高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》真题汇编含答案解析

【高中数学】数学《空间向量与立体几何》复习知识点
一、选择题
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.
【详解】
①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；
③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确；
④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确；
故选C.
【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
2．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β
B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β
C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β
D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．
【详解】
由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：
在A中，若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故A错误；
在B中，若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；
在C中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，
∴若n⊥α，则n⊥β，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
3．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A．3 B．5 C．6 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积.【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232
V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=.
故选：B
【点睛】
本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.
4．已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，且该圆锥内接于球O ，则球O 与圆锥的表面积之比等于（ ）
A ．4：3
B ．3：4
C ．16：9
D ．9：16 【答案】C
【解析】
【分析】
由圆锥的母线与底面所成的角等于60°，可知过高的截面为等边三角形，设底面直径，可以求出其表面积，根据圆锥内接于球O ，在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积，可求比值．
【详解】
设圆锥底面直径为2r ，圆锥的母线与底面所成的角等于60°，
则母线长为2r
，
则圆锥的底面积为：2r π，侧面积为
1222r r π⋅， 则圆锥的表面积为2212232
r r r r πππ+⋅=， 该圆锥内接于球O ，则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为2r 的等边三角形的
内切圆，则半径为R =，表面积为221643r R ππ=， 则球O 与圆锥的表面积之比等于2
216:316:93
r r ππ=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题．
5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若
1D E CF ⊥，则当EBC V 的面积取得最小值时，EBC ABCD
S S =△（ ）
A ．25
B ．12
C ．5
D ．510
【答案】D
【解析】
【分析】
根据1D E CF ⊥分析出点E 在直线1B G 上，当EBC V 的面积取得最小值时，线段EB 的长度为点B 到直线1B G 的距离，即可求得面积关系．
【详解】
先证明一个结论P ：若平面外的一条直线l 在该平面内的射影垂直于面内的直线m ，则l ⊥m ，
即：已知直线l 在平面内的射影为直线OA ，OA ⊥OB ，求证：l ⊥OB .
证明：直线l 在平面内的射影为直线OA ，
不妨在直线l 上取点P ，使得PA ⊥OB ，OA ⊥OB ，OA ，PA 是平面PAO 内两条相交直线， 所以OB ⊥平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，
所以PO ⊥OB ，即l ⊥OB .以上这就叫做三垂线定理.
如图所示，取AB 的中点G ，
正方体中：1111A C D B ⊥，CF 在平面1111D C B A 内的射影为11A C ，
由三垂线定理可得：11CF D B ⊥，
CF 在平面11A B BA 内的射影为FB ，1FB B G ⊥
由三垂线定理可得：1CF B G ⊥，1B G 与11D B 是平面11B D G 内两条相交直线， 所以CF ⊥平面11B D G ，
∴当点E 在直线1B G 上时，1D E CF ⊥，
设BC a =，则1122
EBC S EB BC EB a =
⨯⨯=⨯⨯△， 当EBC V 的面积取最小值时，
线段EB的长度为点B到直线1B G的距离，
∴线段EB
长度的最小值为
5
a
，
2
1
5
25
10
EBC
ABCD
a
a
S
S a
⨯⨯
∴==
△.
故选：D.
【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）
A．
2
3
B．
1
3
C．
1
2
D．
3
4
【答案】B
【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于2
11
11=
33
⨯⨯，
选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
7．在以下命题中： ①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 共面；
②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r 共线；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面 ④若a r ，b r 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空间的一个基底 ⑤若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++r r r r r r 构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.
【详解】 ①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 共面，故①正确； ②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基
底，则a r ，b r 共线，故②正确；
③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误； ④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r 构成的平面共面，则{},,a b c r r r 不能构成空间的一个基底，故④错误； ⑤利用反证法：若{},,a b b c c a +++r r r r r r 不构成空间的一个基底，
设()()()1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r 共面，又因{},,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{}
,,a b b c c a +++r r r r r r 能构成空间的一个基底，故⑤正确. 综上：①②⑤正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
8．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A ．130
B ．140
C ．150
D ．160
【答案】D
【解析】 设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线1
19,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，
在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =
-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，
因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，
所以2211()()1450822
AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．π
C ．3π
D ．12π
【答案】C
【解析】
【分析】
该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示
该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥1A BCD AB BC BD -===，.
所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r 为正方体体对角线的长. 即22221113r =++=.
所以外接球的表面积为243r ππ=.
故选：C .
【点睛】
本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
10．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．643π
B ．8316ππ+
C ．28π
D ．8216ππ+ 【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+
⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
11．三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若
//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的体积为（ ）
A 3
B 3
C ．13
D 3【答案】B
【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体为三棱锥F ABC - ∵ABC 为正三角形，2AB = ∴1322322
ABC S ∆=⨯⨯⨯=∵CD ⊥底面ABC ，//AE CD ，2CD AE ==
∴四边形AEDC 为矩形，则F 为EC 与AD 的中点
∴三棱锥F ABC -的高为112
CD = ∴三棱锥F ABC -的体积为133133V =
= 故选B.
12．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
13．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.
14．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（）A．若，与所成的角相等，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A错.
若，，则或，B错. 若，，则正确. D．若，，则，相交或，异面，D错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
15．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD
-中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（）
A．
34
17
B．
234
17
C．
517
17
D．
317
17
【答案】D
【解析】
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在PCD
∆中利用余弦
定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.
因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，
所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1
222
HG AC =
=. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167
cos 22669
PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，
则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =.
在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317
2317
==
⨯⨯. 故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
16．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．26【答案】B
【解析】
解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC
-，
其中面积最大的面为：
1
23223
2
PAC
S
V
=⨯⨯= .
本题选择B选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
17．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（）
A．15
2
π
B．12πC．
11
2
πD．21
2
π
【答案】A 【解析】【分析】
由三视图可知，该几何体为由18的球体和1
4
的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可. 【详解】
由三视图可知，该几何体为由18的球体和1
4的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11
+84
V V V =球圆锥，
因为3
1
149=3=
883
2
V ππ⨯⨯球， 221111
=34344312
V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152
π
. 故选：A 【点睛】
本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
18．在空间中，下列命题正确的是
A ．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
B ．两条异面直线所成的有的范围是0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
D ．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】
根据两个角可能互补判断A ；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B ；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C ；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D. 【详解】
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A 不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B 不正确； 根据两个平面平行的性质定理知C 正确；
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D 不正确,综上可知只有C 的说法是正确的,故选C. 【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，
本题是一个概念辨析问题.
19．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A ．若//αβ，则//l m B ．若//m a ，则//αβ C ．若m α⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则//l m
【答案】C 【解析】 【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】
A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.
B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.
C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确. 【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.
20．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．12π
C ．32π
D ．48π
【答案】B 【解析】 【分析】
先作出几何图形，确定四个直角和边长，再找到外接球的球心和半径，再计算外接球的表面积. 【详解】
由题得几何体原图如图所示，
其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,
所以2,3
SC=
设SC中点为O,则在直角三角形SAC中，3,
在直角三角形SBC中，OB=1
3 2
SC=
所以3
所以点O3
所以四面体外接球的表面积为43=12
ππ.
故选：B
【点睛】
本题主要考查四面体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理的能力.。