三角函数练习题及答案

三角函数（一）
一、选择题
1．已知α 为第三象限角，则2α
所在的象限是()．
A ．第一或第二象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
2．若sin θcos θ＞0，则θ在()．
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第一、四象限
D ．第二、四象限
3．sin 3π4cos 6π5tan
⎪⎭⎫ ⎝⎛3π4－＝()． A ．－433B ．433C ．－43
D ．43
4．已知tan θ＋θtan 1
＝2，则sin θ＋cos θ等于()．
A ．2
B ．2
C ．－2
D ．±2
5．已知sin x ＋cos x ＝51
(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于()．
A ．－43
B ．－34
C ．43
D ．34
6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是()．
A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β
B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β
C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β
D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β
7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3π
2，k ∈Z }，C ＝
{γ|γ＝k π±3π
2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为()．
A ．A ⊆
B ⊆
C B ．B ⊆A ⊆C C ．C ⊆A ⊆B
D ．B ⊆C ⊆A
8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝31
，则sin β 的值是()．
A ．31
B ．－31
C ．322
D ．－322
9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为()．
A ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛4π5 ，πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π5 ，4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪
⎪⎭⎫ ⎝⎛23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21
倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()．
A ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π ＋ 2x ，x ∈R C ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛3π ＋ 2x ，x ∈R D ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛32π ＋ 2x ，x ∈R 二、填空题
11．函数f (x )＝sin 2x ＋3tan x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣
⎡3π4π ，上的最大值是． 12．已知sin α＝552，2π
≤α≤π，则tan α＝．
13．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2
π＝53，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 2π＝． 14．若将函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝
⎛4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为．
15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－21
|sin x －cos x |，则f (x )的值域是．
16．关于函数f (x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题： ①函数 y = f (x )的表达式可改写为y =4cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛6π － 2x ； ②函数 y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y ＝f (x )的图象关于点(－6π
，0)对称；
④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6π
对称．
其中正确的是______________．
三、解答题
17．求函数f (x )＝lgsin x ＋
1cos 2-x 的定义域．
18．化简： (1))－()＋(－)＋＋
()
＋()－(－)＋＋(－αααααα︒︒︒︒180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ； (2))－()＋()
－()＋＋(πcos
πsin πsin πsin n n n n αααα(n ∈Z )． 19．求函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛6π － 2x 的图象的对称中心和对称轴方程． 20．(1)设函数f (x )＝x a
x sin sin ＋(0＜x ＜π)，如果a ＞0，函数f (x )是否存在最大值和最小值，如果存在请写出最大(小)值；
(2)已知k ＜0，求函数y ＝sin 2x ＋k (cos x －1)的最小值．
参考答案
一、选择题
1．D
解析：2k π＋π＜α＜2k π＋23π，k ∈Z ⇒k π＋2π＜2α＜k π＋43
π，k ∈Z ．
2．B
解析：∵sin θcos θ＞0，∴sin θ，cos θ同号．
当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限．
3．A 解析：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-3πtan 6πcos 3πsin ＝－433． 4．D
解析：tan θ＋θtan 1＝θθcos sin ＋θθsin cos ＝θθcos sin 1＝2，sin θ cos θ＝21
．
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2．sin θ＋cos θ＝±2．
5．B 解析：由得25cos
2x －5cos x －12＝0． 解得cos x ＝54或－53
．
又0≤x ＜π，∴sin x ＞0．
若cos x ＝54，则sin x ＋cos x ≠51
，
∴cos x ＝－53，sin x ＝54，∴tan x ＝－34
．
6．D
解析：若α，β 是第四象限角，且sin α＞sin β，如图，
利用单位圆中的三角函数
线确定α，β 的终边，故选D ．
7．B 解析：这三个集合可以看作是由角±3π
2的终边每次分别
旋转一周、两周和半周所
得到的角的集合．
8．B
解析：∵cos (α＋β)＝1，
∴α＋β＝2k π，k ∈Z ．
∴β＝2k π－α． ∴sin β＝sin (2k π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝－31
．
9．C
解析：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π
和45π，由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．
10．C
解析：第一步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+3πx 的图象，第二步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x 的图象． 二、填空题
11．415
．
解析：f (x )＝sin 2x ＋3tan x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上是增函数，f (x )≤sin 23π＋3tan 3π＝415．
12．－2．
⎩⎨⎧1
＝cos ＋sin 51＝cos ＋sin 22x x x x (第6题`)
解析：由sin α＝552，2π≤α≤π⇒cos α＝－55，所以tan α＝－2．
13．53
．
解析：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2
π＝53，即cos α＝53，∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 2π＝cos α＝53． 14．21
．
解析：函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝
⎛4π＋x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后得到函数 y ＝tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋6π－x ω＝tan ⎪⎭⎫ ⎝
⎛ωω6π－4π＋x 的图象，则6π＝4π－6πω＋k π(k ∈Z )， ω＝6k ＋21，又ω＞0，所以当k ＝0时，ωmin ＝21
．
15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，－．
解析：f (x )＝21(sin x ＋cos x )－21|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧)＜()(x x x x x x cos sin sin cos ≥sin cos
即f (x )等价于min {sin x ，cos x }，如图可知，
f (x )max ＝f ⎪
⎭⎫ ⎝⎛4π＝22，f (x )min ＝f (π) ＝－1．
16．①③． 解析：①f (x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+3π2x ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-6π2x ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-6π2x ． (第15题)
②T ＝22π＝π，最小正周期为π． ③令 2x ＋3π＝k π，则当k ＝0时，x ＝－6π，
∴ 函数f (x )关于点⎪⎭⎫ ⎝
⎛0 6π－，对称． ④令 2x ＋3π＝k π＋2π
，当 x ＝－6π时，k ＝－21，与k ∈Z 矛盾．
∴ ①③正确．
三、解答题
17．{x |2k π＜x ≤2k π＋4π
，k ∈Z }．
解析：为使函数有意义必须且只需⎪⎩⎪⎨⎧-② 0 ≥
1 cos 2①
＞0 sin x x 先在[0，2π)内考虑x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线．
由①得x ∈(0，π)， 由②得x ∈[0，4π]∪[47
π，2π]．
二者的公共部分为x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛4π0，． 所以，函数f (x )的定义域为{x |2k π＜x ≤2k π＋4π
，k ∈Z }．
18．(1)－1；(2)±α cos 2
．
解析：(1)原式＝αααααα cos cos tan tan sin sin －＋－－＝－αα
tan tan ＝－1．
(2)①当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝)－()＋()－()＋＋(π2 cos π2sin
π2sin π2sin k k k k αααα＝α cos 2
． ②当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝])＋－([])＋＋([])＋－([]＋)＋＋([π12 cos π12sin
π12sin π12sin k k k k αααα＝－α cos 2
． 19．对称中心坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ，12π ＋ 2
πk ；对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z )． 解析：∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，k ∈Z ，
∴令2x －6π
＝k π，得x ＝2πk ＋12π．
∴所求的对称中心坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ，12π ＋ 2
πk ，k ∈Z ． (第17题)
又y ＝sin x 的图象的对称轴是x ＝k π＋2π
，
∴令2x －6π＝k π＋2π，得x ＝2πk ＋3π
．
∴所求的对称轴方程为x ＝2πk ＋3π
(k ∈Z )．
20．(1)有最小值无最大值，且最小值为1＋a ；(2)0．
解析：(1)f (x )＝x a x sin sin ＋＝1＋x a
sin ，由0＜x ＜π，得0＜sin x ≤1，又a ＞0，所以当sin x ＝1时，f (x )取最小值1＋a ；此函数没有最大值．
(2)∵－1≤cos x ≤1，k ＜0，
∴k (cos x －1)≥0，
又 sin 2x ≥0，
∴当 cos x ＝1，即x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )＝sin 2x ＋k (cos x －1)有最小值f (x )min ＝0．。