2019-2020年高考高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明课件理

解析 (1)观察可知每一行右边的数字都是连续的奇数，且奇
数的个数等于所在的行数加1，每行的第一个数字为行数加1
的和的3次方减去所在的行数，设行数为n，用an1表示每行的 第一个数，则an1 ＝(n＋1)3－n，因此第4行第一个数为(4＋1)3 －4＝121，则第4个等式为：54＝121＋123＋125＋127＋129.
＜
________(a，b 为正数，且 a＞b).
解析 每一个不等式的右边是在不等式左边的分子，分母上各 加了相同的正数，因此猜测：ba＜ba＋ ＋mm，(a，b，m 均为正数， 且 a＞b). 答案 ba＋ ＋mm(a，b，m 均为正数，且 a＞b)
(2)类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”得空间相 应的结论为________.
►数学归纳法的两点注意 [①明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时命题成立. ②由 n＝k 证明 n＝k＋1 时，弄清增加的项，并明确变形目标] (4)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋… ＋a2n＋1＝1－1－a2an＋2(a≠1)” 在验证 n＝1 时，左端计算所得项为________. 解析 将 n＝1 代入 a2n＋1 得 a3，所以应为 1＋a＋a2＋a3. 答案 1＋a＋a2＋a3
都具有这些特征的推理，或者由 一类对象也具有这些特征的推理
个别事实概括出一般结论的推理
由 部分到 整体 、由 个别 到 特点
一般 的推理
由 特殊 到 特殊的推理
(1)找出两类事物之间的相似性或一 (1)通过观察个别情况发现某些相
致性； 一般 同性质；
(2)用一类事物的性质去推测另一类 步骤 (2)从已知的相同性质中推出一个
知识点三 数学归纳法
1.数学归纳法的定义 (1)当 n 取第一个值 n0 时，证明命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当__n_＝__k_＋__1___ 时，命题也成立.于是命题对一切 n∈N*，n≥n0，命题都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)当 n＝n0 时，验证命题成立； (2)假设 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，推证__n_＝__k_＋__1___时， 命题也成立，从而推出对所有的从 n0 开始的正整数命题成立. 两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠 基；第二步是递推的依据，也叫归纳递推，两者缺一不可.
事物的性质，得出一个明确的命题 明确的一般性命题(猜想)
(猜想)
3.演绎推理 (1)定义：从 一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下 的 结
论,我们把这种推理称为演绎推理； (2)特点：演绎推理是由理的一般模式，包括：
“三段论” 的结构
①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断
(2)法一 设数列{an}的公差为 d1， 则 d1＝ann－－mam＝nb－－ma . 所以 am＋n＝am＋nd1＝a＋n·nb－－ma ＝bnn－－mam. 类比推导方法可知：设数列{bn}的公比为 q， 由 bn＝bmqn－m 可知 d＝cqn－m，
n－m
所以 q＝ dc，
n－m
所以 bm＋n＝bmqn＝c·
第五节 推理与证明
知识点一 合情推理与演绎推理
1.推理 (1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程. (2)分类：推理一般分为 合情推理 与 演绎推理 两类.
2.合理推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具有某些 由两类对象具有某些类似特征和其中 定义 特征，推出该类事物的 全部对象 一类对象的某些已知特征，推出另
(1)解 因为四边形 OABC 为菱形， 所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 设 At，12，代入椭圆方程得t42＋14＝1， 即 t＝± 3.所以|AC|＝2 3.
(2)[证明] 假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC⊥OB，所以 k≠0. 由xy2＝＋k4xy＋2＝m4，，消 y 并整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 设 A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则x1＋2 x2＝－1＋4km4k2，y1＋2 y2＝k·x1＋2 x2＋m＝1＋m4k2.
n－m dn
(2)
cm
[点评] 关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的
方法，进一步解决问题即可.
综合法和分析法求解方略
利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结 论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定 义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时 命题得证.
数学归纳法的应用求解策略
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在 于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初 始值n0是几； (2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充 分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳 证明的步骤，从而使问题得以证明； (3)用上归纳假设后，可采用分析法、综合法，求差(求 商)比较法、放缩法等证明.
n－m
dcn＝
dn cm.
法二 (直接类比)设数列{an}的公差为 d1，数列{bn}的公比为 q， 因为等差数列中 an＝a1＋(n－1)d1，等比数列中 bn＝b1qn－1，因为 am＋n＝nnb－－mma，
n－m
所以 bm＋n＝
dn cm.
答案
(1)54＝121＋123＋125＋127＋129
(2)设 logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得 logca＝x1y，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy. 于是，所要证明的不等式即为 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy. 其中 x＝logab≥1，y＝logbc≥1. 故由(1)成立知 logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac 成立. [点评] 分析法和综合法各有优缺点.实际证题时常常两法兼 用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.
[点评] 由k到k＋1的证明中寻找由k到k＋1的变化规律是难点， 突破难点的关键是掌握由k到k＋1的证明方法.
反证法证明数学问题 【示例】 (2013·北京卷)直线 y＝kx＋m(m≠0)与椭圆 W：x42＋
y2＝1 相交于 A，C 两点，O 是坐标原点. (1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC 的长； (2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不 可能为菱形.
综合法证题的思路
【例 2】 (1)设 x≥1，y≥1，证明 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy； (2)设1<a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明 (1)由于 x≥1，y≥1， 所以要证明 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy， 只需证 xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
(2)证明 ①由(1)知，当 n＝1，2，3 时，通项公式成立. ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1. 由于 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式，整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1， 即 n＝k＋1 时通项公式成立. 由①②可知对所有 n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立.
2.间接证明——反证法
一般地，假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论不 成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误 ， 从而证明了 原命题成立 ，这样的证明方法叫做反证法.
►一个易错点：反证法. (3)[反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为 条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论， 不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法]用反证法证明 “ 三 角 形 中 至 少 有 一 个 内 角 不 小 于 60 ° ” ， 应 先 假 设 为 ________. 答案 三角形中每一个内角都小于60°
“三段论” 的表示
①大前提—— M是P ； ②小前提—— S是M ； ③结论——S是P
►合情推理的两种类型：归纳推理；类比推理.
[合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结
论要经过严格证明]
(1)
已
知 23
＜
2＋1 3＋1
，
2 3
＜
2＋2 3＋2
，
2 3
＜
2＋3 3＋3
，
…
，
推
测
猜
想
b a
【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝a2n＋a1n－1， 且 an>0，n∈N*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性.
(1)解 当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1， a21＋2a1－2＝0.∴a1＝ 3－1(a1>0). 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2>0).同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*).
推理问题突破方法
归纳推理技巧与方法
常见类型
解题策略
与数字有关的等式 观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及
的推理
符号可解
与式子有关的推理 观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的 合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用
推理
赋值检验法验证其真伪性
类比推理的技巧与方法
类别 类比 定义
类比 性质
(5)已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式 f(2n)＞n2 时，f(2k＋1)比 f(2k)多的项数是________. 解析 f(2k)＝1＋12＋13＋…＋21k， f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k，故 多了 2k 项. 答案 2k
类比 方法
解读
适合题型
在求解由某种熟悉的定义产生的类比 已知熟悉定义类比新定
推理型试题时，可以借助原定义来求 义
解
从一个特殊式子的性质、一个特殊图
形的性质入手，提出类比推理型问题， 平面几何与立体几何、
求解时要认真分析两者之间的联系与 等差数列与等比数列
区别，深入思考两者的转化过程是求
解的关键
有一些处理问题的方法具有类比性， 已知熟悉的处理方法类
可以把这种方法类比应用到其他问题 比未知问题的处理方法
的求解中，注意知识的迁移
【例1】 (1)(2016·河南八市重点高中联考)观察下列等式： 24＝7＋9 34＝25＋27＋29 44＝61＋63＋65＋67 …… 照此规律，第 4 个等式可为________.
(2)(2014·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，若 am＝a，an＝b(n －m≥1，m，n∈N*)，则 am＋n＝nnb－－mma.类比等差数列{an}的上 述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝c，bn＝d(n －m≥2，m，n∈N*)，则可以得到 bm＋n＝________.
解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从 而具有结论：三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积. 答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
知识点二 直接证明与间接证明
1.直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是 综合法 和 分析法 . (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结 论成立，这种证明方法叫做综合法. 综合法又称为： 由因导果法 (顺推证法). (2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这 种证明方法叫做分析法. 分析法又称为： 执果索因法 (逆推证法).
将上式中的右式减左式，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1). 因为 x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立.