弱
面上的应力及弱面强度均是弱面方向的函数。

因此岩体强度与岩石材料不同，他不是一个常数，而是随弱面的方向改变的。

2、下面用图像表示摩尔库伦准则在弱面体上的应用：
图1
由上图图1可见，代表弱面应力状态的那个点就是与σ轴成β角的AB线与应力圆的交点M，AB线可称为弱面应力线，M点位于强度极限下方，表示在该应力条件下，弱面不会破坏；如M点正好在强度极限曲线上，表示岩体沿此弱面剪短；当然M点超出强度极限曲线是不可能的。

所以图示的弱面破裂条件是弱面的强度极限曲线与弱面应力点相遇与摩尔圆相交。

他显然是不同于一般均质物体中摩尔圆与强度极限曲线相切破坏条件。

图2
由图2可以看出，当弱面的2β角落在201022ββ和之间时，弱面就发生破坏。

弱面破坏是在由PQR 线表示的'102ϕβ-=∠PRS ，则
)
2sin(sin '
10'ϕβϕ-=PS
SR 或''''10sin )cot ()2sin(ϕϕσϕβτc m m +=- 由此得：
)
sin cot arcsin(
2)
sin cot arcsin(2''
''20''
''
10ϕτϕ
σϕπβϕτϕσϕβm
m m
m c c +++=++=
上述的弱面破坏准则都以主应力31σσ和表示。

下面以更一般的应力分量表示：
1
11
12cos 2sin )(2
1
2sin 2cos )(21)(21βτβσστβτβσσσσσθθθθθr r r r r +-=--++= ⑨
式中 1β—弱面给定坐标轴之间的夹角。

当坐标轴方向为最小主应力方向时，0β=1β，看见式②是式⑨的特殊情况。

将⑨代入平均应力与最大剪应力中可得：
'
'
''
'tan 2)(tan 2)(tan )(ϕτϕσστσσαϕσσθθθθθ-+-+=
-=--+a c b a c b r r r r r ⑩
式中
'
11'11t a n
2s i n 2c o s t a n 2c o s 2s i n ϕββϕββ-=-=b a
式⑩就是以一般应力分量所表示的弱面破坏准则。

图2中相应于PQR 线的弱面与给定的坐标轴间的夹角10β和20β可按下式求得。

设ψ为给定的坐标轴方向与最小主应力方向间的夹角，则可推广得：
2
)2
(
)
sin cot arcsin()(2)
sin cot arcsin()(22
2''
''
20''
''
10r
m r
m m
m m
m r
c c σσσσσττϕτϕσϕπψβϕτϕσϕψβθθθ+=
-+=∙+-+=+∙++=+式中：
3、弱面的最不利位置
首先通过解析法去分析弱面在什么角度下最易出现剪裂。

将弱面破坏准则方程式：
'
''
3''''3'''3'31sin )2sin(sin 2cos 2)cot tan 1(2sin tan 22tan tan 22ϕ
ϕβϕσϕβϕβϕσϕαϕσσσ--+=-+=-+=-c c c 由上式可看出，当2
,-2
'31'
π
βϕσσπ
ϕβ<
<∞→→所以有时，或。

对上式中的β求导得：
0)tan 2sin 2cos )(('31=---ϕββσσ
并令求导后的式子等于零，得弱面的最不利β角为L β,有 2
45'
ϕβ+
=o
L
从上图a 中可以看出水平迹线表示3σ为常数情况下弱面处于破坏状态时1σ与β的关系曲线。

岩石的破坏迹线，它与弱面破坏曲线相交两点min β和max β(图b)。

从图b 中可以看出：
1、圆弧QR 之间能通过弱面发生破坏
2、圆弧3σ到Q 以及R 到max 1σ只能通过岩石发生破坏
3、在P 、Q 两点处为临界点。

既能通过岩石发生破坏又能通过弱面发生破坏。

将2
45'
ϕ
β+
=o
L 代入式⑥可得到
3
'
'
3'
3
'2
1
'2'
3'
min
1)2
45tan()tan (2tan )tan 1()tan (2σϕϕσσϕϕϕσσ++
+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=o
c c
min 1σ在图b 上的表示为摩尔应力圆与弱面强度极限曲线相切情况下的最大主应力值。

而
max 1σ是岩石材料达到极限平衡状态时的最大主应力值，他的值可将上式中的''c 与ϕ改成
c 与ϕ。

进一步的对于一般的应力分量表示的弱面破坏准则方程可得，弱面最不利角不仅与'
σ有关，而且还与主应力方向有关，所以弱面的最不利角随坐标位置变化
4、各向异性的屈服条件推广到摩尔库伦准则
各向异性的屈服函数在岩土材料下的形式可以写成：
()()()[]0
)(222212222
2
2
=++-+++-+-+-z y x
yz zx
xy
y x x z z y
W V U N M L H G F σσσ
τ
ττσσσσσσ
式中F 、G ……W 是材料常数，其正交主轴与坐标轴重合。

当还原到各向同性时刻得：2
112
12
12
)6()6(F I F U J +=-
当将摩尔库伦准则推广用到这种情况时的屈服条件为：
tan )(''2122=-⨯++=c F n nt
ns
σϕ
ττ
当考虑t 、n 平面的平面应变时0tan '
=⨯+=n n F σϕτ
四、应用实例
可以通过层状岩体模型画出一组弱面体的岩体的强度曲线。

设有一岩体，其岩石强度
o kPa c 45,2000==ϕ。

含有一组弱面，弱面的性质kPa c 20,500''==ϕ。

当
k P a
500033==σσ和时，对o
90=θ的侧向岩体，做倾角0β改变时)(0ββ=的岩体强度曲线。

解：（一）做最小主应力03=σ时的强度曲线
1、把上述参数代入
()
()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++='33'''
min
sin cos sin sin 1cot 1arcsin 2ϕϕϕσϕσϕϕβc c
2、代入
'
''
3''''3'''3'31sin )2sin(sin 2cos 2)cot tan 1(2sin tan 22tan tan 22ϕ
ϕβϕσϕβϕβϕσϕαϕσσσ--+=-+=-+=-c c c 3、代入
'max 90β
ϕβ-+=o
4、代入
()33max 1245tan tan 2σϕϕσσ+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
++=o c
5、代入
2
45'
ϕβ+
=o
L
所得数据：
由以上数据可得图。