2011年北京市朝阳区初三数学二模试卷及答案

北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数 学 试 卷 2011.6
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2的倒数
A ．2
1 B ．2
1- C ．–2 D ．2 2．为迎接建党九十周年，某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的1 500
000元提高到2 000 000元. 其中2 000 000用科学记数法表示为 A ．7100.2⨯ B ．7102⨯ C ．6102⨯ D ．51020⨯ 3．若一个正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 4．四张完全相同的卡片上，分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从
中任意抽取一张，卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率为 A ．1
B ．4
3
C ．2
1
D ．4
1
5．一支篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下
表：
则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为 A ．26，26 B ．26，26.5 C ．26.5，26 D ．26.5，26.5 6．如图，△MBC 中，∠B=90°，∠C=60°，MB=，点
A 在M
B 上，以AB
为直径作⊙O 与MC 相切于点D ，则CD 的长为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．3
7．有一个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的角
度观察这个正方体所得到的结果如
图所
示，如果标有数字6的面所对面上的数字记为a ，2的面所对面上数字记为b ，那么
a+b 的值为
A ．6
B ．7
C ．
8
D ．9
8．如图(甲)，扇形OAB 的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C 是»
AB 上不同于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点H 在线段DE 上，且EH=3
2
DE ．设EC 的长为x ，△CEH 的面积为y ，图(乙)中表示y 与x 的函数关系式的图象可能是
(第6题图)
图(甲)
A ．
B ．
C ． D.
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若二次根式42-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 10．若等腰三角形两边长分别为2和5，则它的周长是 ．
11．若关于x 的一元二次方程kx 2-2x+1=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 12．如图，扇形CAB 的圆心角∠ACB=90°，半径CA=8cm ，D 为弧AB 的中点，以CD 为直径的⊙O 与CA 、CB 相交于点E 、F ，则弧AB 的长为 cm ，图中阴影部分的面积是 cm 2．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：︒--++-30sin 421832. 14．解不等式组 ()⎩⎨⎧≥-->-3
530
1x x x ，并把解集在数轴上表示出来．
15．解分式方程
11612+-=-x x x . 16．如图，直线1
32
y x =+与x 轴交于点A ，与 y 轴交
于点B.
(1)求点A 、B 的坐标；
(2)若点P 在直线132
y x =+上，且横坐标为-2， 求过点P 的反比例函数图象的解析式.
17．已知：如图，正方形ABCD 的边长为6，将其绕点A 顺时针旋转30°得到正
方形AEFG ，FG 与BC 相交于点H. (1)求证：BH=GH ； (2)求BH 的长．
18．列方程或方程组解应用题：
图(乙
) (第12题图
)
如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD，为了节约材料，花园的一边AD靠着原有的一面墙，墙长为8米（AD<8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB的长．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OE⊥AC，垂足为E，过点A作⊙O的切线与BC的延长线交于点D，sinD=
2
1，OD=20．
(1)求∠ABC的度数；
(2)连接BE，求线段BE的长.
20．为了解某区八年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机抽取了部分学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图，请根据图中信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了名学生；
(2)在图①中，乒乓球项目所对应的扇形的圆心角是度，参加篮球项目
的人数在所调查的所有人数中所占的百分比是 %；
(3)请将图②补充完整；
(4)该区共有4600名八年级学生，估计参加篮球项目的学生有名．21．如图,一艘船在A处测得北偏东60°的方向上有一个小岛C,当它以每小时40海里的速度向正东方向航行了30分钟到达B处后,测得小岛C在其北偏东
15°的方向上，求此时船与小岛之间的距离
1.7
≈≈,结果保留整
数)
图①图②
人
60
50
40
30
10
22．阅读材料并解答问题
如图①，以Rt △ABC 的直角边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，可以得出结论△ABC 的面积与△AEG 的面积相等. (1)在图①中的△ABC 的直角边AB 上任取一点H ，连结CH ，以BH 、HC 为边分别向外作正方形HBDE 和正方形HCFG ，连结EG ，得到图②，则△HBC 的面积与△HEG 的面积的大小关系为 .
(2)如图③，若图形总面积是a ，其中五个正方形的面积和是b ，则图中阴影部分的面积是 . (3)如图④，点A 、B 、C 、D 、E 都在同一直线上，四边形X 、Y 、Z 都是正方形，若图形总面积是m ，正方形Y 的面积是n ，则图中阴影部分的面积是 .
图① 图② 图③ 图④
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．若△ABC 和△ADE 均为等边三角形，M 、N 分别是BE 、CD 的中点．
(1)当△ADE 绕A 点旋转到如图①的位置时，求证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形； (2) 如图②，当∠EAB=30°，AB ＝12，AD=32时，求AM 的长．
24．在△
D E ，以DE 为折
y. (1)AB=10，BC=6的值为 ； (2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D 为AB 中点，则y 的值为 ； (3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x. ①求y 与x 的函数解析式；
②y 是否有最大值，若有，求出y 的最大值；若没有，请说明理由.
图(甲) 图(乙) 备用图
25．已知抛物线216
y x bx c =++经过点A(5,0)，且满足bc=0，b<c ． (1)求该抛物线的解析式；
(2)点M 在直线2y x =上，点P 在抛物线21
6
y x bx c =++上，求当以O 、A 、P 、M 为顶点的四边形为平行四边形时的P 点坐标.
图② 图①
北京市朝阳区九年级综合练习（二） 数学试卷评分标准及参考答案
2011.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．B 8．A 二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．x≥2 10．12 11．k≤1且k≠0 12．4π，（16π-32） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式=2
1
412229⨯--++- ……………………………………………… 4分
=2312+-. ……………………………………………………………… 5分 14
．
解
：
由
1>-x ，解得
1<x . ………………………………………………………… 1分
由
3
)5(3≥--x x ，解得
1-≥x . ……………………………………………… 3分
∴解集为
11<≤-x ．……………………………………………………………… 4分
不等式组的解集在数轴上表示如下：
………………………………………………………… 5分 15．解：()()
11161+-+=-x x x x . ………………………………………………………… 1分
去
分
母
，
得
())1)(1(61-++=+x x x x . ………………………………………2分
去括号，得
)1(622-+=+x x x . ………………………………………………3分
解
得
5=x . ………………………………………………………………………4分
经检验，5=x 是原方程的
解． ………………………………………………… 5分
∴ 原方程的解是5=x ．
16．解：（1）令0y =，则1
302
x +=,解得6x =-. ∴A （-6，0）. …………… 1分
令
x =，则
3
y =. ∴B （0，
3）. ……………………………………2分
（2）∵点P 在直线132
y x =+上，且横坐标为-2，
∴P
（
-2
，
2）. ……………………………………………………………4分
∴过点
P
的反比例函数图象的解析式为
4
y x
=-. …………………… 5分
17．（1）证明：连接AH ，
依题意，正方形ABCD 与正方形AEFG 全等， ∴AB=AG ，∠B =∠G=90°．…………… 1分
在Rt △ABH 和Rt △AGH 中， AH=AH ，
AB=AG ，
∴Rt △ABH ≌Rt △AGH ． ……………… 2分
∴BH=GH. ……………………………… 3分 （2）解：∵∠1=30°，△ABH ≌△AGH ，
∴∠2 =∠3=30°． ……………………… 4分 在Rt △ABH 中，∵∠2 =30°，AB=6，
∴BH=32. ……………………………………………………………………… 5分
18．解：设
AB
长为
x
米，则
BC
长为(24-2x)
米. ……………………………………… 1分
依
题
意
，
得
40)224(=-x x . .…………………………………………… 2分
整理，得 020122=+-x x . 解
方
程
，
得
2,1021==x x . ……………………………………………… 3分
所以当10=x 时，4224=-x ；
当2=x 时，20224=-x （不符合题意，舍去）. …………………
4分
答
：
AB
的
长
为
10
米. ……………………………………………………………… 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）连接OA ，
∵AD
为⊙O
切线， ∴
∠OAD=90°．…… 1分
∵sinD=1
2
，∴∠D=30°．……………… 2分∴∠AOC=60°．
∴∠ABC=1
2
∠AOC=30°．……………… 3分（2）在Rt△OAD中，∠D=30°，OD=20.
∴OA=1
2
OD=10．
∵OE⊥AC，OA=OC，
∴∠AOE=30°，AE=1
2
OA=5．
∴AC=2AE=10.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°．
在Rt△BAC中，
AB=
tan AC
ABC
=
∠
(4)
分
在Rt△ABE中，
=． (5)
分
20．解：（1）200；………………………………………………………………………… 1分（2）108°，25%；…………………………………………………………………3分（3）图略（羽毛球30人）；…………………………………………………… 4分
（4）1150. …………………………………………………………………………5分21．解：由题意可知：∠CAB=30°，∠ABC=105°，AB=20. …………………………1分
∴∠C=45°. …………………………2分 过点B 作BD ⊥AC 于点D ， 在Rt △ABD 中，∠CAB=30°，
∴BD=12
AB=10． ……………………3分 在Rt △BDC 中，∠C=45°，
∴BC=
sin BD
C =…4分
∴BC≈14
（
海
里
）
.
……………………………………………………………5分 答：船与小岛的距离BC 约为14海里. 22
．
（
1
）
相
等； ………………………………………………………………………………1分 （
2
）
2
a b
-； ………………………………………………………………………………3分
（
3
）
24
m n
-. ……………………………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 24．（1）证明：∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，
∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD=60°. ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC ，∠DAC=∠EAD-∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC.
∴△ABE ≌△ACD.
∴CD=BE. ……………………………………………………………………1分
∠ABE=∠ACD ．∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点， 即BM=21BE ，CN=2
1CD. ∴BM= CN. 又AB=AC ， ∴△ABM ≌△ACN ． ∴AM=AN
，
∠MAB=∠NAC ． ………………………………………………2分 ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°． ∴△AMN
是
等
三角
形． 3分
（2）解：作EF ⊥AB 于点F ，
在Rt △AEF 中，
∵∠EAB=30°，AE=AD=32，
∴EF=3. …………………………………………………………
……4分
∵M 是BE 中点， 作MH ⊥AB 于点H ，
∴MH ∥EF
，
MH=2
1EF=
2
3
. ……………………………………………5分 取AB 中点P ，连接MP ，则MP ∥AE ，MP=2
1AE. ∴∠MPH =30°，MP=3． ∴在Rt △MPH 中，PH=2
3. ∴AH=AP+PH=
2
15
. .………………………………………………………6分
在Rt △AMH 中，AM=5722=+MH AH . (7)
分 24
．
解
：
（
1
）
3
8
. …………………………………………………………………………1分 （2）
12. …………………………………………………………………………2分
（3）如图a 作AH ⊥BC 于点H ，在Rt △ABH 中，∵∠B=30°，AB=10，BC=12，
∴AH=5, S △ABC =302
1
=⋅AH BC .
当点A’落在BC 上时，点D 是AB 的中点，即x=5. 故分以下两种情况讨论：
① 当0＜x ≤5时，如b 图，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.
∴1001022
2
x x AB AD S S ABC ADE =⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆. ∴22'10
330100x x S S ADE
DE A =⨯==∆∆. 即
2
10
3x y =
． ………………………………………………………………3分 ∴ 当
x
=5时，
2315
5102
y =
⨯=最大. ………………………………………4分 ② 当5＜x ＜10时，如c 图，设DA’、EA’分别交BC 于M 、N ．
由折叠知，△A’DE≌△ADE ，∴DA’=DA=x，∠1=∠2． ∵DE ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3． ∴∠B=∠3． ∴DM=DB=10-x.
∴MA’=x -(10-x)=2x-10. 由①同理可得2
'10
3x S E DA =
∆. 又△MA’N∽△DA ’E ，
∴ 2
'210MA N DA E S x S x '∆∆-⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()2
2
2321065105
MA N x S x x x '∆-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭. ∴ ''DA E MA N y S S ∆∆=-
2
9123010
x x =-
+- …………………………………………………5分
2
92010103x ⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭
． ∵ 二次项系数0109<-，且当20
3
x =
时，满足5＜x ＜10， ∴
10y =最大． ……………………………………………………………6分
综上所述，当20
3
x =
时，y 值最大，最大值是10． …………………7分
25. 解：（1）把A(5,0)代入21
6y x bx c =++，得25
50()6
b c ++=*. …………1分
∵bc=0，∴b=0或c=0.
当b=0时，代入()*中，得25
6c b =-
<，舍去. 当c=0时，代入()*中，得5
6
b =-，符合题意.
∴
该抛物线的解析式为
215
.66
y x x =
- …………………………………3分 （2）①若OA 为边，则PM ∥OA.
设M(m,2m), ∵OA=5， ∴P(m+5,2m)或P(m-5,2m). 当P(m+5,2m)时， ∵P 点在抛物线上，
∴()()2
1
555266
m m m +-+=, 解得()120,7m m ==舍.
∴P(12,14). ……………………………………………………
…………5分
当P(m-5,2m)时， ∵P 点在抛物线上， ∴()()2
155526
6
m m m ---=, 解得342,25m m ==.
∴P(-3,4)
或
P(20,50). ……………………………………………………7分
②若OA 为对角线，则PM 为另一条对角线. ∵OA 中点为(52
,0)，
设M(m,2m), ∴P(5-m,-2m). ∵P 点在抛物线上， ∴()()2
1555266
m m m ---=-, 解得()560,7m m ==-舍.
∴P(12,14). ……………………………………………………
…………8分
综上,符合条件的P 点共有3个，它们分别是P 1(12,14) 、P 2(-3,4)、P 3(20,50).
（说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确可相
应给分）。