2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选过关检测4 苏教版

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习精选过关检测4 苏教版一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)
1．过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴上的截距分别为a、b，则4a2＋b2的最小值为________．
2．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．
3．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2，过原点的直线l与圆C相切，则所有切线的斜率之和为________．
4．若0≤θ≤π
2
，当点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是
1
4
时，这条直线的斜率为________．
5．P为双曲线x2
9
－
y2
16
＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2
＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．
6．双曲线C：x2－y2＝1，若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C 的两条渐近线交于P，Q两点，且PA→＝2AQ→，则直线l的斜率为________．
7．已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，过圆M上任一点P 作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是________．
8．(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为________．9．(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点A1(x1,0)、A2(x2,0)分别作x轴的垂线与抛物线x2＝2y分别交于点A′1、A′2，直线A′1A′2与x轴交于点A3(x3,0)，这样就称x1、x2确定了x3.同样，可由x2、x3确定x4，…，若x1＝2，x2＝3，则x5＝________.
10．(xx·无锡模拟)如图所示，直线x ＝2与双曲线
C ∶x 2
4
－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→
＝e 1，
OE 2＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →
＝a e 1＋b e 2，
则实数a 和b 满足的一个等式是________．
11．设F 1、F 2分别是双曲线x 2
－y 2
9
＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→
＝0，
则|PF 1→＋PF 2→
|等于________．
12．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直
于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.
13．已知双曲线x 2
－y 2
＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，
则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左右两焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的一点，且
在x 轴的上方，H 是PF 1上一点，若PF 2→·F 1F 2→＝0，OH →·PF 1→＝0，|OH →|＝λ|OF →|，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥
⎤13，12(其中O 为坐标原点)．则椭圆C 离心率e 的最大值为________． 二、解答题(本题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线x 2
－
y 2
2
＝1上的两点，M (1,2)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点．
(1)求直线AB 与CD 的方程；
(2)判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．
16．(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2m
2＋y 2
＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲
线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)． (1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值；
(3)若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．
17．(本小题满分14分)(xx·淮阴、海门、天一中学联考)已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)
的离心率为
2
2
，一条准线l ∶x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；
②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．
18．(本小题满分16分)(xx·南京模拟)在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴
上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3. (1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →
.求过O ，A ，B 三点的圆的方程．
19．(本小题满分16分)(xx·南通、泰州、扬州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦
点为F 1(2,0)，离心率为e . (1)若e ＝
2
2
，求椭圆的方程； (2)设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；
②设直线AB 的斜率为k ，若k ≥3，求离心率e 的取值范围． 20．(本小题满分16分)(xx ·苏州调研)如图，
椭圆x 24＋y 2
3＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，
过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴 于B 、C 两点．
(1)若AB →＝λBC →
，求实数λ的值；
(2)设点P 为△ACF 的外接圆上的任意一点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．
参考答案 过关检测(四)
1．解析 由题意设x a ＋y b
＝1(a ＞0，b ＞0)，过定点P (1,2)，则1a ＋2
b
＝1，得ab ≥8(当且仅当“2a ＝b ”时取“＝”)，所以4a 2＋b 2
≥4ab ≥32(当且仅当“2a ＝b ”时取“＝”)．
答案 32
2．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b
2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2
≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2
≥2，其最小值为2.
答案 2
3．解析 依题意，知切线l 的斜率存在，设为k ，
则l 的方程为y ＝kx .
由
|2k ＋1|k 2
＋1
＝2，得2k 2
＋4k －1＝0， 解得k 1＝－1－
62，k 2＝－1＋62
， 于是，k 1＋k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－
62＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1＋62＝－2. 答案 －2
4．解析 d ＝|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2
θ
＝|sin θ－sin 2
θ|
1 ＝sin θ－sin 2
θ＝14
.
即4sin 2
θ－4sin θ＋1＝0，∴sin θ＝12.又0≤θ≤22，
∴cos θ＝3
2
，∴直线方程为x ＋3y －2＝0. ∴k ＝－
33
. 答案 －
33
5．解析 设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时PM －PN ＝(PF 1＋2)－(PF 2－1)＝6＋3＝9 答案 9
6．解析 双曲线C ：x 2－y 2
＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.
可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近
线方程联立方程组，可以求得P ⎝
⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1，
Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件PA →
＝2AQ →，可以求得k ＝±3. 答案 ±3
7．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2
＋y 2＝2相切的切线的斜率k .
设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |
1＋k
2
，k ＝－7或k ＝1.
答案 －7或1
8．解析 易得F (－2,4)，H (2,3)，则直线FH 的方程为x ＋4y －14＝0.
答案 x ＋4y －14＝0
9．解析 设A ′n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ，12x 2n 、A ′n ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫x n ＋1，12x 2n ＋1，则割线A ′n A ′
n ＋1的方程为：y －12x 2n ＝12x 2n ＋1－12x 2n
x n ＋1－x n (x
－x n )，
令y ＝0得x n ＋2＝x n ＋1x n x n ＋1＋x n ，即1x n ＋2＝1x n ＋1＋1x n ，不难得到1x 3＝56，1x 4＝76，1x 5＝2.所以x 5＝1
2
.
答案 12
10．解析 可求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝x 02a －b ＝y 0
，∴
[]2a ＋b 2
4
－(a －b )2
＝1，∴ab ＝14
.
答案 ab ＝1
4
11．解析 如图，由PF 1→·PF 2→＝0，可得PF 1→⊥PF 2→
，
又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2 为矩形，因为矩形的对角线相等，故有 |PF 1→＋PF 2→|＝|PQ →
|＝2c ＝210. 答案 210
12．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b
3a
x x 2a 2
－y
2b 2
＝1
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－32
4a y ＝－2
4
b ，又PF 1垂直于x 轴，所以32
4
a ＝c ，
即离心率为e ＝c a ＝32
4
.
答案
32
4
13．解析 由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2，
∴|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，
∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2
＝4.
∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2
＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，
∴(|PF 1|＋|PF 2|)2
＝8＋4＝12，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案 2 3
14．解析 由题意知PF 2⊥F 1F 2，OH ⊥PF 1，则有△F 1OH 与△F 1PF 2相似，
所以|OH ||OF 1|＝|PF 2||F 1P |＝λ，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c ＞0，
P (c ，y 1)，
则有c 2a 2＋y 21
b 2＝1，解得y 1＝b 2a ，所以|PF 2|＝y 1＝b 2a
.
根据椭圆的定义得：|F 1P |＝2a －|PF 2|＝2a －b 2
a
，
∴λ＝b 22a 2－b 2，即b 2a 2＝
2λ
1＋λ， 所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝21＋λ－1，显然e 2
＝21＋λ－1在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，12上是单调减函数，当λ＝
13时，e 2
取最大值12，故e 的最大值为22.
答案
22
15．(1)解 设A (x 1，y 1)，则B (2－x 1,4－y 1)，代入双曲线x 2
－
y 2
2
＝1得
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
1
－y 21
2＝1，2－x 1
2－
4－y 1
2
2
＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－1，y 1＝0
或⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝3，
y 1＝4，
即A 、B 的坐标为
(－1,0)、(3,4)，
所以AB ：y ＝x ＋1，CD ：y ＝－x ＋3； (2)A 、B 、C 、D 四点共圆，证明如下：
证明 由y ＝－x ＋3与x 2
－y 2
2
＝1联立方程组可得
C 、
D 的坐标分别为(－3－25，6＋25)、(－3＋25，6－25)，
由三点A 、B 、C 可先确定一个圆(x ＋3)2＋(y －6)2
＝40①，
经检验D (－3＋25，6－25)适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．
16．解 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24
＋y 2
＝1，c ＝4－1＝3，
∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)．
(2)m ＝3，椭圆方程为x 2
9
＋y 2
＝1，设P (x ，y )，则
PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2
＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)
∴当x ＝94时，PA min ＝2
2
；当x ＝－3时，PA max ＝5.
(3)设动点P (x ，y )，则
PA 2
＝(x －2)2
＋y 2
＝(x －2)2
＋1－x 2
m
2
＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m
2m 2－1
＋5(－m ≤x ≤m )． ∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1
m
2＞0，
∴2m 2m 2－1
≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2. 17．解 (1)由题设：⎩⎪⎨
⎪⎧
c a ＝22
a 2
c ＝2
，∴⎩⎨
⎧
a ＝2
c ＝1
，∴b 2＝a 2－c 2
＝1，
∴椭圆C 的方程为：x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )，
则圆D 的方程：(x －1)2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －t 22＝1＋t 2
4， 直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 2
4－⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 2
2－24＋t 2
2＝6， ∴t 2
＝4，∴t ＝±2.
∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2
＝2. ②设P (x 0，y 0)，
由①知：⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 2
42x 0＋ty 0－2＝0
，
即：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
0＋y 2
0－2x 0－ty 0＝0
2x 0＋ty 0－2＝0，
消去t 得：x 2
0＋y 2
0＝2，
∴点P 在定圆x 2＋y 2
＝2上．
18．解 (1)由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.
因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1
b 2＝1，解得b ＝ 3.
所以所求椭圆的方程为x 212＋y
23
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)． 点F 的坐标为F (3，0)．
则AF →＝3FB →
，得⎩
⎪⎨⎪⎧
3－x 1＝3x 2－3，－y 1＝3y 2，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－3x 2＋12，
y 1＝－3y 2.①
又点A ，B 在椭圆C 上，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－3x 2＋12
2
12
＋
－3y 2
2
3
＝1，
x 2
2
12＋y
22
3＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＝103，y 2
＝23
.
所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10
3，23，代入①，得点A 的坐标为(2，－2)．
因为OA →·AB →
＝0，所以OA ⊥AB .
所以过O ，A ，B 三点的圆就是以OB 为直径的圆．
其方程为x 2＋y 2
－103x －23y ＝0.
19．解 (1)由e ＝
2
2
，c ＝2，得a ＝22，b ＝2. 所求椭圆方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，
故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22，y 02，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－x 02，－y 02. ①由题意，得OM →·ON →
＝0.
化简，得x 20＋y 2
0＝4，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．
②设A (x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
y 0
＝kx 0
，x 2
0a 2
＋y
20b 2
＝1，
x 20
＋y 20
＝4
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 20a
2＋k 2x 2
0b 2＝1，
x 20＋k 2x 20＝4
⇒1
a 2＋k 2
b 2＝14
(1＋k 2
)． 将e ＝c a ＝2a
，b 2＝a 2－c 2＝4
e
2－4，代入上式整理，得
k 2(2e 2－1)＝e 4－2e 2
＋1.
因为e 4
－2e 2
＋1＞0，k 2
＞0，所以2e 2
－1＞0，e ＞
22
. 所以k 2
＝e 4－2e 2＋1
2e 2
－1≥3.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧
e 4－8e 2＋4≥0，2e 2－1＞0.
解之，得12＜e 2
≤4－23，22＜e ≤3－1.
故离心率的取值范围是⎝
⎛⎦
⎥⎤
22，3－1. 20．解 (1)由条件，得F (－1,0)，A (0，3)，直线AF 的斜率k 1＝ 3.因为AB ⊥AF ， 所以直线AB 的斜率为－3
3
.
则直线AB 的方程为y ＝－
3
3
x ＋ 3. 令y ＝0，得x ＝3.
所以点C 的坐标为(3,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－3
3x ＋3，
x 2
4＋y 2
3＝1，
得13x 2
－24x ＝0，
解得x 1＝0(舍)，x 2＝
24
13
. 所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2413，5313.
因为AB →＝λBC →，
所以λ＞0，且λ＝AB BC
. 所以λ＝24133－2413
＝8
5.
(2)因为△ACF 是直角三角形，
所以△ACF 外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2. 所以圆D 的方程为(x －1)2
＋y 2
＝4. 因为AB 是定值，
所以当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大． 过点D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点，
如图所以直线m的方程为y＝3(x－1)．
代入圆D的方程，得(x－1)2＋
3(x－1)2＝4.
所以x＝0，或x＝2(舍)．
则点P的坐标为(0，－3)．@839614 9ABE 骾35595 8B0B 謋v37743 936F 鍯920052 4E54 乔,29875 74B3 璳du38721 9741 靁j20499 5013 倓。