近浅海单点悬链式系泊系统的设计研究

论文题目：近浅海单点悬链式系泊系统的
设计研究
类别：自然科学类学术论文
符号说明g：重力加速度；
ρ：海水密度；
λ：锚链单位长度质量；
s：锚链长度；
V：浮标体积
R：浮标半径；
h：浮标的水下高度；
d：浮标的游动区域半径；
d：各节钢管在水平方向投影的总和；
1
d：钢桶在水平方向投影长度
2
L：钢管的长度；
1
L：钢桶的长度；
2
L：锚链长度
3
近浅海单点悬链式系泊系统的设计研究
摘要：以近浅海观测网的传输节点为例对其赋值假设，对系泊系统各部分进行受力分析，通过锚链的力学平衡分析得到相应的常微分方程，求得锚链的形状函数
()111ch y bx C b b =+-（其中，cos mao g b F ρα=
，(1ln C a =+）。

根据静力平衡条件建立力学平衡方程，进而建立多目标非线性优化模型，给定约束条件即可利用逼近算法求得最优锚链，即完成了系泊系统的初步设计。

【关键词】系泊系统 悬链线 非线性优化模型逼近算法
我国海域辽阔，发展海洋事业至关重要。

在海洋研究中，近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示），其中浮标系统一般采用单点系泊的方式锚定在指定海域，而悬链线式系泊系统因其结构简单、可靠，经济性好被广泛运用于各个方面，但海上情况复杂多变，浮标在锚定海域的运动情况以及锚系的受力情况对于浮标的可靠性至关重要，所以系泊系统的设计就显得尤为关键，为此，需要对浮标的系泊系统进行研究和分析。

我们现将近浅海观测网的传输节点进行简化，使其可量化后从而建立数学模型，模拟出在不同海洋环境下近浅海观测网的传输节点的受力情况。

以此建立系泊系统设计的多目标非线性方程组，解决在复杂海洋环境下系泊系统的设计问题。

图 1 传输节点示意图
1 建模准备
1.1 实例假设
为建立模型，现给出一实例假设。

设某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作
效果。

钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

由此，系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

（游动区域的半径为浮标与锚的水平距离）
1.2刚体间相互作用力相关证明
假设现有几个长杆相互连接，则长杆视为刚体，易得杆间相互作用点在连接点处，因连接点可视为质点，故在连接点处合力应为零，所以杆1、杆2之间的作用力1F 、2
F 不可能是沿杆方向，而是位于同一延长线上（如图1-1），且大小相等、方向相反，此时12ωω∠=∠，下面证明1F 、2F 与竖直方向的夹角角度。

图 1 -2
图 1-1
如图1-2所示，杆1与竖直方向夹角为2
θ，杆2与竖直方向夹角为3θ，12ψψ∠=∠，φ∠即为所求。

由图1-2易得，
233()()22
θπθπθφ+-+-= 解得 232θθφ+=
即1F 、2F 与竖直方向的夹角为
232θθ+。

1.3锚链方程求解 锚链两端固定，受重力作用自然下
垂，故假设锚链近似为一悬链线[2]。

取坐
标系如图1-3，考察点A （锚链与锚连接
点）到点M(x,y)（锚链与钢桶连接点）
弧段的受力情况：
A 点受切向拉力mao F M 点受切向拉力'l F 弧段重力大小gs ρ
按静力平衡条件，有 cos cos sin sin l mao l mao F F F F gs θαθαρ==+
两式相除，得
tan a bs θ=+
其中， tan cos mao a g
b F αρα==
图 1-3 锚链示意图
故有
0y a b '=+⎰
从而
y ''=
则得定解问题：
000,x x y y y a ==''='==
令()y p x '=，则dp
y dx ''=，原方程化为
bdx =
两端积分，得
1Arsh p bx C =+
由0x y a ='=，得
(1ln C a =
则有 ()1sh y bx C '=+
两端积分，得
()121
ch y bx C C b =++
由00x y ==，得 21
C b =-
故 ()11
1
ch y bx C b b =+-
()1111
2bx C bx C e e b b +--=+-
其中， cos mao g
b F ρα=，(1ln
C a =
式（*）即为锚链方程。

（*）
1.4 实例分析
系泊系统的主要功能是在浮体受到外力作用而发生偏移时为其提供回复力，使其回到平衡位置，从而将浮体固定到海面上一定的位置，而系泊设计的目的就是在设计环境条件下使得系泊荷载和浮筒漂移始终处于可接受的范围。

假设无外力（风力、水流力等）时传输节点近似处于竖直状态（水平方向上无力的作用），这时对浮标施一方向水平向右的外力（如风力），则浮标及整个节点将在外力作用下向右漂移，当各力再次平衡（即合力为零）时，节点将停止漂移并处于一个新的平衡状态，由此首先对处于新的平衡状态下的各部分进行受力分析，根据静力平衡条件列出平衡方程求解，从而可得出各倾斜角度及浮标吃水深度和游动区域。

假设锚链形状为一悬链线，于是可参考悬链线求解方法，建立坐标轴求解方程从而证明假设。

为了简化问题，作如下假设：
（1）锚链为一曲线；
（2）重物球由绳与钢桶相连；
（3）各节钢管所受浮力相同；
（4）近浅海中海水对锚和重物球的浮力忽略不计；
（5）水流力对钢管和钢桶的倾斜角的影响可忽略不计；
（6）各链环无重合连接，即锚链长度=链环节数×每节链环的长
度。

2模型建立
2.1受力分析
为建立方程求解，分别对浮标、各节钢管、钢桶、重物球、锚链及整个系统作受力分析，再根据静力平衡条件列出平衡方程[1]。

（注：方程中字母均仅代表力的大小；因F和F 大小相等，方向相反，故方程中统一写为F）
（1）浮标
对浮标作受力分析，如图2-1建立坐标轴，并根据静力平衡条件列出平衡方程；
竖直方向上： 1111cos F G F θ=+浮
水平方向上： 111sin wind w F F F θ+=
（2）钢管
如图2-2，对各节钢管分别作受力分析，并建立坐标轴（如图中钢管1），根据静力平衡条件列出平衡方程；
图 2-1 浮标受力示意图
①钢管1
竖直方向上： 1
2
1122cos cos 2
F F
G F θθθ++=+浮2
水平方向上： 12
112sin sin 2
w F F F θθθ++=2
②钢管2
竖直方向上： 23
12
223cos
cos
22
F F
G F θθθθ+++=+浮2
水平方向上： 231223sin sin 22
w F F F θθθθ
+++=2
②钢管3
竖直方向上： 23
34
324cos
cos
22F F G F θθθθ+++=+浮2
水平方向上： 233434sin sin 22
w F F F θθθθ
+++=2
②钢管4
竖直方向上： 34
42cos
cos 2
F F
G F θθβ++=+浮2桶
图 2-2 各节钢管受力示意图
水平方向上： 34
4sin sin 2
w F F F θθβ++=2桶
（3）重物球
竖直方向上： 4s F G = （4）锚链
竖直方向上： 5sin cos mao l G F F αγ+= 水平方向上： cos sin mao l F F αγ=
图 2-3 重物球受力示意图
图 2-4 锚链受力示意图
图 2-5 钢桶受力示意图 图 2-6 系统受力示意图
（5）钢桶
对钢桶作受力分析，如2-5建立坐标轴，并根据静力平衡条件列出平衡方程；
竖直方向上： 3sin sin w l F F F βγ+=桶 水平方向上： 3cos cos s l F F G F F βγ+=++浮3桶 （6）系统
对系统作受力分析，如图2-6建立坐标轴，并根据静力平衡条件列出平衡方程；
竖直方向上： F N G +=浮 水平方向上： wind w f F F =+ （7）锚
对锚作受力分析，如图2-7建立坐标轴，并根据静力平衡条件列出平衡方程；
竖直方向： 6sin mao F N G α+= 水平方向： 4cos mao w f F F α=+ 2.2模型建立
由于水流力对钢管以及钢桶的倾斜角的影响可忽略不计，故取定一个重物球的质量，算出在此质量下作用于钢管、钢桶和浮标沉入水中部分的水流力大小，作为一个初始量；之后随着锚链重力以及浮标重力的改变，将只影响浮标沉入水中部分的水流力大小（浮标吃水深度变化），对于不同的条件，浮标沉入水中部分的水流力大小不断改变。

倾斜角、锚链方程及浮标游动区域的求解则通过固定变量转化为简单情况。

图 2-7 锚受力示意图
由受力分析可得
()5tan tan wind w
wind w F F G F F γα
+=++
3
343
tan tan wind w w wind w
F F F F F
G G F βγ+-=
+++-浮
34
32
3
2tan
2
tan wind w w w wind w w F F F F F F F G F θθβ
++--=
+-+-浮2
23
32
322342tan
2tan()
2
wind w w w wind w w w F F F F F F F F G F θθθθ++--=
+--+-+浮2
321232
2233tan 22tan()
2wind w w w wind w w w F F F F F F F F G F θθ
θθ+--+=+--+-+浮2
132
212tan 3tan()
2
wind wind w w w F F F F F F G F θθθ+=+--+-+w1
浮2
1
13
tan wind w F F gL θρ+= 进而构建多目标函数： ①吃水深度函数
由 123w w w w F F F F =++
1234534tan tan 4wind w G G G G G F F F F gV ααρ++++++--=浮浮2水 2V R h π=⋅⋅ 可求得吃水深度函数：
()6324
=
-++tan -4wind w h G G F F F F d g απρ-⎡⎤⎣
⎦浮浮2
化简得： ()45=p h G G q ++
其中， ,q pu =()4563-+tan -4wind w u G G G G F F F F α=----浮浮2 ②钢桶倾斜角函数
由 ()5tan tan wind w
wind w F F G F F γα
+=++
3
343
tan tan wind w w wind w
F F F F F
G G F βγ
+-=
+++-浮
显然2
π
β≤，可求得浮标游动区域函数，
()33453arctan +tan -wind w w wind w F F F G F F F G G βα⎧
⎫+-⎪
⎪=⎨
⎬+++⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭
浮
化简得： 45arctan v
w G G β⎛
⎫=
⎪++⎝⎭
其中， 3,wind w w v F F F =+-()33+tan -wind w w G F F F α=+浮 ③浮标游动区域函数
由 4
111sin i i d L θ==⋅∑
2245sin arctan a
d L b G G ⎡⎤⎛⎫=⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣
⎦ 已知锚链方程()y f x =，取其纵坐标y 代表锚链在竖直方向上的投影长度，则其横坐标（由()1f y -可求）即表示锚链在水平方向的投影长度，
可求得浮标游动区域函数，
()112d f y d d R -=+++
以上多目标函数只需给出约束条件，利用逼近算法即可求得近似解。

3模型推广
（1）为简化模型，我们将锚链近似视为一条长度固定不变的悬链线，在实际情况下，对于无档普通链环的锚链，其形状可能不是一条光滑曲线，且其在水中的长度是一个变化范围而非固定值。

（2）在运用程序求解浮标沉入水中部分的高度以及求解锚链在海床的投影长度时，由于直接求解析解过于复杂，我们采用了求近似解的方法得解，故存在一定误差，会 导致模型的求解不精确。

（3）实际锚链、锚以及重物球均受到浮力的影响，且系统受到波浪载荷。

参考文献
[1]胡运康，景荣春.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2006.5.
[2]王丹，刘家新.一般状态下悬链线方程的应用[J].船海工程，第36卷，第3期：2007.6. [3]李海涛，邓樱.MATLAB 程序设计教程[M].北京：高等教育出版社，2002.8.
[4]卓金武.MATLAB 在数学建模中的应用（第2版）[M].北京：北京航空航天大学出版社，2014.9.。