人教B版必修第一册1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学案

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标
1.能正确写出一个命题的否定,并判断其真假.理解含有一个量词的命题的否定的意义.会对含有一个量词的命题进行否定.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象的核心素养.
2.掌握全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理的核心素养.
1.命题的否定
一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“﹁p”,读作“非p”或“p的否定”.
思考1:一个命题与其否定命题之间的真假关系如何?
答案:一个命题与其否定命题之间的真假关系是一真一假.
思考2:命题“若p,则q”的否定是什么?
答案:“若p,则q”的否定是“若p,则﹁q”.
2.存在量词命题的否定
3.全称量词命题的否定
(1)“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析
①一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
②与一般命题的否定相同,对含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.
(2)对全称量词命题的否定以及特点的理解
①全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题,将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能认为对全称量词命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.
②对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.
(3)对存在量词命题的否定以及特点的理解
由于全称量词命题的否定是存在量词命题,而命题p与﹁p互为否定,所以存在量词命题的否定就是全称量词命题.
(4)常见词语的否定如表所示:
全称量词命题的否定与其真假判断
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)∀x ∈R,x 2-x+1
4≥0; (2)所有的正方形都是菱形;
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
解:(1)该命题的否定:∃x ∈R,x 2-x+14<0.由于x 2-x+14=(x-1
2)2≥0,所以为假命题.
(2)该命题的否定:存在一个正方形不是菱形.假命题.
(3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.假命题.
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是“∀x ∈M,p(x)”,其否定形式应该是既对全称量词否定,又对命题p(x)进行否定,即“∃x ∈M,﹁p(x)”,所以全称量词命题的否定是存在量词命题.
(2)若全称量词命题为真命题,其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,其否定命题就是真命题.
(3)由于有些全称量词命题省略了全称量词,要注意先改写后,再进行否定,如本题(3)中省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”.
针对训练:写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p:对所有正数x,√x>x+1;
(2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数;
(3)r:所有能被5整除的整数都是奇数;
(4)s:任意两个等边三角形都相似.
解:(1)﹁p:存在正数x,√x≤x+1.例如当x=1时,√x<x+1,所以﹁p是真命题.
(2)﹁q:存在一个实数除以1,不等于这个数.由q是真命题可知﹁q是假命题.
(3)﹁r:存在一个能被5整除的整数不是奇数.例如10是能被5整除的整数,且不是奇数,所以﹁r是真命题.
(4)﹁s:存在两个等边三角形,它们不相似.由s是真命题可知﹁s是假命题.
[备用例1] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)所有的正比例函数都是一次函数;
(2)每个二次函数的图像都开口向下.
解:(1)存在一个正比例函数不是一次函数,为假命题.
(2)存在一个二次函数的图像开口不向下,为真命题.
存在量词命题的否定与其真假判断
[例2] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)四边形的对角线不都互相垂直;
(2)有一个点(x,y),满足y=2x+1.
解:(1)命题的否定:任意四边形的对角线都互相垂直,是假命题. (2)命题的否定:对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1,是假命题.
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是“∃x∈M,q(x)”,其否定形式是对存在量词进行否定,变为全称量词,再对命题q(x)进行否定,即“∀x∈M,﹁
q(x)”,所以存在量词命题的否定是全称量词命题.
(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题的相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
针对训练:写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)∃x∈R,x+2≤0;
(2)有一个偶数是素数.
解:(1)该命题的否定:∀x∈R,x+2>0,为假命题.
(2)该命题的否定:任意一个偶数都不是素数,为假命题.
[备用例2] 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定.
(1)平行四边形的对角线互相平分;
(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;
(3)三角形不都是中心对称图形;
(4)一元二次方程不总有实数根.
解:(1)任意一个平行四边形的对角线都互相平分.命题的否定为存在一个平行四边形,其对角线不互相平分.
(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数.命题的否定为存在三个连续整数的乘积不是6的倍数.
(3)存在三角形不是中心对称图形.命题的否定为任意三角形都是中心对称图形.
(4)存在一元二次方程没有实数根.命题的否定为任意一元二次方程总有实数根.
求含量词的命题参数的取值范围
[例3] (1)若命题“∀x ∈[-178,+∞),a-x-2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是( )
A.(18,+∞) B .[18,+∞) C.(-∞,-18] D.(-∞,-18) (2)若命题“∃x ∈[1,5],x 2-5a>0”为假命题,则a 的取值范围是. 解析:(1)因为命题“∀x ∈[-178,+∞),a-x-2≤0”是真命题,则a ≤x+2在x ∈[-178,+∞)上恒成立,则a ≤-178+2,即a ≤-18.故选C. (2)因为命题“∃x ∈[1,5],x 2-5a>0”为假命题,所以命题“∀x ∈
[1,5],x 2-5a ≤0”为真命题,即∀x ∈[1,5],5a ≥x 2恒成立,由于y=x 2(x ∈[1,5])的最大值为25,所以5a ≥25,即a ≥5.
答案:(1)C (2)[5,+∞)
由于全称量词命题的否定是存在量词命题,并且原命题与其否定形式真假相对,因此涉及存在量词命题为假命题时,常转化为全称量词命题为真命题后求解.
针对训练:若命题“∃x<2 019,x>a”是假命题,则实数a的取值范围是.
解析:由于命题“∃x<2 019,x>a”是假命题,则其否定“∀x<2 019,x ≤a”是真命题,所以a≥2 019.
答案:[2 019,+∞)
易错辨析——忽视否定的对象以及否定词而致误
<0,则﹁p:.
[典例] 若命题p:∀x∈R,2
x-3
错解:命题p是一个全称量词命题,它的否定是存在量词命题.﹁p:∃x ≥0.
∈R,2
x-3
纠错:对于全称量词命题的否定不但要转换量词,而且还要否定结论,本题中的结论2
<0本身隐含x-3≠0,因此在否定时还要写上x-3=0.
x-3
≥0或x=3.
正解:∃x∈R,2
x-3
≥0或x=3
答案:∃x∈R,2
x-3
1.下列说法中正确的有( C )
(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的;(2)全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题;(3)命题﹁p的否定是p;(4)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:只有(2),(3),(4)正确.故选C.
2.命题“∀x∈{x|x≥0},x2+x≥0”的否定是( C )
A.∀x∈{x|x≥0},x2+x<0
B.∃x∈{x|x<0},x2+x<0
C.∃x∈{x|x≥0},x2+x<0
D.∃x∈{x|x≥0},x2+x≥0
解析:命题“∀x∈{x|x≥0},x2+x≥0”为全称量词命题,则命题的否定为∃x∈{x|x≥0},x2+x<0.
故选C.
3.命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( A )
A.存在一个四边形,它的四个顶点不共圆
B.存在一个四边形,它的四个顶点共圆
C.所有四边形的四个顶点共圆
D.所有四边形的四个顶点都不共圆
解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形,它的四个顶点不共圆”.故选A.
4.命题“正多边形的内角都相等”的否定是.
答案:有的正多边形内角不相等。