江苏省南通市海安市海陵中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题(含答案解析)

一对“相关点”．如图，过点 0, 2 作平行于 x 轴的直线 l，点 E 是直线 l 上的动点，点 F
与点 G 是点 E 的一对“相关点”，当点 F 在坐标轴上时，G 点的坐标______．
三、解答题 19．计算：
3x 5y 11 (1)解方程组： 2x y 3 ；
试卷第 3页，共 5页
3(x 1) 4( y 1) 1
x y 100 A． 3x y 100
x y 100 B． x 3y 100
x y 100
C．
3x
y 3
100
x y 100
D．
x 3
3
y
100
x8
9．如果不等式组
x
m
无解，那么
m
的取值范围是（
）
A．m＞8
B．m≥8
C．m＜8
D．m≤8
10．已知 x=2 是不等式 x 5ax 3a 2 0 的解，且 x=1 不是这个不等式的解，则实
24．在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A(0，2)，B(-2，0)，C(4，0)．
(1)如图①， ABC 的面积为
．
(2)如图②，将点 B 向右平移 7 个单位，再向上平移 4 个单位长度得到对应点 D． ①求 ACD 的面积；
②P(m，3)是一动点，若 SPAO SAOC ，请求出点 P 的坐标．
【详解】解：∵点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限，
1 a 0 ∴ 2a 6 0
解得 a＜﹣3． 故选 A． 【点睛】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取
大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
8．C
【分析】设大和尚有 x 人，小和尚有 y 人，根据 100 个和尚分 100 个馒头，大和尚 1 人分 3
是（ ）
A．a＜－1
B．a＜1
C．a＞－1
D．a＞1
7．已知点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3
B．﹣3＜a＜1
C．a＞﹣3
D．a＞1
8．《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其中记载了一道题，大意是：100 个
试卷第 1页，共 5页
和尚分 100 个馒头，大和尚 1 人分 3 个馒头，小和尚 3 人分 1 个馒头，问大、小和尚各 有多少人．若设大和尚有 x 人，小和尚有 在 5×4 的方格纸中，每个小正方形边长为 1，点 O，A，B 在方格纸的交点（格
点）上，在第四象限内的格点上找点 C，使△ABC 的面积为 3，则这样的点 C 共有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
3x y 1 3a 6．关于 x、y 的二元一次方程组 x 3 y 1 a 的解满足不等式 x＋y＞0，a 的取值范围
9．B
【分析】根据不等式取解集的方法，大大小小无解，可知 m 和 8 之间的大小关系，求出 m
的范围即可．
【详解】解：因为不等式组无解，
答案第 3页，共 16页
即 x＜8 与 x＞m 无公共解集， ∴m≥8． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本 题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小 无解． 10．C 【详解】∵x=2 是不等式(x−5)(ax−3a+2)⩽0 的解，∴(2−5)(2a−3a+2)⩽0，解得：a⩽2， ∵x=1 不是这个不等式的解，∴(1−5)(a−3a+2)>0，解得：a>1， ∴1<a⩽2， 故选 C. 11． 2 （答案不唯一）． 【分析】由于所求无理数大于 1 且小于 2，两数平方得大于 2 小于 4，所以可选其中的任意 一个数开平方即可．
(2)若使用优惠方案前，顾客购物应付 x x 100 元，请根据 x 的取值，讨论顾客到哪家
商场购物花费少？ 26．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方
x 11
程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程
x
1
3
的解为
x
4
，而不等式组
x
2
3
的
解集为 2 x 5 ，不难发现 x 4 在 2 x 5 的范围内，所以方程 x 1 3是不等式组
22．已知 2a 1 的平方根是 3 ，3a b 9 的立方根是 2，c 是 17 的整数部分，求 a 2b c
的算术平方根．
23．在等式 y ax2 bx c中，当 x 1 时，y= 2 ；当 x= 1 时，y 20 ；当 x 3 与 x 1
2
3
时，y 的值相等，求 a 2b 3c 的值．
14．如图，将直角 ABC 沿 CB 边向右平移得到 △DFE ， DE 交 AB 于点 G． AB 9cm ， BF 3cm ， AG 5cm ，则图中阴影部分的面积为______．
试卷第 2页，共 5页
15．若 P 2 a,3a 6 到两坐标轴的距离相等，则 P 点坐标为______．
数 a 的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．a≤2
C．1＜a≤2
D．1≤a≤2
二、填空题 11．请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数：___． 12．如图，把小河里的水引到田地 A 处就作 AB⊥l，垂足为 B，沿 AB 挖水沟，水沟最 短. 理由是_______________________.
13．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角 边重合，含 30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45°角的三角板的一个顶点 在纸条的另一边上，则∠1 的度数是________
试卷第 4页，共 5页
25．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲 商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95%收费． (1)如果不使用优惠方案，某人购买 3 件 A 商品和 2 件 B 商品应付 80 元，购买 4 件 A 商 品和 1 件 B 商品应付 65 元，如果使用优惠方案购买 3 件 A 商品和 6 件 B 商品，应到哪 家商场更省钱？
(2)
x 2
y 3
2
．
20．（1）解不等式 x 2 7 x ，并把它的解集在数轴上表示出来；
2
3
x 2 3 x 1
（2）解不等式组： 2
，并将它的解集在数轴上表示出来．
1 3(x 1) 8 x
21．如图，线段 AB ， AD 交于点 A ， C 为直线 AD 上一点（不与点 A ， D 重合）．过点
【详解】大于 1 且小于 2 的无理数可以是 2, 3, 2 等， 故答案为： 2 （答案不唯一）． 12．垂线段最短 【详解】试题分析：点到直线的所有线段中垂线段最短. 考点：垂线段的性质 13．15°##15 度 【分析】如下图，过点 E 作 EF//BC，然后利用平行线的性质结合已知条件进行分析解答即 可． 【详解】由题意可得 AD//BC，∠DAE=∠1+45°，∠AEB=90°，∠EBC=30°，过点 E 作 EF//BC， 则 AD//EF//BC， ∴∠AEF=∠DAE=∠1+45°，∠FEB=∠EBC=30°， 又∵∠AEF=∠AEB-∠FEB， ∴∠AEF=90°-30°=60°， ∴∠1+45°=60°， ∴∠1=60°-45°=15°．
16．若方程组
(k
2x 1)x
3y 1 (k 1) y
的解 4
x
与
y
相等，则
k
的值为_____________．
x 2a 3 17．若关于 x 的不等式组 1 2x x 2 的解集中只有 4 个整数解，则 a 的取值范围是 ______．
18．对于平面直角坐标系 xOy 中的任意一点 P x, y ，给出如下定义：记 m x y ，n x y ， 将点 Am, n 与 B n, m 称为点 P 的一对“相关点”．例如：点 5, 1 与 1,5 是 P2,3 的
C 在 BC 的右侧作射线 CE BC ，过点 D 作直线 DF AB ，交 CE 于点 G （ G 与 D 不重
合）．
(1)如图，若点 C 在线段 AD 上，且 BCA 为钝角．求证： CGD B 90 ； (2)若点 C 在线段 DA 的延长线上，直接写出 B 与 CGD 的数量关系．
∴9 的平方根是±3，
故选：C．
2．D
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：A． 16 4 ，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B． 3.14 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意．
C． 3 8 2 ，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； D． 5 是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数，求一个数的立方根，算术平方根，掌握无限不循环小数是无理 数是解题的关键． 3．D 【分析】根据不等式运算法则做出判断即可： 【详解】解：A、因为不等式两边同加一个数，不等式方向不变，不等式变形正确； B、因为不等式两边同除以一个正数，不等式方向不变，不等式变形正确； C、∵ a b 3a 3b 3a 4 3b 4 ，∴不等式变形正确； D、∵ a b 3a 3b 3a 4 3b 4 4 3a 4 3b ，∴不等式变形错误． 故选 D． 4．C 【分析】根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠3=58°，所以∠2=58°． 【详解】 解：如图所示，
B． 3.14
C． 3 8
D． 5
3．若 a b ，则下列不等式变形错误的是【 】
A． a 1 b 1
B． a b 22
C． 3a 4 3b 4 D． 4 3a 4 3b
4．小明将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=32°，则∠2 的度数为( )
A．32°
B．48°
C．58°
答案第 2页，共 16页
xy 1 1a ， 22
∵x y 0， ∴1 1 a 0，
22 解得： a 1， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组合解一元一次不等式的综合问题，能够将解一元一次
不等式组的解法与二元一次方程组的解法相结合是解决本题的关键．
7．A 【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．
【分析】直接把方程组的两个方程相加可得 4x 4 y 2 2a ，即 x y 1 1 a ，再结合 22
x y 0 ，即可得到关于 a 的不等式， 1 1 a 0 ，解不等式即可求得 a 的取值范围． 22
3x y 1 3a①
【详解】解：
x
3y
1
a②
，
①+②得： 4x 4 y 2 2a ，等号两边同除以 4 得：
江苏省南通市海安市海陵中学 2021-2022 学年七年级下学期 期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1． 9 的平方根是（ ）
A． 3
B． 3
2．下列各数中，属于无理数的是（ ）
C． 3
D． 81
A． 16
∵a∥b， ∴∠2=∠3，
答案第 1页，共 16页
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣32°=58°，
∴∠2=58°．
故选 C．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等．
5．B
【分析】根据点 A、B 的坐标判断出 AB∥x 轴，然后根据三角形的面积求出点 C 到 AB 的
x 11
x
2
3
的“相依方程”．
(1)在方程① 6(x 2) (x 4) 23；② 9x 3 0 ；③ 2x 3 0 中，不等式组
2x 1 x 1 3(x 2) x 4 的“相依方程”是________；（填序号）
(2)若关于
x
的方程
3x
k
6
是不等式组
x
3x 1 x 2
距离，再判断出点 C 的位置即可．
【详解】解：由图可知，AB∥x 轴，且 AB＝3，
设点 C 到 AB 的距离为 h，
则△ABC
的面积＝
1 2
3h
＝3，
解得 h＝2，
∵点 C 在第四象限，
∴点 C 的位置如图所示，共有 3 个．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，确定 C 所在的直线是关键．
6．C
1 2x 1 23
的“相依方程”，求 1
k
的取值范
围；
(3)若关于
x
的方程
x
3m 2
2
是关于
x
的不等式组
ìï x í ïî x
+1> m - m £ 2m
+1
的“相依方程”，且此
时不等式组有 5 个整数解，试求 m 的取值范围．
试卷第 5页，共 5页
1．C
参考答案：
【详解】∵±3 的平方是 9，
个馒头，小和尚 3 人分 1 个馒头，列方程组即可．
【详解】设大和尚有 x 人，小和尚有 y 人，
∵100 个和尚分 100 个馒头，大和尚 1 人分 3 个馒头，小和尚 3 人分 1 个馒头，
x y 100
∴
3x
1 3
y
100
，
故选 C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系是解题关键.