北师大版-数学-八年级上册-勾股定理及应用

勾股定理及应用

勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．

勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．

例1 在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？

练习1

1．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．

2．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．

3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）

_B

_A

_C

_D

A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13 例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？

练习2

1．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？

2-4 2．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）

A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77

例3试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？

分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．

练习3

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形

2-2

2．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=

1

4

BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由．

3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）

A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．

B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．

C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．

D．△ABC不是直角三角形．

例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6.5．求证：△ABC是直角三角形．

分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三

边，再用勾股定理的逆定理去判定．

练习4

1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：

解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②

∴c2=a2+b2．③

∴△ABC为直角三角形．④

问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；

2-7

（2）本题的正确结论是________．

2．如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC 落在AB上，求折痕AD的长．

3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．

例5 如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD 的长．

分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC 的直角边．

∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．

解：作AE⊥BC于E．

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴BE=EC=

1

2

BC=

1

2

×32=16．

在Rt△AEC中，

AE2=AC2-CE2=202-162=144，

∴AE=12．

设DE=x，

则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2，

在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202．

∴144+x2=（16+x）2-202解得x=9．

2-10

2-11

∴BD=BE-DE=16-9=7．

练习5

1．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．

求证：AD2=AC2+BD2．

2-12 2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．

2-13

3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？

2-14