19.2.2 第4课时 一次函数与实际问题

第4课时一次函数与实际问题
1．根据问题及条件找出能反映出实际
问题的函数；(重点)
2．能利用一次函数图象解决简单的实
际问题，能够将实际问题转化为一次函数的
问题．(重点)
一、情境导入
联通公司手机话费收费有A套餐(月租
费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月
租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设
A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费
为y2(元)，月通话时间为x(分钟)．
(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关
系式；
(2)月通话时间为多长时，A、B两种套
餐收费一样？
(3)什么情况下A套餐更省钱？
二、合作探究
探究点：一次函数与实际问题
【类型一】利用一次函数解决最值问
题
广安某水果店计划购进甲、乙两
种新出产的水果共140千克，这两种水果的
进价、售价如表所示：
(1)若该水果店预计进货款为1000元，
则这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店决定乙种水果的进货量
不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安
排进货才能使水果店在销售完这批水果时
获利最多？此时利润为多少元？
解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出
产的水果共140千克，进而利用该水果店预
计进货款为1000元，列出等式求出即可；
(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利
润，再利用一次函数增减性得出最大值即
可．
解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进
乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋
9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝
75(千克)．
答：购进甲种水果65千克，乙种水果
75千克；
(2)由图表可得甲种水果每千克利润为
3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利
润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－
x＋560.∵该水果店决定乙种水果的进货量
不超过甲种水果的进货量的
3倍，∴140
－
x≤3x，解得x≥35.∵－1<0，∴W随x的增
大而减小，则x越小W越大．∴当x＝35
时，W最大＝－35＋560＝525(元)，140－35
＝105(千克)．
答：当购进甲种水果35千克，购进乙
种水果105千克时，此时利润最大为525元．
方法总结：利用一次函数增减性得出函
数最值是解题关键．
【类型二】利用一次函数解决有关路
程问题
为倡导低碳生活，绿色出行，某
自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1h 后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2h 装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地的时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：
(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；
(2)邮政车出发多久与自行车队首次相遇？
(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？
解析：(1)由“速度＝路程÷时间”就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追及问题设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以求出D 的坐标，由待定系数法求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．
解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为72÷3＝24(km/h)．
(2)由题意得邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23
.
答：邮政车出发2
3h 与自行车队首次相
遇；
(3)由题意得邮政车到达丙地的时间为
135÷60＝9
4(h)，∴邮政车从丙地出发返回甲
地前共用时为94＋2＋1＝214(h)，∴B (21
4，
135)，C (7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (49
8，
135)．设直线BC 的解析式为y 1＝k 1＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0＝7.5k 1＋b 1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧k 1＝－60，
b 1＝450.∴y 1＝－60x ＋450.设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧72＝3.5k 2＋b 2，135＝49
8k 2＋b 2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k 2＝24，
b 2＝－12，∴y 2＝24x －12.当y 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.
答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.
方法总结：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 【类型三】 利用一次函数解决图形面积问题
如图①，底面积为30cm 2的空圆
柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？
(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．
解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s；注满“几何体”上方圆柱需24－18＝6(s)，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)．再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．
解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；
(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为a cm，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2.
方法总结：本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．
【类型四】利用一次函数解决销售问题
某社区活动中心准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B(元)．请解答下列问题：
(1)分别写出y A、y B与x之间的关系式；
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
解析：(1)根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y A、y B的解析式；(2)分三种情况进行讨论，当y A＝y B时，当y A ＞y B时，当y A＜y B时，分别求出购买划算的
方案；(3)分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．
解：(1)由题意得y A＝(10×30＋3×10x)×0.9＝27x＋270；y B＝10×30＋3(10x－20)＝30x＋240；
(2)当y A＝y B时，27x＋270＝30x＋240，得x＝10；当y A＞y B时，27x＋270＞30x＋240，得x＜10.∵x≥2，∴2≤x＜10；当y A ＜y B时，27x＋270＜30x＋240，得x＞10；∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x＝10时，两家超市一样划算，当x＞10时，在A超市购买划算；
(3)由题意知x＝15，15＞10，∴只在一家超市购买时，选择A超市划算，y A＝27×15＋270＝675(元)．在两家超市购买时，先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球：(10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要费用10×30＋351＝651(元)．∵651元＜675元，∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．
方法总结：本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
【类型五】利用图表信息解决实际问题
某工厂生产甲、乙两种不同的产
品，所需原料为同一种原材料，生产每吨产
品所需原材料的数量和生产过程中投入的
生产成本的关系如表所示：
若该工厂生产甲种产品m吨，乙种产品
n吨，共用原材料160吨，销售甲、乙两种
产品的利润y(万元)与销售量x(吨)之间的函
数关系如图所示，全部销售后获得的总利润
为200万元．
(1)求m、n的值；
(2)该工厂投入的生产成本是多少万
元？
解析：(1)求出甲、乙两种产品每吨的利
润，然后根据两种原材料的吨数和全部销售
后的总利润，列出关于m、n的二元一次方
程组，求解即可；(2)根据“生产成本＝甲的
成本＋乙的成本”，列式计算即可得解．
解：(1)由图可知，销售甲、乙两种产品
每吨分别获利6÷2＝3(万元)、6÷3＝2(万
元)．根据题意可得
⎩⎪
⎨
⎪⎧m＋2n＝160，
3m＋2n＝200，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧m＝20，
n＝70；
(2)由(1)知，甲、乙两种产品分别生产
20吨、70吨，所以投入的生产成本为20×4
＋70×2＝220(万元)．
答：该工厂投入的生产成本为220万元．
方法总结：本题考查了一次函数的应
用，主要利用了列二元一次方程组解决实际
问题，根据表格求出两种产品每吨的利润，
然后列出方程组是解题的关键．
三、板书设计
1．利用一次函数解决最值问题
2．利用一次函数解决有关路程问题
3．利用一次函数解决图形面积问题
4．利用一次函数解决销售问题
5．利用图表信息解决实际问题
本节课的设计，力求体现新课程改革的理念，结合学生自主探究的时间，为学生营造宽松、和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生的探索能力和创新能力，激发学生学习的积极性．在学生选择解决问题的诸多方法的过程中，不过多地干涉学生的思维，而是通过引导学生自己去探究来选择合适的办法解决问题．。