成都理工大学附属中学中考数学规律问题图形变化类专题

成都理工大学附属中学中考数学规律问题图形变化类专题
一、规律问题图形变化类
1．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ ）
A ．57
B ．66
C ．67
D ．75
2．“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名“雪花曲线”）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12的图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（ ）
A ．192
B ．243
C ．256
D ．768
3．如图，在第一个1ABA ∆中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =，得到第二个12A A C ∆；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4A 为顶点的等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A ．170︒
B ．175︒
C ．10︒
D ．5︒
4．第①图形中有2个三角形，第②图形中有8个三角形，第③个图形中有14个三角形，依此规律，第⑦个图形中三角形的个数是（ ）
A．40 B．38 C．36 D．34
5．下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个这样的图案黑色棋子的个数是（）
A．148 B．152 C．174 D．202
6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n的值为（）
A．504 B．505 C．677 D．678
7．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第8个图中共有点的个数是（）个
A．108B．109C．110D．112
8．携带着2公斤珍贵月壤的嫦娥五号返回器于2020年12月17日凌晨1时32分，降落在内蒙古市四子王旗，实现了中国版的“空间跳跃”.在科幻电影《银河护卫队》中，星际之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成，如图所示，两个星球之间的路径只有一条，三个星际之间的路径有3条，四个星际之间的路径有6条，...，按此规律，则10个星际之间的路径有（）
A ．45条
B ．21条
C ．42条
D ．38条 9．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）
A ．2020
B ．2019(5)
C ．2020(5)
D ．20205 10．如图，点123,,,A A A A ，…在同一直线上，111122223,,AB A B A B A A A B A A ===，3334A B A A =，……，若B 的度数为x ，则1n n n A B A +∠的度数为（ ）
A ．
()111802n x -︒- B ．()11802n x ︒- C ．()111802n x +︒- D ．()21
1802n x +︒-
11．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按这样的方法继续下去，第n 个图形中有（ ）个三角形（用含n 的代数式表示）．
A ．4n
B ．41n +
C ．41n -
D ．43n - 12．如图，四边形OAA 1B 1是边长为1的正方形，以对角线OA 1为边作第二个正方形OA 1A 2B 2，连接AA 2，得到AA 1A 2；再以对角线OA 2为边作第三个正方形OA 2A 3B 3，连接A 1A 3，得到A 1A 2A 3，再以对角线OA 3为边作第四个正方形OA 2A 4B 4，连接A 2A 4，得到A 2A 3A 4，…，设AA 1A 2，A 1A 2A 3，A 2A 3A 4，…，的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，如此下去，则S 2020的值为（ ）
A ．20201
2 B ．22018 C ．22018+12 D ．1010
13．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）
A ．61
B ．62
C ．63
D ．65
14．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，
B 1
C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……，则正方形A 2020B 2020C 2020
D 2020的边长是（ ）
A ．(12)2017
B ．(12)2018
C ．(33)2019
D ．(33
)2020 15．将若干个小菱形按如图的规律排列：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3个小菱形，第（3）个图形有6个小菱形，…，则第（20）个图形有（ ）个小菱形，
A ．190
B ．200
C ．210
D ．220
16．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图形含有正方形的个数是（ ）
A ．102
B ．91
C ．55
D ．31
17．如图，已知点A 1，A 2，…，A 2011在函数2y
x 位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，…，B 2011在函数2y x 位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，…，C 2011在y 轴的正半轴上，若四边形 111OA C B 、1222C A C B ，…， 2010201120112011C A C B 都是正方形，则正方形2010201120112011C A C B 的边长为（ ）
A ．2010
B ．2011
C ．2
D ．2 18．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A 在直线15
y x b =+上，点1B ，2B ，3B 在x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆都是等腰直角三角形，若已知点()11,1A ，则点3A 的纵坐标是（ ）
A ．32
B ．23
C ．49
D ．94
19．如图．ABC ∆的面积为1．分别取,AC BC 两边的中点11A B 、，则四边形11A ABB 的面积为34
，再分别取的11,A C B C 中点2222,,,A B A C B C 的中点33,A B ，依次取下去...．利用这一图形．计算出233333 (4444)
n ++++的值是（ ）
A ．11414n n ---
B ．414n n -
C ．212n n -
D ．1212n n
-- 20．如图，由等圆组成的一组图中，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由11个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第⑧个图由（ ）个圆组成
A ．71
B ．72
C ．73
D ．74
21．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2020对应的字是（ ）
A．振B．兴C．中D．华
22．如图，小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形．其个数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
A．2020 B．2018 C．2016 D．2014
23．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为
a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2015=（）
A．22013B．22014C．22015D．22016
24．如图，每个图案都由若干个“●”组成，其中第①个图案中有7个“●”，第②个图案中有13个“●”，…，则第⑨个图案中“●”的个数为( )
A．87 B．91 C．103 D．111
25．把圆形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（）
A．42 B．54 C．55 D．56
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一、规律问题图形变化类
1．D
【分析】
根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．
【详解】
解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，
∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；
∵第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成，
∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；
∵第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成，
∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，
∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．
∴当n=8时，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为9×8+3=75，
故选D．
【点睛】
本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．
2．D
【分析】
结合图形的变化写出前3次变化所得边数，发现规律：每多一次操作边数就是上一次边数的4倍，进而可以写出操作4次后所得“雪花曲线”的边数．
【详解】
解：操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12，即3×41＝12；
操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48，即3×42＝48；
操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192，即3×43＝192；
所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768，即3×44＝768；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了规律题型图形变化类，准确判断计算是解题的关键．
3．A
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A5的度数．
【详解】
解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA 1A= 1802
B ︒-∠=80°， ∵A 1A 2=A 1
C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，
∴∠CA 2A 1=18022
BA A ︒∠==40°； 同理可得∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，
∴∠A n =1802
n ︒-， 以点A 4为顶点的等腰三角形的底角为∠A 5，则∠A 5=4802
︒
=5°， ∴以点A 4为顶点的等腰三角形的顶角的度数为180°-5°-5°=170°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．
4．B
【分析】
由图形可知：第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；进一步代入求得答案即可．
【详解】
解：∵第①个图形有2+6×0=2个三角形；
第②个图形有2+6×1=8个三角形；
第③个图形有2+6×2=14个三角形；
…
∴第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；
∴第⑦个图形有6×7-4=38个三角形，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．A
【分析】
观察各图可知，第①个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第②个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第③个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第④个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n 个图案需要的个数为()(){}
1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个），所以第⑨个图案需要的个数只需将n=9代入即可．
【详解】
解：由图知第①个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；
第②个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；
第③个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；
第④个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；
…
第n 个图案需要的个数为()(){}
1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个）
∴第⑨个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)×2+2×8=148（个）
故选A ．
【点睛】
本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．
6．B
【分析】
根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值．
【详解】
解：∵第①个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个； 第②个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个； 第③个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个； 第④个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；
∴第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个
∵第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个
∴412021n +=
∴505n =．
故选：B
【点睛】
本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
7．B
【分析】
由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…，由此规律得出第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n 3(1)12n n +=
+个点，然后依据规律解答即可． 【详解】
解：第1个图中共有1+1×3=4个点，
第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， …
第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n=13(123)n ++++⋯+3(1)
12
n n +=+个点， ∴第8个图中共有点的个数38(81)
11092
⨯+=+=个， 故选B. 【点睛】
此题考查图形的变化规律，根据图形得出数字之间的运算规律是解题的关键． 8．A 【分析】
设n 个星球之间的路径有a n 条（n 为正整数，且n≥2），观察图形，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，可得出变化规律“a n =1
2
n （n-1）（n 为正整数，且n≥2）”，再代入n=10即可求出结论． 【详解】
解：设n 个星球之间的路径有a n 条（n 为正整数，且n≥2）． 观察图形，可知：a 2=12×2×1=1，a 3=12×3×2=3，a 4=1
2
×4×3=6，…， ∴a n =
1
2
n （n-1）（n 为正整数，且n≥2）， ∴a 10=
1
2
×10×9=45． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，找出变化规律“a n =1
2
n （n-1）（n 为正整数，且n≥2）”是解题的关键． 9．B 【分析】
结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解 【详解】
解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为0
12
A A ∵1212
B A A A = ∴112A B =
∴第2个正方形
1234B B B B
由题意，以此类推，21C B =22C B =
∴第3个正方形
1234C C C C 25== …
∴
第n 个正方形的边长为1n -
∴第2020个正方形的边长为2019 故选：B ． 【点睛】
本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键． 10．C 【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解计算 【详解】
解：∵在△ABA 1中，∠B=x ，AB=A 1B ， ∴∠BA 1A=
1802
x
︒-， ∵A 1A 2=A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠A 1B 1A 2=∠A 1A 2B 1=
1
2∠BA 1A=2
1180180222x x ︒-︒-⨯=；
同理可得，∠A 2B 2A 3=∠A 2A 3B 2=1
2∠A 1B 1A 2=23
1180180222x x ︒-︒-⨯=；
∴∠A n B n A n +1=()11
1802
n x +︒- 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，准确识图，找出规律是解答此题的关键． 11．D 【分析】
由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n 个图形三角形的个数． 【详解】 解：由题意得：
第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个， 第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个， 第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个， 第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个， ……
∴第n 个图形三角形的个数为()43n -个； 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可． 12．B 【分析】
首先求出S 1、S 2、S 3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【详解】 解：如图
∵四边形OAA 1B 1是正方形， ∴OA ＝AA 1＝A 1B 1＝1，
∴S 1＝12
⨯1×1＝12，
∵∠OAA 1＝90°， ∴OA 12＝12+12＝2， ∴OA 2＝A 2A 3＝2，
∴S 2＝
1
2
⨯2×1＝1， 同理可求：S 3＝12
⨯2×2＝2，S 4＝4…， ∴S n ＝2n ﹣2， ∴S 2020＝22018， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a n 的规律是解题的关键． 13．A 【分析】
根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决． 【详解】 解：由图可得，
第一个图有1个蜂巢， 第二个图有1+6×1＝7个蜂巢， 第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢， …，
则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61， 故选：A ． 【点睛】
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数． 14．C 【分析】
利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】
∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°， ∴D 1E 1=C 1D 1sin 30°=
12
，
则B 2C 2=22cos30B E ︒1
=⎝⎭
，
同理可得：B 3C 3=2
13=⎝⎭
，
故正方形A n B n C n D n 的边长是：1
n -⎝⎭
，
则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是：2019
3⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
，
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键． 15．C 【分析】
仔细观察图形知：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3＝1＋2个，第（3）个图形有6＝1＋2＋3个，…由此得到规律求得第（20）个图形中小菱形的个数即可． 【详解】
解：第（1）个图形有1（个）菱形， 第（2）个图形有3＝1＋2（个），
第（3）个图形有6＝1＋2＋3（个）， 第（4）个图形有10＝1＋2＋3＋4（个）， …
第n 个图形有1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1)
2
n n + （个）小菱形， ∴第（20）个图形有2021
2102
⨯=（个）小菱形． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律． 16．B 【分析】
观察发现，第①个图形有正方形的个数为1；第②个图形有正方形的个数为：1+4=5；第③个图形有正方形的个数为：1+4+9=14；…；第n 个图形有正方形的个数为：1+4+9+…+n 2，从而得到答案． 【详解】 解：观察发现：
第①个图形含有正方形的个数为1， 第②个图形含有正方形的个数为：1+4=5， 第③个图形含有正方形的个数为：1+4+9=14， …
第n 个图形含有正方形的个数为：1+4+9+…+n 2，
∴第⑥个图形含有正方形的个数为：1+4+9+16+25+36=91， 故选：B ． 【点睛】
此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问题． 17．D 【详解】
解：∵OA 1C 1B 1是正方形， ∴OB 1与y 轴的夹角为45°， ∴OB 1的解析式为y=x 联立2{
y x y x ==，解得00x y ==⎧⎨⎩或1
1
x y =⎧⎨=⎩， ∴点B 1（1，1），
OB 1=
∵OA 1C 1B 1是正方形， ∴OC
1OB 1， ∵C 1A 2C 2B 2是正方形，
∴C 1B 2的解析式为y=x+2， 联立22{
y x y x =+=，解得1{1x y =-=或2
4
x y =⎧⎨=⎩，
∴点B 2（2，4），
C 1B 2=， ∵C 1A 2C 2B 2是正方形， ∴C
1C 2C 1B 2=4， ∴C 2B 3的解析式为y=x+（4+2）=x+6， 联立26{
y x y x =+=，解得，2{4x y =-=或3
{9
x y ==，
∴点B 3（3，9），
C 2B 3=， …，
依此类推，正方形C 2010A 2011C 2011B 2011的边长C 2010B 2011= 故选：D 【点睛】
本题考查二次函数综合题． 18．D 【分析】
作11A C ⊥x 轴，22A C ⊥ x 轴，33A C ⊥ x 轴，设2A 纵坐标为m ，再根据等腰直角三角形的性质，将坐标表示为()22,A m m +，代入直线解析式算出m ，再用同样的方法设
()35,A n n +，代入解析式求出n ．
【详解】
解：如图，作11A C ⊥x 轴，22A C ⊥ x 轴，33A C ⊥ x 轴， 把()11,1A 代入15y x b =
+，求出4
5b =，则直线解析式是1455
y x =+，
已知()11,1A ，根据等腰直角三角形的性质，得到111111OC A C B C ===，
设2A 纵坐标为m ，22A C m =，22OC m =+，得()22,A m m +，代入直线解析式，得
()14255m m =
++，解得3
2
m =， 设3A 纵坐标为n ，33A C n =，35OC n =+，得()35,A n n +，代入直线解析式，得
()14
555
n n =
++，解得9n 4=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是抓住等腰直角三角形的性质去设点坐标，再代入解析式列式求解． 19．B 【分析】
由△CA 1B 1∽△CAB 得出面积比等于相似比的平方，得出△CA 1B 1的面积为1
4
，因此四边形A 1ABB 1的面积为1-14，以此类推．四边形的面积为21144-，231144
-，，根据规律求
出式子的值． 【详解】
∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点， 且△ABC 的面积为1， ∴△A 1B 1C 的面积为1
14
⨯
， ∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积=
31144=-， ∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=△A 1B 1C 的面积-△A 2B 2C 的面积=22113
444
-=， …，
∴第n 个四边形的面积1113
444n n n
--=， 故
23213333111
11···(1)()(
)444444444
n n n -++++=-+-++- 1
14n
=-
414
n n -=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学
生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 20．A 【分析】
先观察前几个图形，找到规律，用含有n 的代数式将规律表示出来，然后算第⑧个． 【详解】
解：可以将整个图形分成三部分看，上面部分整体和中间一行以及下面部分整体， 上部分和下部分都是一样的规律，第n 个图形有1231n ++++-个圆，
所以上部分加上下部分一共有()()123121n n n ++++-⨯=-个圆，
中间一行，第n 个图形有21n -个圆， 所以第n 个整个图形中有21n n +-个圆， 令8n =，解得第⑧个图形中有71个圆． 故选：A ． 【点睛】
本题考查找规律，解题的关键是能够用含有n 的代数式将图形的规律表示出来． 21．A 【分析】
找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】
由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”是除以4余3的，“振”是能被4整除的，“兴”是除以4余1的， 因为20204505÷=， 所以数2020对应的字是“振”， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了图形变化的规律型问题，正确找出一般规律是解题关键． 22．C 【分析】
观察发现，三角数都是3的倍数，正方形都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各项进行判断即可得解． 【详解】 解：
3，6，9，12，…称为三角形数，
∴三角形数都是3的倍数，
4，8，12，16，…称为正方形数
∴正方形数都是4的倍数
∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数
202012=168...4÷ 201812=168...2÷
÷
201612=168
÷
201412=167 (10)
∴既是三角形数又是正方形数的是2016
故选C．
【点睛】
本题考查了数字变化规律，根据题目信息判断出既是三角形数又是正方形数是12的倍数是解题的关键．
23．B
【详解】
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1，a3=4a1=4，
a4=8a1=8，a5=16a1，
以此类推：a2015=22014．
故选B．
【点睛】
根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而发现解题规律
24．D
【分析】
根据第①个图案中“●”有：1+3×（0+2）个，第②个图案中“●”有：1+4×（1+2）个，第③个图案中“●”有：1+5×（2+2）个，第④个图案中“●”有：1+6×（3+2）个，据此可得第⑨
个图案中“●”的个数．
【详解】
解：∵第①个图案中“●”有：1+3×（0+2）=7个，
第②个图案中“●”有：1+4×（1+2）=13个，
第③个图案中“●”有：1+5×（2+2）=21个，
第④个图案中“●”有：1+6×（3+2）=31个，
…
∴第9个图案中“●”有：1+11×（8+2）=111个，
故选：D．
【点睛】
本题考查规律型：图形的变化，解题的关键是将原图形中的点进行无重叠的划分来计数．25．C
【分析】
根据题意找到图案中圆形个数的规律，从而求解
【详解】
解：第①个图案中有0+12=1个圆形，
第②个图案中有1+22=5个圆形，
第③个图案有2+32=11个圆形，
第④个图案有3+42=19个圆形，
第n个图案有（n-1）+n2个圆形，
∴第7个图案中圆形的个数为：6+72=55
故选：C．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中圆形个数的变化找出变化规律是解题的关键．。