高中数学 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法学案 北师大版必修5-北师大版高一必修5数学学

2．1 一元二次不等式的解法
学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想．
知识点一一元二次不等式的概念
思考我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么你能写出不等式x2>1的解集吗？
梳理(1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．
(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集．
知识点二“三个二次”的关系
思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．
梳理一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集{x|x≠－
b
2a
}R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
∅
知识点三一元二次不等式的解法
思考根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.
梳理解一元二次方程的步骤
解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；
(3)由图像得出不等式的解集．
类型一一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0
例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集．
反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像．
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
命题角度2 二次项系数小于0
例2 解不等式－x2＋2x－3>0.
反思与感悟将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处．
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集．
命题角度3 含参数的二次不等式
例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．
跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.
类型二“三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
反思与感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交
点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
跟踪训练4 已知不等式ax 2
－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，求a ，b 的值．
1．不等式2x 2
－x －1>0的解集是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－1
2
＜x ＜1 B ．{x |x ＞1}
C ．{x |x ＜1或x ＞2}
D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ＜－1
2或x ＞1
2．不等式－6x 2
－x ＋2≤0的解集是( )
A.⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬
⎫
－23≤x ≤12
B.⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬
⎫
x ≤－23或x ≥12
C.⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
x ≥12
D.⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
x ≤－32
3．若不等式ax 2
＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．不等式x 2
＋x －2<0的解集为_________________________________________________． 5．若不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤
①化不等式为标准形式：ax 2
＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2
＋bx ＋c <0(a >0)；
②求方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ； 若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不
漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.
答案精析
问题导学 知识点一
思考 不等式x 2
>1的解集为{x |x <－1或x >1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集． 知识点二
思考 x 2－1>0――→y >0y ＝x 2
－1――→y ＝0x 2－1＝0.
梳理 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b
2a
{x |x <x 1或x >x 2} {x |x 1<x <x 2} ∅ 知识点三
思考 先化为x 2
－3x ＋2>0.
∵方程x 2
－3x ＋2＝0的根x 1＝1，x 2＝2， ∴原不等式的解集为{x |x <1或x >2}． 题型探究
例1 解 因为Δ＝(－4)2
－4×4×1＝0， 所以方程4x 2
－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12
，
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
x ≠12.
跟踪训练1 解 ∵2x 2
－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，
且a ＝2>0，
∴不等式2x 2
－3x －2≥0的解集是 {x |x ≤－1
2
或x ≥2}．
例2 解 不等式可化为x 2
－2x ＋3<0. 因为Δ<0，方程x 2
－2x ＋3＝0无实数解， 而y ＝x 2
－2x ＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是∅.
跟踪训练2 解 不等式可化为3x 2
－6x ＋2<0，
∵Δ＝(－6)2
－4×3×2＝12>0， ∴x 1＝1－
33，x 2＝1＋33
， ∴不等式－3x 2
＋6x >2的解集是 {x |1－
33<x <1＋3
3
}． 例3 解 当a ＜0时，不等式可化为 (x －1
a
)(x －1)＞0，
∵a ＜0，∴1
a
＜1，
∴不等式的解集为{x |x ＜1
a
或x ＞1}．
当a ＝0时，不等式即－x ＋1＜0，解集为{x |x ＞1}． 当a ＞0时，不等式可化为 (x －1
a
)(x －1)＜0.
当0＜a ＜1时，1a ＞1，不等式的解集为{x |1＜x ＜1
a
}．
当a ＝1时，不等式的解集为∅. 当a ＞1时，1
a
＜1，不等式的解集为
{x |1
a
＜x ＜1}．
综上，当a ＜0时，解集为{x |x ＜1
a
或x ＞1}；
当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜1
a
}；
当a ＝1时，解集为∅；
当a ＞1时，解集为{x |1
a
＜x ＜1}．
跟踪训练3 解 当a ＜0或a ＞1时，有a ＜a 2，此时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2
}； 当0＜a ＜1时，有a 2
＜a ，此时，不等式的解集为{x |a 2
＜x ＜a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．
综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2
}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为 {x |a 2
＜x ＜a }；
当a ＝0或a ＝1时，解集为∅. 例4 解 由根与系数的关系，可得
⎩⎪⎨⎪⎧
－a ＝1＋2，b ＝1×2，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝2，
∴不等式bx 2
＋ax ＋1>0，即2x 2
－3x ＋1>0. 由2x 2
－3x ＋1>0，解得x <12
或x >1.
∴bx 2
＋ax ＋1>0的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ＜12或x ＞1.
跟踪训练4 解 方法一 由题设条件知a >0，且1,2是方程ax 2
－bx ＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2＝b a
，1×2＝2
a
，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.
方法二 把x ＝1,2分别代入方程ax 2
－bx ＋2＝0中，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋2＝0，
4a －2b ＋2＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.
当堂训练
1．D 2.B 3.C 4.{x |－2<x <1}
5．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R . 当a －2≠0时，由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a －2<0，Δ<0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a <2，
4a －2
2
－4a －2－4<0，
解得－2<a <2.
综上所述，a 的取值范围为(－2,2]．。