高三数学第一次适应性考试(5月)试题 理(2021年整理)

湖北省襄阳市2017届高三数学第一次适应性考试（5月）试题理
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湖北省襄阳市2017届高三数学第一次适应性考试（5月）试题 理
一、选择题（每题5分，满分60分，将答案填在答题纸上）
1． 设全集
U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，,则图中阴影部分所表示的集合为
（ ）
A. {|1x x ≤-或3}x ≥
B. {|1x x <或3}x ≥ C 。

{|1}x x ≤
D. {|1}x x ≤-
2． 已知i 是虚数单位，11
213i z i ,10
2
1
1z i
，
1z 、2z 在复平面上对应的点分别为A 、B ，则AB ( ）
A ．31
B ．33
C ．31
D ．33
3． “0m <" 是“方程22
1x my +=表示双曲线”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4． 下列命题中的假命题是（ ）
A. .5log 3log 32< B 。

(,0),1x x e x ∀∈-∞>+
C. 21
32
13)21
(3log <<
D 。

x x x sin ,0>>∀
5． 李冶（1192-—1279 )，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚
年在封龙山隐居讲学,数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直
径、正方形的边长等。

其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ）
A ．10步，50步
B ．20步，60步
C ．30步,70步
D ．40步,80步 6． 已知α， β均为锐角，且sin22sin2αβ=,则（ )
A ．()()tan 3tan αβαβ+=-
B ．()()tan 2tan αβαβ+=-
C ．()()3tan tan αβαβ+=-
D ．()()3tan 2tan αβαβ+=-
7． 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画
出的是
某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ）
A ．
B ．
C ．
D ．4
8． 已知向量()3,1OA =， ()1,3OB =-， (0,0)OC mOA nOB m n =->>，若[]
1,2m n +∈，则OC 的取值范围是（ ）
A ．5,25⎡⎤⎣⎦
B ．)5,210⎡⎣
C ．(
)
5,10 D ．5,210⎡⎤⎣⎦
9． 六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A ，B ,C 三所学校实习,每所学校2人,
且2名女生不能到同一学校，也不能到C 学校，男生甲不能到
A 学校，则不同的安排方法为（ ）
A ．24
B ．36
C ．16
D ．18
10．如图，在
中，
,
，点为的中点，将
沿折起到
的位置,使
，连接，得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面
积是（ ） A 。

B. C 。

D.
11．已知圆O 的半径为定长r ，点A 是平面内一定点(不与O 重合），P 是圆O 上任意一点，线段
AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q,当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹可能是下列几种：①椭圆，②双曲线,③抛物线，④直线，⑤点
A 。

①②⑤
B 。

①②③
C 。

①④⑤
D 。

②③④
12．设函数()f x = x ·e x
， ()2
2g x x x =+， ()22sin 6
3h x x π
π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭,若对任意的x R ∈，都有()()()2h x f x k g x ⎡⎤-≤+⎣⎦成立，则实数k 的取值范围是
A ．1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦
B ．12,3e ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦
C ．12,e ⎡⎫
++∞⎪⎢⎣⎭ D ．1
1,e ⎡
⎫
++∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)
13．已知实数y x ,满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≥-+≤--320423023y y x y x ，函数2
23y x +的最小值为
14．若()3
3
2a x x dx -=+⎰，则在3a
x x ⎛
- ⎪⎝
⎭的展开式中,x 的幂指数不是整数的项共有 项.
15．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的
点数之和大于8”．当已知蓝色骰子的点数为3或6时,则两颗骰子的点数之和大于8的概率为______．
16．对于正整数n ,设n x 是关于x 的方程3
20nx x n +-=的实数根，记()()12n n a n x n =+≥⎡⎤⎣⎦，其中
[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则
()2320151
1007
a a a +++= 。

D
C
B A
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分） 在
ABC ∆中,D 是BC 中点，已知90BAD C ∠+∠=。

（1）判断ABC ∆的形状；
（2）若ADC ∆的三边长是连续三个正整数，求
BAC ∠的余弦值。

18．(本题满分12分)随着社会发展，襄阳市在一天的上
下班时段也出现了堵车严重的现象。

交通指数是交通拥堵
指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T,其范围为[0，10］，分别有5个级别：T∈［0，2）畅通；T∈[2,4）基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈［8，10］严重拥堵．早高峰时段(T≥3 )，从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示： （I ）据此直方图估算交通指数的中位数和平均数;
（II ）据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？
（III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟,中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．
19．（本题满分12分)如图，在ABC ∆中， C ∠为直角， 4AC BC ==．沿ABC ∆的中位线DE ,
将平面ADE 折起，使得90ADC ∠=，得到四棱锥A BCDE -． （Ⅰ）求证: BC ⊥平面ACD ； （Ⅱ)求三棱锥E ABC -的体积；
（Ⅲ）M 是棱CD 的中点，过M 做平面α与平面ABC 平行，设平面α截四棱锥A BCDE -所得截面面积为S ，试求S 的值．
20．(本题满分12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1(-10)F ，
、2(10)F ，，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△2ABF 的周长为42。

(1）求椭圆C 的方程；
(2）过点(40)，作与直线l 平行的直线m ，且直线m 与抛物线24y x =交于P 、Q 两点,若A 、P 在x 轴上方，直线PA 与直线QB 相交于x 轴上一点M ，求直线l 的方程。

21． （本题满分12分)设函数
.
（1）若函数的图象与直线相切，求的值；
（2）当时，求证:)
2)(1(1)1ln(1ln 1x x x x --<--。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已
知直线l 的参数方程是2
232
x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin ρθθ=．
(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点,点M 为AB 的中点，点P 的极坐标为(2,)4
π
，求
||PM 的值．
23．选修45-：不等式选讲。

设函数()1
2f x x a x a
=++-（x R ∈，实数0a <)。

（1）若()5
02
f >
，求实数a 的取值范围； （2）求证： ()2f x ≥ 。

数学（理科）参考答案
DACAAB ABBDD AC
13．413 14．15 15．5
12
16．2017
17.解：(I ）设,,BAD DAC αβ∠=∠=
则由90C α+=︒︒=+∴90B β ABD ∆中，由正弦定理得 sin ,.sin sin sin BD AD B AD
B BD
αα==即 同理得
sin ,sin C AD
DC
β= …………2分 ,BD DC =,sin sin sin sin β
αC
B =∴
B C sin sin sin sin βα=∴ 90,90,C B αβ+=︒+=︒sin cos sin cos C C B B ∴= …………4分 即sin2sin2,C B =因为()0,B C π∈、
90B C B C ∴=+=︒或 ………………6分
ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形。

………………7分 （II ）当90B C +=︒时，1
,2
AD BC DC ==
与ADC ∆的三边长是连续三个正整数矛盾，
B C ∴∠=∠, ABC ∆∴是等腰三角形。

………………8分 在直角三角形ADC 中，设两直角边分别为,1,1,+-n n n 斜边为
由222)1()1(-+=+n n n 得n=4， …………10分
由余弦定理或二倍角公式得.25
7
cos =∠BAC
或.25
7
cos -=∠BAC …………12分
18解析：
(1）由直方图知：T∈[4,8）时交通指数的中位数在T∈[5，6),且为 5＋1×＝
T∈［4，8)时交通指数的平均数为：………2分
4。

5×0.2＋5.5×0。

24＋6.5×0。

2＋7.5×0。

16＝4。

72。

………4分 (2）设事件A 为“1条路段严重拥堵"，则P(A ）＝0.1, 则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为: P ＝C 32
×(）2
×(1－）＋C 33
×（）3
＝
，
所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为. …………8分
X 30 35 45 60 P
0.1
0。

44
0.36
0.1
则E(X)＝30×0.1＋35×0。

44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，
所以此人上班路上所用时间的数学期望是40。

6分钟．…………12分
19．（Ⅰ）证明:因为//DE BC ，且90C ∠=,
所以DE AD ⊥，同时DE DC ⊥，
又AD DC D ⋂=，所以DE ⊥面ACD ．
又因为//DE BC ，所以BC ⊥平面ACD ．………4分
（Ⅱ)由（Ⅰ）可知： BC ⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ADC ， 所以AD BC ⊥，
又因为90ADC ∠=，所以AD DC ⊥．
又因为BC DC C ⋂=,所以AD ⊥平面BCDE ．
所以， 1
3
E ABC A EBC EBC V V S AD --∆==⨯．
依题意, 11
42422EBC S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=．
所以， 18
4233
E ABC V -=⨯⨯=．…………8分
（Ⅲ）分别取,,AD EA AB 的中点,,N P Q ,并连接,,,MN NP PQ QM ，
因为平面//α平面ACD ，所以平面α与平面ACD 的交线平行于AC ,因为M 是中点，所以平面α与平面ACD 的交线是ACD ∆的中位线MN ．同理可证，四边形MNPQ 是平面α截四棱锥A BCDE -的截面． 即: MNPQ S S =．
由（Ⅰ)可知： BC ⊥平面ACD ,所以BC AC ⊥， 又∵//QM AC ， //MN BC ∴QM MN ⊥． ∴四边形MNPQ 是直角梯形．
在Rt ADC ∆中， AD CD 2==
∴AC =
12MN AC ==， 112NP DE ==， ()1
32
MQ BC DE =+=．
∴(
)1
132
S =+=．…………12分
20．解析：（1)
依题意，4a =，221a b -=
所以a =2211b a =-=
故椭圆C 的方程为2
212
x y +=…………………………4分
（2）设11223344()()()()A x y B x y P x y Q x y ，，，，，，，
直线l 的方程为：1x ty =-，直线m 的方程为4x ty =+
依题意得
111||||||
||||||
AF MF BF PN MN QN == 则1234||||||||y y y y =，可得1324y y y y =,令1324
(0)y y
y y λλ==<，………………6分 由22
112
x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22
(2)210t y ty +--=，
则12212222
12t y y t y y t ⎧
+=⎪⎪+⎨⎪=-
⎪+⎩
,把12y y λ=代入,整理，得222(1)4-2t t λλ+=+①
由244x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得24160y ty --=, 则3434416y y t y y +=⎧⎨=-⎩，把34y y λ=代入,整理,得2
2(1)-t λλ+=②…………10分 由①②消去λ，得2
22
42
t t t =+，解得0t =或2t =或2t =- 故直线l 的方程为：1x =-或210x y -+=或210x y ++=…………12分
21．解析：(1）,设切点为，
则切线为
,即
，…………2分
又切线为，所以，
消,得，设
，
易得
为减函数，且
,所以
………………4分
（2）令,所以
,
当时,,函数在为单调递增； 当时，,函数在为单调递减； 所以，…………………………6分 当时，即时，， 即，故时，在上单调递增, 所以时，，即
，所以
, ①…………8分
因为，所以
，
所以，即， ②………………10分 ①+②得:，
故当
时，。

……………………12分
22．解析：(1）因为直线的参数方程是2
2
232
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,消去参数t 得直线l 的普通方
程为30x y -+=．……………………2分
由曲线C 的极坐标方程2cos 2sin ρθθ=，得22cos 2sin ρθρθ=． 所以曲线C 的直角坐标方程为22x y =．……………………5分
（2)由23,
2,
y x x y =+⎧⎨=⎩得2260x x --=，
设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则AB 的中点1212(,)22
x x y y
M ++，
因为122x x +=，所以(1,4)M ， 又点P 的直角坐标为(1,1)，
所以||3PM ==．………………10分 23．解析：
(Ⅰ)∵a 0<，∴()115f 0a a a a 2=+-=-->,即25
a a 102
++>，
解得a 2<-或1
a 02
-<<. ……………………5分
(Ⅱ）()1a
3,a 2
111a
f x 2x a x {,a a a 2
11
3,a a
x a x x a x x a x +-≥-
=++-=---<<---+≤
,
当a x 2≥-时， ()a 1f x 2a ≥--；当1a x a 2<<-时, ()a 1
f x 2a >--；
当1x a ≤时， ()2
f x a a
≥--。

∴(
)min a 1f x 2a =--≥=，当且仅当a 12a -=-
即a =时取等号，
∴(
)f x ≥. ……………………………………12分。