2020版高中数学 第二章 概率 习题课 离散型随机变量的均值学案 苏教版选修2-3

习题课 离散型随机变量的均值
学习目标 1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．
1．对均值的再认识
(1)含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．
(2)来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值． (3)单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
(4)与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数． 2．均值的性质
X 是随机变量，若随机变量η＝aX ＋b (a ，b ∈R )，
则E (η)＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .
类型一 放回与不放回问题的均值
例1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数η的均值．
反思与感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
跟踪训练1 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为2
5，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.
(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是1
3
，求P 2的值；
(3)设P 2＝1
5
，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设
ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和均值．
类型二与排列、组合有关的分布列的均值
例2 如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．
(1)求V＝0的概率；
(2)求均值E(V)．
反思与感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X 取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到．
跟踪训练2 某地举办知识竞赛，组委会为每位选手都备有10道不同的题目，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完一道题后，再抽取下一道题进行回答．
(1)求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率； (2)求某选手抽到体育类题目的次数X 的均值．
类型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值
例3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是12，外语考核合格的概率是2
3，假设每一
次考核是否合格互不影响．
假设该生不放弃每一次考核的机会．用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的均值．
反思与感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．
跟踪训练3 甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为13，乙胜的概率为2
3，没有和棋，采用五局三胜制，
规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X 的均值．
类型四 均值的实际应用
例4 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的概率分布；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，因此只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由．
反思与感悟解答概率模型的三个步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
跟踪训练4 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取
钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的概率分布和均值．
1．某一供电网络有n 个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是________．
2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )＝________. 3．已知随机变量ξ的概率分布为
若η＝a ξ＋3，E (η)＝7
3
，则a ＝________.
4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的均值E (ξ)＝________.
5.现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得10张奖票；若落入B 槽，得5张奖票；若落入C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．
(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；
(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的概率分布及均值．
1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
答案精析
题型探究
例1 解 (1)方法一 P (ξ＝0)＝C 3
8
C 310
＝715
， P (ξ＝1)＝C 12C 2
8C 310＝7
15，
P (ξ＝2)＝C 22C 1
8C 310＝1
15
.
∴随机变量ξ的概率分布如下表：
E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35
.
方法二 由题意知，P (ξ＝k )＝C k 2C 3－k
8
C 310
(k ＝0,1,2)，
∴随机变量ξ服从超几何分布，n ＝3，M ＝2，N ＝10，
∴E (ξ)＝nM N ＝3×210＝3
5
.
(2)由题意知1次取到次品的概率为 210＝1
5
， 随机变量η服从二项分布η～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，15， ∴E (η)＝3×15＝3
5
.
跟踪训练1 解 (1)设甲袋中红球的个数为x ， 依题意得x ＝10×2
5＝4.
(2)由已知，得2
5m ＋2mP 23m ＝1
3，
解得P 2＝3
10
.
(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝35×45×45＝
48
125， P (ξ＝1)＝25×45
×45＋35
×C 12×15×45＝
56
125
，
P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝19125
，
P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭
⎪⎫15
2＝
2125
. 所以ξ的概率分布为
所以E (ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝4
5
.
例2 解 (1)从6个点中随机选取3个点总共有C 3
6＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 3
4＝12种，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35.
(2)V 的所有可能取值为0，16，13，23，4
3，
则P (V ＝0)＝35，P (V ＝16)＝C 3
3C 36＝1
20，
P (V ＝13)＝C 2
3C 36＝320，P (V ＝23)＝C 23C 36＝3
20，
P (V ＝43)＝C 33C 36＝120
.
因此V 的概率分布如下表：
E (V )＝0×35＋1
6
×120＋13
×320＋23×20＋3
×20
＝940
. 跟踪训练2 解 从10道不同的题目中不放回地随机抽取3次，每次只抽取1道题，抽取方法的总数为C 1
10C 19C 1
8. (1)某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的方法数为C 16C 14C 1
3，
所以这位选手在3次抽取的题目中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为C 16C 14C 1
3C 110C 19C 18＝1
10.
(2)由题意可知X 的取值可能为0,1,2.
则P (X ＝0)＝C 18C 17C 16C 110C 19C 18
＝7
15，
P (X ＝1)＝(C 12C 18C 1
7)C 1
3C 110C 19C 18＝7
15，
P (X ＝2)＝(C 12C 1
8)C 1
3C 110C 19C 18＝1
15.
故X 的概率分布如下表：
E (X )＝0×715
＋1×715
＋2×115
＝35
.
例3 解 ξ的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次，第二次身体体能考核合格为事件A 1，A 2，第一次，第二次外语考核合格为事件B 1，B 2， 则P (ξ＝0)＝P (A 1B 1)＝12×23＝1
3
，
P (ξ＝2)＝P (A 1A 2B 1 B 2)＋P (A 1A 2B 1 B 2)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－23 ＝112
. 根据分布列的性质可知，
P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝712
.
所以其概率分布如下表：
E (ξ)＝0×13
＋1×712
＋2×112
＝34
.
跟踪训练3 解 由题意，X 的所有可能值是3,4,5. 则P (X ＝3)＝C 3
3×(13)3＋C 33×(23)3＝13
，
P (X ＝4)＝C 23×(1
3)2×23×13＋C 23×(23)2
×13×23＝
1027， P (X ＝5)＝C 24×(13
)2×(23
)2×1
3＋C 24×(23)2×(13
)2
×23＝
827
. 所以X 的概率分布如下表：
所以E (X )＝3×3＋4×27＋5×27
＝107
27
. 例4 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝1
10.
(2)依题意得X 1的概率分布如下表：
X 2的概率分布如下表：
(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×9
10
＝2.79(万元)．因为
E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．
跟踪训练4 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝1
2
.
(2)依题意，得X 所有可能的取值是1,2,3，又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝2
3.
所以X 的概率分布为
所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝5
2.
当堂训练
1．np 2.1.75 3.2 4.2
3
5．解 (1)由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为(12)2＋(12)2＝1
2.
(2)落入A 槽的概率为(12)2＝1
4，
落入B 槽的概率为1
2
，
2020
落入C 槽的概率为(12)2＝1
4
.
X 的所有可能取值为0,5,10， P (X ＝0)＝(14
)3＝164
，
P (X ＝5)＝12＋14
×12
＋(14
)2×12＝2132
. P (X ＝10)＝14＋1
4
×14
＋(14
)2×14＝2164
.
所以X 的概率分布为
E (X )＝0×164
＋5×2132
＋10×2164
＝
10516
.。