2021年高一上学期期末测试数学试题 Word版含答案

2021年高一上学期期末测试数学试题 Word版含答案
一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3.已知△三个顶点的坐标分别为，，，若，那么
的值是
A. B.3 C. D.4
4．在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为
A． B． C． D．
5．函数的一个对称中心
A．B．C．D．
6. 函数（且）的图象经过点，函数（且）的图象经过点，则下列关系式中正确的是
A．B．C．D．
7.如图，点在边长为的正方形的边上运动，设是的中点，则当沿着路径运动时，点经过的路程与△的面积的函数关系为，则的图象是
8.已知函数，在下列结论中：
①是的一个周期;②的图象关于直线对称;③在上单调递减.
正确结论的个数为
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9.如果向量，，且，共线，那么实数.
10.已知集合，则 .
11．sin15o sin75o的值是____________.
12. 已知函数且，则的值为.
13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.
14.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列
关于函数的四个判断：
①的定义域是，值域是；
②点是的图象的对称中心，其中；
③函数的最小正周期为；
④函数在上是增函数．
则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号)
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15. （本小题满分13分）
已知函数.
（I）求函数的定义域；
（II）求的值；
（III）求函数的零点.
16. （本小题满分14分）
已知. 其中是第三象限角.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
(III) 求
π
θπθθ
⎛⎫
+-++
⎪
⎝⎭
sin2sin()cos2
2
的值.
17. （本小题满分13分） 已知向量，，其中.
（Ⅰ）当时，求的值； （Ⅱ）当时，求的最大值.
18. （本小题满分14分）
函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0， |φ|<π
2)的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将y ＝f (x )的图象向右平移π
6个单位后得到新函数的图象，求函数的解析式；
（Ⅲ）求函数的单调增区间.
19. （本小题满分13分） 设二次函数满足条件： ①， ②；
③在上的最小值为.
（I ）求的值；
（II ）求的解析式；
（III ）求最大值，使得存在，只要，都有成立.
20.（本小题满分13分）
若函数对任意的，均有，则称函数具有性质. （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.
①； ②.
（Ⅱ）若函数具有性质，且（），
求证：对任意有；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例.
密云县xx学年度第一学期期末考试
高一数学试卷参考答案及评分参考
xx．01
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．-210．11．
12．13．14．①③④
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15. （本小题满分13分）
解：（I）由题：, ----------------2分
函数的定义域. ----------------4分
（II）----------------8分
（III）令，
函数的零点为----------------13分
16. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）且是第三象限角，
----------------2分
----------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），----------------6分
----------------9分
(III)
π
θπθθ
⎛⎫
+-++
⎪
⎝⎭
sin2sin()cos2
2
----------------12分
----------------14分
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当时，，---------------2分
----------------5分 （Ⅱ）由题:
2222cos )2(cos sin 0)sin 0θθθθθθ=++⋅+⋅++
. ----------------10分
， .
当即时， ----------------11分
的最大值为. --------------- ----13分
18. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由所给图象知A ＝1， ---------------1分
34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2π
T ＝2.----------------2分 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6
，-------4分
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6. ----------------5分
（Ⅱ）f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解 析式为＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6 ----------------7分
＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6. --------------9分
（Ⅲ）由题:
1
2cos 22cos 222
x x x x =+-
+
. ----------------12分
222,(),2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈令 ----------------13分
.------------14分 19.（本小题满分13分） 解：(I) ∵在上恒成立，
∴
即. ---------------------------2分 （II ）∵，∴函数图象关于直线对称，
∴
∵，∴ ---------------------------4分 又∵在上的最小值为，∴，即， 由解得，
∴； -------------7分 （III ）∵当时， 恒成立，∴且，
由得，解得 ---------------9分 由得：，
解得，……………（10分）
∵，∴11(4)9m t ≤-≤--=，---------------11分 当时，对于任意，恒有211
(4)(109)(9)(1)044
f x x x x x x --≤
-+=--≤， ∴的最大值为. -------------------12分
另解：（酌情给分）且 在上恒成立
∵在上递减，∴， ∵在上递减，
∴2
min (1)11)x m -+=-+=- ∴，∴，， ∵，∴，
∴，∴的最大值为 20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：①函数具有性质.
11(1)(1)2()222220x x x x f x f x f x -+-++-=+-⋅=>，……………1分
即，
此函数为具有性质.……………2分
②函数不具有性质. ……………3分 例如，当时，，
，
所以，，……………4分 此函数不具有性质.
（Ⅱ）假设为中第一个大于的值， 则，
因为函数具有性质， 所以，对于任意，均有，
所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+
++-+>，
与矛盾，
所以，对任意的有. ……………9分 （Ⅲ）不成立.
例如……………10分
证明：当为有理数时，均为有理数，
222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，
当为无理数时，均为无理数，
22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f
所以，函数对任意的，均有，
即函数具有性质. ……………12分 而当（）且当为无理数时，.
所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分， 如等.）
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