SHAPLEY值方法介绍
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最后，求得考虑投入因素时，应分利益
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
13
THANK YOU.
14
收入400元，三人合作可收入1000元。问三人合作时如何合理地分
解
配1000元的收入？
分析xi：(v用) 公式语S言N w描述(s该)[问v(题S)如- v下(S：-
i)];
w(s)
(s
-1)!(n n!
-
s)!
（三人经商问题）: V({i})=100,i=1,2,3; v({1,2})=700, v({1,3})=500,
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目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
10
四、拓展
1.SHAPLEY值算法缺点
• 分配方案受到收益状况的影响，并未考虑 投入因素、风险因素、努力因素、客户因 素等的差异；
• 忽略参与者之间的相互作用； • 使用SHAPLEY值计算需要知道所有合作方
式的获利情况，现实情况很难办到； • ……
其中，s表示联盟S中的参与人个数，v( ) =0。
同理，成本分摊博弈中的SHAPLEY值
只需要把上述公式中的v换成c即可。 7
目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
8
三、一道例题
例
（三人经商问题）：A、B、C三人合作经商。单干没人可收入100元， A、B合作二人可收入700元，A、C合作二人收入500元，B、C合作
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
300
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
200
解当得N=：{1x,21(}v时)=，40A0、. 同B各理分可得得3，50x2元(v；)=当35N0=, {x13(,3v)}=时2，50A. 、C各 分得250元。
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
5
二、SHAPLEY值算法一般形式
1.SHAPLEY值步骤
• 验证合作博弈为实质博弈 在集合(N,v)上如果存在v(N)>∑v(i)且i∈N.
• 超可加性-旧的联盟有组成新的联盟的动机 若R,S N，且R∩S= ,则v(R∪S)>=v(R)+v(S).
701000
600 v(S) 400
100600 500
v(S\{1})
|S| 0
1001
2 v(S\{1}) 2
03
100
v(S)- v(S\{1}) w(S)100
6010/3
|S| w(S)[v(S)- v(1S\{1})] 1200/3
1/6v(S)- v(S\{11}/6) 100 |S| 200/3
合作博弈
纳什均衡
……
SHAPLEY值
……
3
一、SHAPLEY值介绍
3.SHAPLEY值的思想
• 目的 在一个大联盟N中，根据给定不同合作方式 S对应的贡献函数v,得出最优利益分配（成 本分摊）方案。
• 思想 参与者所应获得的效益x(i)等于该参与者对 每一个它所参与的联盟的边际贡献的期望 值。
4
目录
• 个体理性与集体理性
x (i )≥ v(i); ∑ i∈Nxi=v(N).
• SHAPLEY值公理 SHAPLEY值是满足匿名性、有效性、可加性和 虚拟性四个性质的唯一解。
• 假设前提
系统各成员的投入是均等的；
6
二、SHAPLEY值算法一般形式
2.算法的一般形式--以利益分配为例
N代表大联盟，v代表收益函数。 注：参与者可以组成任意的小联盟S。
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
SHAPLEY值
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目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
2
பைடு நூலகம்
一、SHAPLEY值介绍
21.SHAPLEY值的应背用景范围
博弈论
非合作博弈
分析单位：个人； 研究侧重：参与人在博弈中如 何决策。
成本分摊 利益分配
分析单位：联盟； 研究侧重：参与人如何组建 不同的联盟以实现协议目标。
v({2,3})=40△01; v({1,2,3})=1{10}00. {1,2}
{1,3}
{1,2,3}
求
△1
v(S)
x1(v),xv2(S(v\{)1,x}{)31(}v).
100 {1,20}
700
500
100 △1 100
1000 {1}400 {1,3}
v(S) v(S)- v(S1\{010})
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四、拓展
2.SHAPLEY值修正—核心部分
• 加权SHAPLEY值 • Owen值 • 分解原则 • 联盟形成 • 一致许可值 • 作为谈判极限的SHAPLEY值
12
四、拓展
3.加权SHAPLEY值介绍-以投入指标为例
首先，将对利益分配有影响的投入指标设为Cj,j=1,2,3,……,k.
第二，利用定量分析方法求得各种指标Cj下投入权重,
权重可采用ANP、AHP、模
k，∑k=1.
糊数学等方法确定。
显然，各成员的各种投入为Cik,各成员i的投入Di= ∑Cik. k 可求得，各成员i实际承担的投入因子D’i=Di/∑Di, ∑D’i=1. 实际投入因子与理论均摊因子1/n的差值：△Di=D’i-1/n
第三，利润分配补偿值△xi(v)= xi(v) * △Di* 1,其中 1为调 节系数，0< 1<1.
iw解112100vs10vsvs1100600s1ws12wsvsvs1503001vs113100500vs10100vsvs1100400s12ws1212wsvsvs15020010目录shapley值介绍shapley值算法一般形式1道例题拓展11四拓展?分配方案受到收益状况的影响并未考虑投入因素风险因素努力因素客户因素等的差异
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
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THANK YOU.
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收入400元，三人合作可收入1000元。问三人合作时如何合理地分
解
配1000元的收入？
分析xi：(v用) 公式语S言N w描述(s该)[问v(题S)如- v下(S：-
i)];
w(s)
(s
-1)!(n n!
-
s)!
（三人经商问题）: V({i})=100,i=1,2,3; v({1,2})=700, v({1,3})=500,
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SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
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四、拓展
1.SHAPLEY值算法缺点
• 分配方案受到收益状况的影响，并未考虑 投入因素、风险因素、努力因素、客户因 素等的差异；
• 忽略参与者之间的相互作用； • 使用SHAPLEY值计算需要知道所有合作方
式的获利情况，现实情况很难办到； • ……
其中，s表示联盟S中的参与人个数，v( ) =0。
同理，成本分摊博弈中的SHAPLEY值
只需要把上述公式中的v换成c即可。 7
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三、一道例题
例
（三人经商问题）：A、B、C三人合作经商。单干没人可收入100元， A、B合作二人可收入700元，A、C合作二人收入500元，B、C合作
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
300
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
200
解当得N=：{1x,21(}v时)=，40A0、. 同B各理分可得得3，50x2元(v；)=当35N0=, {x13(,3v)}=时2，50A. 、C各 分得250元。
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
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二、SHAPLEY值算法一般形式
1.SHAPLEY值步骤
• 验证合作博弈为实质博弈 在集合(N,v)上如果存在v(N)>∑v(i)且i∈N.
• 超可加性-旧的联盟有组成新的联盟的动机 若R,S N，且R∩S= ,则v(R∪S)>=v(R)+v(S).
701000
600 v(S) 400
100600 500
v(S\{1})
|S| 0
1001
2 v(S\{1}) 2
03
100
v(S)- v(S\{1}) w(S)100
6010/3
|S| w(S)[v(S)- v(1S\{1})] 1200/3
1/6v(S)- v(S\{11}/6) 100 |S| 200/3
合作博弈
纳什均衡
……
SHAPLEY值
……
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一、SHAPLEY值介绍
3.SHAPLEY值的思想
• 目的 在一个大联盟N中，根据给定不同合作方式 S对应的贡献函数v,得出最优利益分配（成 本分摊）方案。
• 思想 参与者所应获得的效益x(i)等于该参与者对 每一个它所参与的联盟的边际贡献的期望 值。
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目录
• 个体理性与集体理性
x (i )≥ v(i); ∑ i∈Nxi=v(N).
• SHAPLEY值公理 SHAPLEY值是满足匿名性、有效性、可加性和 虚拟性四个性质的唯一解。
• 假设前提
系统各成员的投入是均等的；
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二、SHAPLEY值算法一般形式
2.算法的一般形式--以利益分配为例
N代表大联盟，v代表收益函数。 注：参与者可以组成任意的小联盟S。
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
SHAPLEY值
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目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
2
பைடு நூலகம்
一、SHAPLEY值介绍
21.SHAPLEY值的应背用景范围
博弈论
非合作博弈
分析单位：个人； 研究侧重：参与人在博弈中如 何决策。
成本分摊 利益分配
分析单位：联盟； 研究侧重：参与人如何组建 不同的联盟以实现协议目标。
v({2,3})=40△01; v({1,2,3})=1{10}00. {1,2}
{1,3}
{1,2,3}
求
△1
v(S)
x1(v),xv2(S(v\{)1,x}{)31(}v).
100 {1,20}
700
500
100 △1 100
1000 {1}400 {1,3}
v(S) v(S)- v(S1\{010})
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四、拓展
2.SHAPLEY值修正—核心部分
• 加权SHAPLEY值 • Owen值 • 分解原则 • 联盟形成 • 一致许可值 • 作为谈判极限的SHAPLEY值
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四、拓展
3.加权SHAPLEY值介绍-以投入指标为例
首先，将对利益分配有影响的投入指标设为Cj,j=1,2,3,……,k.
第二，利用定量分析方法求得各种指标Cj下投入权重,
权重可采用ANP、AHP、模
k，∑k=1.
糊数学等方法确定。
显然，各成员的各种投入为Cik,各成员i的投入Di= ∑Cik. k 可求得，各成员i实际承担的投入因子D’i=Di/∑Di, ∑D’i=1. 实际投入因子与理论均摊因子1/n的差值：△Di=D’i-1/n
第三，利润分配补偿值△xi(v)= xi(v) * △Di* 1,其中 1为调 节系数，0< 1<1.
iw解112100vs10vsvs1100600s1ws12wsvsvs1503001vs113100500vs10100vsvs1100400s12ws1212wsvsvs15020010目录shapley值介绍shapley值算法一般形式1道例题拓展11四拓展?分配方案受到收益状况的影响并未考虑投入因素风险因素努力因素客户因素等的差异