2020届内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中高三上学期10月月考数学(理)试题(解析版)

2020届内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中高三上学期
12月月考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{}|02A x x =<<，{}
2
|340B x x x =+->，则()R A C B I 等于（ ）
A.{}|01x x <≤
B.{}|12x x ≤<
C.{}|02x x <<
D.{}|12x x -≤<
【答案】A
2．复数2(1)12i i i -+（i 为虚数单位）等于（）
A ．1355i -
B ．
1355i + C ．3155
i -
D ．3155
i +
【答案】B
3．已知向量a r ，b r 的夹角为3π
，若a c a
=r r r ，b d b
=
r
u r r ，则c d ⋅=r u r
（ ）
A.
14
B.
12
C.
2
D.
34
【答案】B
4．已知0a >，0b <，则“0a b +>”是“22a b >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
5．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记
()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为
（ ） A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】D
6．若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()2
1f x f x --的最大值为
（ ）
A.1 2
B.
1
2
- C.
3
4
- D.-1
【答案】C
7．已知()
f x是周期为2的奇函数，当10
x
-<≤时，()2
x a
f x
x b
+
=
+
，若
72
25
f
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，则+
a b等于（）
A.-1
B.1
C.-2
D.2
【答案】B
8．在正方形ABCD中，点O为ABC
∆内切圆的圆心，若AO xAB yAD
=+
uuu r uu u r uuu r
，则xy的值为（）
A.
21
4
B.
32
4
-
C.
21
4
D.
21
2
【答案】D
9．已知n S是等比数列{}n a的前n项和，若228
m
m
S
S
=，2
18
1
m
m
a m
a m
=
-，则数列
{}
n
a的公比q为（）
A.3
B.2
C.-3
D.-2
【答案】A
10．执行如图所示的程序框图，若输入的50
t=-，则输出的n的值为（）
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】C
11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 是b 和c 的等比中项，则
sin sin tan tan A A
B C
+=（ ） A.1 B.
12
C.
23
D.
34
【答案】A
12．已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是02，第二项是1，接着两项为02，12，接着下一项是2，接着三项是02，
12，22，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前n 项和为n S ，则满足3000n S >的
最小的正整数n 的值为（ ） A.65 B.67
C.75
D.77
【答案】C
【解析】由题将数列分组，得每组的和，推理3000n S >的n 的大致范围再求解即可 【详解】
由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，
则第t 组的和为01122221t t t t -++⋅⋅⋅++=-+，数列共有
()()32312t t t +++⋅⋅⋅++=项，当()
32
t t n +=时，()()()1212112212
22
t t n t t t t S t +-+-=
-+
=+--,随t 增大而增大，
10t =时，65n =，6520484522091S =+-=，
11t =时，77n =，7740965524194S =+-=，第65项后的项依次为02，12，22，
…，102，11，02，12，…，又021
122222
2112
m
m m --+++⋅⋅⋅+==--，921511-=，10211023-=，20915113000+<，209110233000+>，∴满足条件的最小的n 值
为651075+=. 故选：C 【点睛】
本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题
二、填空题
13．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≤⎩
，则2z x y =+的最大值为______.
【答案】5
【解析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】
画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122
z y x =-
+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线30
10x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩
得A （1,2），故
max 145z =+=
故答案为：5
【点睛】
本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题
14．已知tan 34πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭______.
72 【解析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得
()2cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛
⎫-=+ ⎪⎝⎭
2222
2cos sin 2sin cos 2cos sin θθθθθθ-+=⋅+转化为1
tan 2
θ=
的齐次式求解即可 【详解】 由题
()2cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛
⎫-=+ ⎪⎝⎭
22222cos sin 2sin cos 2cos sin θθθθθθ-+=⋅
+22
21tan 2tan 72
21tan 10
θθθ-+=⋅=+. 故答案为：2
10
【点睛】
本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题
15．已知正实数x 、y 满足()()1216x y ++=，则4x y +的最小值为______. 【答案】10
【解析】由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦结合基本不等式求解即可 【详解】
由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦
610≥=（当且仅当1x =，
6y =时取“=”）.
故答案为：10 【点睛】
本题考查了变形利用基本不等式的性质，准确配凑出定值是关键，属于基础题． 16．已知函数()2
3,145,1
x x f x x x x ⎧-+<=⎨
-+≥⎩，()()()ln g x x a a R =+∈，若函数
()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是______.
【答案】(
)3
4,e
【解析】画出函数()f x 的图像，讨论()y g x =图象与其相交的临界位置求解即可 【详解】
由()()2
3,121,1
x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的简图如图所示： 若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则函数()y g x =图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置.
（1）当函数()y g x =处于①的位置时，点()0,3在函数()y g x =的图象上，有
()0ln 3g a ==，得3a e =；
（2）当函数()y g x =处于②的位置时，此时函数()y g x =与直线3y x =+相切，设
切点P 的坐标为()00,x y ，有()00000
1
13ln x a y x y x a ⎧=⎪+⎪⎪
=+⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：00304x y a =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，由（1）（2）知实
数a 的取值范围是(
)3
4,e .
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查．
三、解答题
17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos cos sin sin 13A B A B C -=.
（1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为323c =，求+a b 的值. 【答案】（1）3
C π
=
（2）6a b +=
【解析】（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得cos 13C C -=-，由二倍角公式得2
cos
3cos 222
C C C
=，进而求得C; （2）利用面积公式得8ab =，结合余弦定理得()2
220a b ab +-=，则+a b 可求 【详解】
（1）∵()cos 13sin A B C +=，∴cos 13C C -=，
22cos 1123cos 222C C C ⎛
⎫--=- ⎪⎝
⎭，2cos 3cos 222C C C =.
∵0C π<<，故3tan
23
C =
，26C π
=，3C π=. （2）由ABC ∆的面积为233
C π
=
，知1
sin 232
ABC S ab C ∆=
=8ab =， 由余弦定理知2222cos 12c a b ab C =+-=，故2220a b +=，()2
220a b ab +-=， 解得6a b +=.
主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．
18．已知函数())2
2sin cos 0f x x x x ωωωω=->的图象与直线
2y =-的相邻两个交点之间的距离为1.
（1）求函数()f x 的增区间； （2）当11
63x -
≤≤时，求函数()f x 的最大值、最小值及相应的x 的值. 【答案】（1）()15,1212k k k Z ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦.（2）1
12
x =-时，函数()f x 的最小值为-2；1
3
x =时，函数()f x 【解析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简()f x =2sin 23x πω⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
，进而得1T =及ωπ=则解析式可求； （2）由1163x -≤≤得22333
x ππππ-≤-≤，利用正弦函数的图像及性质得值域即可 【详解】 （1）由
()())
2sin 22cos 1f x x x ωω=-()()
sin 222sin 23x x x πωωω⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭.
由函数()f x 的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1，有1T =，有
212πω=，得ωπ=，故()2sin 23f x x ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
令()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
πππ-
≤-
≤+∈，得()15
1212
k x k k Z -
≤≤+∈. 故函数()f x 的增区间为()15,1212k k k Z ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
. （2）当1163x -
≤≤时，22333x πππ
π-≤-≤. 则当232x πππ-=-，即1
12x =-时，函数()f x 的最小值为-2；
当233x πππ-=，即1
3
x =时，函数()f x
本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想． 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1
2n n n b a -=⋅，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足258n T =的正整数n 的值.
【答案】（1）2n a n =（2）5
【解析】（1）利用112a S ==，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=求得通项 （2）由错位相减求和即可 【详解】
（1）由题112a S ==.
当2n ≥时，()
()()2
2
1112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦
.
由12a =符合2n a n =，故数列{}n a 的通项公式为2n a n =.
（2）由1222n n
n b n n -=⨯=⋅，
212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅
作差得：231
22222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅
得：()()112122222112
n n n n n
T n n ++-=⋅-=⋅---
得：
()1
122n n T n +=-⋅+，又()()211
122122120n n n n n T T n n n ++++-=⋅+--⋅-=+>
故数列{}n T 单调递增，且6
5422258T =⨯+=，
故满足258n T =的正整数n 的值只有一个为5. 【点睛】
本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查错位相减求和，准确计算是关键，属于中档题．
20．已知函数()()22log 1log f x ax x =--．
（1）若关于x 的方程()2
log 0f x x -=有解，求实数a 的最小整数值；
（2）若对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2（2）10,3⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
【解析】（1）化简方程得2
1a x x
=+
，问题转化为求()2
1g x x x =+的最小值，对()
g x 求导，分析导函数的正负得()g x 的单调性，从而得出()g x 的最小值，可得解；
（2）分析函数()f x 的定义域和单调性，得出()f x 在[]
,1t t +的最小值和最大值，由已知建立不等式2211log log 11a a t t ⎛
⎫⎛
⎫-
--≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解. 【详解】
（1）()2
2log 0f x x -=化为()22log 13log ax x -=，
0x ∴>，31ax x -=，21
a x x
∴=+
．
令()2
1g x x x =+，0x >，则()3'2212120x g x x x x -=-=>，x >
()g x ∴的单调减区间为⎛ ⎝，单调增区间为⎫+∞⎪
⎪⎭，
()
g x g ≥=
1>Q ，3
3
2732244=<=，12∴<<． a ∴的最小整数值为2．
（2）()2221log (1)log log f x ax x a x ⎛
⎫=--=- ⎪⎝
⎭Q ，0x >，10ax ->，1x a >．
．0a ∴>，()f x 的定义域为1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
，且()f x 在()0,∞+是增函数． 11⎛
⎫
()21log f t a t ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭． 由题意知2211log log 11a a t t ⎛
⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，11021a a t t ⎛⎫∴<-≤- ⎪+⎝⎭
． 211
a t t ∴≥-+， 令()211h t t t =-+，()()
()22'2222212(1)101211t t h t t t t t t -+⎛⎫=-+=<≤≤ ⎪⎝⎭++． ()h t ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，()h t ∴最大值为12104233h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
． 103a ∴≥，112a <Q ，a ∴的取值范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题综合考查运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题.
21．已知函数()()ln 21f x x a x =-+，a R ∈.
（1）当()20,x e ∈时，()f x 有2个零点，求a 的取值范围；
（2）若不等式()2f x ax <-恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）21111,222a e e ⎛⎫∈-- ⎪⎝
⎭（2）(]1,0- 【解析】（1）分离参数构造新函数()ln x h x x =
，求导求最值即可得a 的取值范围 （2）不等式()2f x ax <-，得()221ln 0ax a x x -++<，构造函数
()()221ln g x ax a x x =-++，求导讨论a 的正负确定函数的最值即可求解
【详解】
（1）()20,x e
∈时，由()0f x =得ln 21x a x +=， 令()ln x h x x =，则()21ln 'x h x x
-=， 0x e <<时，()'0h x >，
x e >时，()'0h x <.
∴()h x 在(]0,e 上是增函数，在[),e +∞上是减函数，
又()10h =，()1h e e =
，()222h e e =， ∴当22121a e e
<+<时，()f x 在()20,e 上有2个零点， ∴21111,222a e e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
. （2）因为不等式()2f x ax <-即为()2ln 21x a x ax -+<-，
得()2
21ln 0ax a x x -++<， 设()()221ln g x ax a x x =-++，则不等式()2
f x ax <-等价于()0
g x <. 从而()()()222111'221ax a x g x ax a x x
-++=-++=()()211ax x x --=，0x >. 当0a ≤时，()0,1x ∈时，()'0g x >；()1,x ∈+∞时，()'0g x <，
所以函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，此时
()()max 11g x g a ==--.
由题意，若()0g x <恒成立，则()max 0g x <，即10a --<，解得1a >-. 所以10a -<≤；
当0a >时，存在12x a
=+使得()21411124212ln 2g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11144422ln 2a a a a a ⎛⎫=++----++ ⎪⎝⎭1ln 20a ⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭. 故不可能满足()0g x <恒成立.
综上，实数a 的取值范围是(]1,0-.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，准确求得最值是关键，是一道综合题．
22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，C 的极坐标方程为8cos ρθ=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）经过点()1,1Q 作直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若Q 恰好为线段MN 的中点，求直线l 的方程.
【答案】（1）228x y x +=.（2）320x y --=.
【解析】（1）由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=即可得直角坐标方程；
（2）直线l 的方程为()11y k x -=-，利用QC MN ⊥得1QC k k ⋅=-求解即可
【详解】
（1）由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=，
根据公式cos sin x y
ρθρθ=⎧⎨=⎩，得228x y x +=， 故曲线C 的直角坐标方程是228x y x +=.
（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()11y k x -=-.
而曲线C ：228x y x +=化为标准方程是()2
2416x y -+=， 故圆心()4,0C .
因为Q 恰好为线段MN 的中点，
所以QC MN ⊥.
所以1QC k k ⋅=-，即01141
k -⋅=--，解得3k =. 故直线l 的方程是()131y x -=-，即320x y --=.
【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查圆的几何性质，根据Q 恰好为线段MN 的中点转化为1QC k k ⋅=-是关键，是基础题
23．已知函数()231f x x m =--+-，()3132g x x x =++-.
（1）解不等式()7g x >；
（2）若12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）()4,1,3⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
.（2）()4,-+∞ 【解析】（1）利用零点分段去绝对值解不等式即可；
（2）先求得两函数的最值，转化为()()max min f x g x <求解即可
【详解】
（1）由()7g x >，得31327x x ++->，
①当1x <-时，()()31327x x -+-->，得43x <-
； ②当213x -≤≤
时，()()31327x x +-->，得57>，即x ∈∅； ③当23
x >时，()()31327x x ++->，得1x >； 综上，不等式()7g x >解集是()4,1,3⎛
⎫-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）若12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立，
则()()max min f x g x <，
而()max 1f x m =-，
易知()31323332g x x x x x =++-=++-()33325x x ≥+--=，当且仅当()()33320x x +-≤等号成立
则()min 5g x =.
则15m -<，解得4m >-.
故实数m 的取值范围是()4,-+∞.
【点睛】
本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查分类讨论，正确运用绝对值不等式求得函数的最值是关键，是中档题。