北师大版-数学-八年级上册-勾股定理及应用

勾股定理及应用
勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．
勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．
例1 在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？
练习1
1．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．
2．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．
3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）
_B
_A
_C
_D
A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13 例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？
练习2
1．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？
2-4 2．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
例3试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？
分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．
练习3
1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
2-2
2．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=
1
4
BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由．
3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）
A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．
B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．
C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．
D．△ABC不是直角三角形．
例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6.5．求证：△ABC是直角三角形．
分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三
边，再用勾股定理的逆定理去判定．
练习4
1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②
∴c2=a2+b2．③
∴△ABC为直角三角形．④
问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；
2-7
（2）本题的正确结论是________．
2．如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC 落在AB上，求折痕AD的长．
3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．
例5 如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD 的长．
分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC 的直角边．
∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．
解：作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=
1
2
BC=
1
2
×32=16．
在Rt△AEC中，
AE2=AC2-CE2=202-162=144，
∴AE=12．
设DE=x，
则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2，
在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202．
∴144+x2=（16+x）2-202解得x=9．
2-10
2-11
∴BD=BE-DE=16-9=7．
练习5
1．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：AD2=AC2+BD2．
2-12 2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．
2-13
3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？
2-14
参考答案
练习1
1．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A 、B 为对称点（如图） ∵S=AB×BC ，AB=2， ∴BC=AD=
2
S
． 根据对称性得DF=
1
2
AB=1． 由于∠D=90°，据勾股定理得：
AF=22
2
14
S AD DF +=+=
1224S +
（2）以A 、D 为对称点（如图） ∴BF=
12BC=4
S
． 由∠B=90°，据勾股定理得：
AF=22
2
416S AB BF +=+=
2
1644
S +． 3．D 练习2
1．0.8m 2．B 练习3 1．B
2．AF ⊥EF （提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4
a
，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：
AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（
2a ）2=54
a 2
． 同理：在Rt △ECF 中，EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516
a 2
，
在Rt △ABE 中，BE=34a ，则AE 2=a 2+916a 2=2516
a 2
．
∵54a 2+516a 2=2516
a 2
，
∴AF2+EF2=AE2．
∴∠AFE=90°．
∴AF⊥EF．
3．A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）
练习4
1．（1）③、④
（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形．
2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴∠C=90°．
将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图）∴CD=DE，AC=AE=5．
则△ACD≌△AED．
又BE=AB-AE=8．
设CD为x，则x2+82=（12-x）2．
解之得x=10
3
．
∴AD2=52+（10
3
）2．
∴AD=513
3
．
3．过点C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE，BE．（如图）∵∠ACB=∠PCE=90°，
∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB．
即∠ACP=∠BCE．
∴△PCA≌△ECB（SAS）．
∴BE=AP=3．
在Rt△PCE中，
PE2=PC2+CE2=8．
又∵BP2=1，BE2=9，
∴BE2=BP2+PE2．
∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90°
在Rt △PCE 中，PC=CE ， ∴∠CPE=∠CEP=45°．
∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°． 练习5 1．连结AM ． ∵M 为CB 的中点， ∴CM=MB ．
又∵AC 2=AM 2-CM 2， BD 2=BM 2-MD 2， ∴AC 2+BD 2=AM 2-MD 2． 又∵AD 2=AM 2-DM 2， ∴AD 2=AC 2+BD 2．
2．36（提示：连结BD ，利用勾股定理及逆定理即可求出）．
3．5cm （提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面， 连结AC （如图），此时线段AC 的长度即为最短距离． ∴AC=2
2
3(22)++=5（cm ）．。