北京市海淀区2013届九年级上学期期末数学试题及答案 (2)

海淀区九年级第一学期上册期末考试试题
数 学 试 卷
（分数：120分 时间：120分钟） 2013.01
班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1.x 的取值范围是 A ．12
x ≠
B ．x ≥1
2
C ．x ≤
1
2
D ．x ≠-
12
2.将抛物线2y x =平移得到抛物线25y x =+，下列叙述正确的是 A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C.向左平移5个单位
D.向右平移5个单位
3.如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC .若:1:2AE EC =，则:AED CEB S S ∆∆为
A.2:1
B. 1:2
C.3:1
D. 1:4
4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 A ．2210x x -+=
B ． 2240x x +-=
C ．2250x x --=
D ．2240x x ++=
5.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =40°，则∠OCB 等于 A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
6.如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解
析式可能为 A ．212y x =- B ．21
(1)2y x =-+ C ．1)1(212---
=x y D ． 21
(1)12
y x =-+-
7．已知0a <
2a 可化简为
A. a -
B. a
C. 3a -
D. 3a
8. 如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点，CF AE
⊥于F .当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为 A ．
B
C
D
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9
= ．
10. 若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m n （填“<”或“=”或“>”）.
11.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 _________cm. 12.
小聪用描点法画出了函数y =
F ，如图所示.结合旋转
的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象1F ，再将图象1F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象2F ，如此继续下去，得到图象n F .在尝试的过程中，他发现点P (4,2)--在图象 上（写出一个正确的即可）；若点P （a ，b ）在图象127F 上，则a = (用含b 的代数式表示) . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.
计算：2
01
1()(3)3
π--+--
14. 解方程：2
280x x +-= .
(0,1)
I
15．已知3a b +=，求代数式22
285a b a b -+++的值.
16.如图，正方形网格中，△ABC 的顶点及点O 在格点上． (1)画出与△ABC 关于点O 对称的△111A B C ；
(2)画出一个以点O 为位似中心的△222A B C ，使得△222A B C 与△111A B C 的相似比为2.
17．如图，在△ABC 与△ADE 中，C E ∠=∠，
12∠=∠,AC AD =2AB ==6,求AE 的长．
18.如图,二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点 C ，顶点为D , 求△BCD 的面积.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知关于x 的方程04
332
=+
+m
x x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；
（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.
20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：
(1) 可求得m 的值为 ； (2) 求出这个二次函数的解析式；
(3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 .
21．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？
22.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，E 为BC 中点. 求证：（1）DE 为⊙O 的切线；
（2）延长ED 交BA 的延长线于F ，若DF =4，AF =2，求BC 的长.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23. 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.
作法：
（1）在e 上任取一点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧交c 于点D ，交d 于点E ； （2）以点A 为圆心，CE 长为半径画弧交AB 于点M ； ∴点M 为线段AB 的二等分点.
图1
解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）
（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB 的三等分点；
图2
（2）点P 是∠AOB 内部一点，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，请找出一个满
足下列条件的点P . （可以利用图1中的等距平行线）
①在图3中作出点P ，使得PM PN =； ②在图4中作出点P ，使得2PM PN =.
图3 图4
24．抛物线2
(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，
与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n . ①求2124263x x n n -++的值；
② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .
25．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，2DE =， 1AB =．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45︒，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ．
图1 图2 图3
解答问题：
（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得
AM
DM
的值为 ； ②在平移过程中，
AM
DM
的值为 （用含k 的代数式表示）； （2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A 落在
线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算
AM
DM
的值； （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α度，0α<≤90，原题中的其他条件保持
不变.计算AM
DM
的值（用含k 的代数式表示）．
海淀区九年级第一学期期末练习
数学试卷答案及评分参考
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
13. 计算：2
01
1()
(3)3
π--+--
解：原式191+-- …………………………………………4分
=7 …………………………………………5分 14. 解方程：2
280x x +-= .
解法一：(4)(2)0x x +-=. …………………………………………3分
40x +=或20x -=.
∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分
解法二： 1,2,8a b c ===-, …………………………………1分
2241(8)360∆=-⨯⨯-=>. ……………………………………2分
∴ x =
. …………………………………………3分
∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分
15．解法一：∵3a b +=，
∴ 2
2
285a b a b -+++
=()()285a b a b a b +-+++ ………………………2分 =3()285a b a b -+++ ………………………3分 =5()5a b ++ ………………………4分 =535⨯+
=20. ………………………5分
解法二：∵3a b +=，
∴3b a =-. .…………………………1分
原式= 22(3)28(3)5a a a a --++-+.…………………………2分
=22(96)22485a a a a a --+++-+ .…………………………3分 =58242692
2
+-++-+-a a a a a .…………………………4分
=20. ………………………5分
16.例如：
∴△111A B C 、△222A B C 为所求.
(注：第（1）问2分；第（2）问3分，画出一个正确的即可.) 17. 解：∵12∠=∠，
∴CAB EAD ∠=∠. ………………………1分 ∵C E ∠=∠，
∴△CAB ∽△EAD . ………………………3分
∴
AB AC
AD AE
=. ………………………4分 ∵AC AD =2AB ==6， ∴=3AB . ∴36=6AE
. ∴12AE =. ………………………5分
18. 解法一：依题意，可得223y x x =-++=2
14x -
-+（）. ∴顶点(1,4)D . ……………1分 令0y =，可得3x =或1x =-.
∴A (1,0)-、B (3,0). (2)
分
令0x =，可得3y =.
∴(0,3)C . ……………3分
∴直线CD 的解析式为3y x =+. 设直线CD 交x 轴于E . ∴(3,0)E -.
∴6BE =. …….………….…………4分 ∴3BCD BED BCE S S S =-= .
∴△BCD 的面积为3. …….………….…………5分
解法二：同解法一，可得A (1,0)-、B (3,0)、(0,3)C 、(1,4)D . ……………3分
∴直线BC 的解析式为3y x =-+. 过点D 作DE ∥BC 交x 轴于E ,连接CE . ∴设过D 、E 两点的直线的解析式为y x b =-+.
∵(1,4)D ，
∴直线DE 的解析式为5y x =-+. ∴(5,0)E .
∴2BE =. ….…………4分 ∵DE ∥BC ， ∴1
32
BCD BCE S S BE OC ==
⨯⨯= . ∴△BCD 的面积为3. . .………….………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）∵关于x 的方程04
332
=+
+m
x x 有两个不相等的实数根， ∴∆930m =->. …………………………1分 ∴3m <. .…………………………2分 （2）∵m 为符合条件的最大整数，
∴2m =. .…………………………3分
∴2
3
302
x x ++
=. 222333
3()()222x x ++=-+.
233
()24
x +=.
2331-=
x ，2
3
32--=x . ∴方程的根为2331-=
x ，2
3
32--=x . .…………………………5分 20．解：(1)m 的值为3； .…………………………1分
(2) ∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），
∴设二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =--. .…………………………2分 ∵图象经过点(0,3)，
∴1a =. .…………………………3分
∴这个二次函数的解析式为243y x x =-+. .…………………………4分 (3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 1-≤3<y . .…………………5分 21. 解：如图所示，建立平面直角坐标系.
设二次函数的解析式为2y ax =(0)a ≠. .…………………1分 ∵图象经过点(2,2)-， .…………………2分
∴24a -=，
1
2a =-
. ∴2
12y x =-. .…………………3分
当3y =-时，x = .…………………4分
答：当水面高度下降1米时，水面宽度为. .…………………5分 22．（1）如图，连接,OD BD . ………………1分
∵在⊙O 中，OD OB =，
∴∠1=∠2.
∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB CDB ∠=∠=︒. ∵E 为BC 中点， ∴1
2
ED BC EB =
=. ∴∠3=∠4.
∵BC 切⊙O 于点B ， ∴90EBA ∠=︒.
∴132490∠+∠=∠+∠=︒, 即90ODE ∠=︒.
∴OD ⊥DE .
∵点D 在⊙O 上，
∴DE 是⊙O 的切线. ……………2分
（2）∵OD ⊥DE ，
∴90FDO ∠=︒.
设OA OD r ==.
∵222
OF FD OD =+, DF =4，AF =2，
∴222(2)4r r +=+.
解得3r =. ……………………………………3分
∴3,8OA OD FB ===.
∵,90F F FDO FBE ∠=∠∠=∠=︒,
∴△FDO ∽△FBE . ……………………………………4分 ∴
FD OD FB BE
=. ∴ 6.BE = ∵E 为BC 中点，
∴212.BC BE ==……………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23. 解：（1）
……………………2分
（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.）
(2)① ②
……………………4分 ……………………7分
24．解：（1）解法一：∵抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与y 轴交于点C ，
∴(0,3)C -. ……………………1分
∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，OB=OC ，
∴B (3,0)或B (-3,0).
∵点A 在点B 的左侧，0m >，
∴抛物线经过点B (3,0). ……………………2分
∴093(3)3m m =+--.
∴1m =.
∴抛物线的解析式为322--=x x y . ……………………3分 解法二：令0y =,
∴2(3)3=0mx m x +--.
∴(1)(3)0x mx +-=. ∴31,=x x m
=-. 0m > ，点A 在点B 的左侧， ∴3(1,0),(,0)A B m
-. ……………………1分 令0x =，可得3y =-.
∴(0,3)C -.
∴3OC =. ……………………2分
OB OC = , ∴
33m
=. ∴1m =. ∴322
--=x x y . ……………………3分
（2）①由抛物线322--=x x y 可知对称轴为1x =. ……………4分 ∵点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在这条抛物线上，且12x x <，PQ n =， ∴121,122
n n x x =-=+. ……………………5分 ∴1222,22x n x n =-=+.
∴原式=736)2()2(2
=+++--n n n n . ……………………6分 ②42b -<<-或0b =. ……………………8分
（注：答对一部分给1分.）
25．解：（1）①1；……………………1分
②2
k ；……………………2分 （2）解：连接AE .
∵ABC DEF ∆∆，均为等腰直角三角形，
2,1DE AB ==， ∴2,1,90,4545.EF BC DEF ==∠=︒∠=∠=︒
∴90.DF AC EFB ==∠=︒
∴2,DF AC AD ==
∴点A 为CD 的中点. ……………………3分
∴,.EA DF EA DEF ⊥∠平分
∴90,45MAE AEF ∠=︒∠=︒,AE
∵45,BEM ∠=︒
∴1+2=3+2=45∠∠∠∠︒.
∴1= 3.∠∠
∴AEM ∆∽FEB ∆. ∴.AM AE BF EF
= ……………………4分
∴AM =
∴22DM AD AM =-=
=∴
1AM DM
=. ……………………5分 （3） 过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，连接AG 、BG . ∴90EBG ∠=︒.
∵45BEM ∠=︒，
∴45EGB BEM ∠=∠=︒.
∴BE BG =.
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴90.BA BC ABC =∠=︒，
∴12∠=∠.
∴△ABG ≌△CBE . ……………………6分
∴34AG EC k ==∠=∠，.
∵3+65+4=45∠∠=∠∠︒，
∴65∠=∠.
∴AG ∥DE .
∴△AGM ∽△DEM . ∴.2
AM AG k DM DE == ……………………7分 (注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)。