5.3-1正交试验设计(修改)

1 1 (Y1 + Y2 + Y3 ) = µ + a1 + (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) . 3 3 1 显然， E[ (Y1 + Y2 + Y3 )] = µ + a1 ，由此，确定出 a1 的无偏估计 3 1 ˆ1 = (Y1 + Y2 + Y3 ) − Y . a 3
ˆ = Y .） （因 µ
保温时 间 C/min 3 1（30） 2（35） 3（40） 2（35） 3（40） 1（30） 3（40） 1（30） 2（35）
指 标
yi 35 30 29 26.4 26 15 20 20 23 T ＝ 224.4
70 79.4 75 9.4
3.按试验方案进行试验 试验安排好后，就要严格按各号试验的条件进行试验，并认真 测定试验结果和记录下所得数据及有关情况.关于试验的顺序，可 不拘泥于试验号的先后，最好打乱顺序进行，也可挑选最有希望 的试验先做. 对于没有列入正交表的因素，让其保持在固定状态. 4.试验结果的直观分析 （1）试验数据的数学模型及参数估计. 本例考察的指标为抗弯强度， 把 9 个试验结果的数据列于表 5.20 的右侧的指标栏内.根据表 5.20 写出试验数据的数学模型为
⎧Y1 = µ + a1 + b1 + c1 + ε 1 , ⎪ ⎪Y2 = µ + a1 + b2 + c2 + ε 2 , ⎪Y3 = µ + a1 + b3 + c3 + ε 3 , ⎪ ⎪Y4 = µ + a2 + b1 + c2 + ε 4 , ⎪ ⎨Y5 = µ + a2 + b2 + c3 + ε 5 , ⎪Y = µ + a + b + c + ε , 2 3 1 6 ⎪ 6 ⎪Y7 = µ + a3 + b1 + c3 + ε 7 , ⎪ ⎪Y8 = µ + a3 + b2 + c1 + ε 8 , ⎪Y = µ + a + b + c + ε , 3 3 2 9 ⎩ 9
L9 (34 ) 两列两列并在一起形成 9 个数字对： （1,1）,（1,2）, （1,3）,
（2,1） ， （2,2） ， （2,3）,（3,1） ， （3,2） ， （3,3） ，每对出现一次. 附表 8 给出了常用的各种正交表，其形式尽管不同，但是不难验 证，它们都具有上面的两条性质.这两条性质称为正交性.正交性刻 划了正交表的特点，在进行一般性讨论时，可作为正交表的定义. 对附表 8 中的一些正交表，还有另一个性质； （ 3 ）有些正交表，还有一个附表――两列间的交互作用列表 .
（2）表头设计 . 选用正交表后， 将因素分别排在正交表的适当的列号上方， 这 称之为表头设计.本例中， 将 A, B, C 三个因素分别排在 L9 (34 ) 的 第 1，2，3 上.哪一个因素排在哪一列上，有时是可以任意的， 但当考虑交互作用时， 因素在表头上的排列是遵照一定规则， 我 们将在后面介绍. （2） 水平翻译. 排好表头后，把排有因素的各列中的数码换成相应的实际 水平就叫做水平翻译. 例如本例中，原料配比 A 被排在正交表
平
1 2 3
A1 =1:1 A2 =2:3 A3 =3:7
B1 = 150 B2 = 165 B3 = 180
C1 = 30 C 2 = 35 C3 = 40
2.用正交表安排试验 （1） 选用合适正交表. 选用正交表，首先根据因素的水平数，来确定选用几个水 平的正交表.本例中，三个因素都是三水平因素，因此选用三水 平正交表.然后再根据因素的个数， 来决定选择多大的表.一般来 说，要选用其列数大于或等于因素个数，而试验次数又较少的
L16 ( 215 ) ， L16 ( 215 ), L32 ( 231 ), L9 (34 ), L27 (313 ),
· ·.这类正交表的特点是 L16 ( 45 ), L64 ( 421 ), L25 (56 ), L125 (531 ) ， · tn −1 q= ，是饱和型正交表，就是说它的列数达到最大值； t −1 （2） L4 k ( 24 k −1 ) 型正交表.属于这类正交表的有， L12 ( 211 ), L20 ( 219 ) ， L24 ( 223 ), L28 ( 227 ) 等，它也是饱和正交表； （3） Lλ p2 ( p 2 p +1 ) 型正交表.属于这类正交表的有 L18 (37 ) ， L32 ( 49 ) ，
L50 (511 ) 等，它是非饱和正交表；
（4） 混合型正交表： 属于这类正交表的有 L8 ( 4 × 24 ) ， L12 (3 × 24 ) ，
L12 (6 × 22 ) ， L16 ( 4 × 212 ) ， L32 ( 2 × 49 ) 等.
关于正交表的构造问题，要用到较多的数学知识，有兴趣的读 者可参阅杨子胥编著的 《正交表的构造》 （山东人民出版社， 1978） 一书. 二、正交试验设计的直观分析方法 以下通过一个实例来介绍如何用正交表安排试验和分析试验 结果. 例 5.7 人造再生木材提高抗弯强度试验. 分以下几个步骤进行： 1． 明确试验目的，确定试验指标，挑因素，选水平 本例的试验目的是提高“人造再生木材”的抗弯强度，故可确 定再生木材的抗弯强度 Y 为指标，且指标值越大越好.根据专业 知识和经验知道原料配比（高压聚乙烯：木屑） ，加湿湿度，保 温时间可能对抗弯强度有影响，决定选取它们作为要考察的因 素，每个因素选取三个不同状态，称为因素的水平，进行比较， 列成如下的因素水平表 5.19 表 5.19 配比 A 加温温度 B 保 温 时 间 因 素 C/min 水
（5.24）
其中 ε i （ i = 1," , 9 ）是一组相互独立同服从 N (0, σ 2 ) 的随机变 量， ai , bi , ci ， （ i = 1, 2, 3 ）分别为因素 A,B 和 C 各水平的效应，满 足关系式
∑ ai = ∑ bi = ∑ ci = 0
i =1 i =1 i =1
L9 (34 ) 的第 1 列，就把第 1 列中的“1”换成原料配比的 1 水平
A1 ＝1：1， “2”换成原料配比的 2 水平 A2 = 2 : 3 ， “3”换成原
料配比的 3 水平 A3 = 3 : 7 等等. （4）列出试验方案表. 经表头设计和水平翻译后， 再划去未排因素的列， 便得到一 张试验方案表.本例的试验方案如表 5.20 所示，从这张试验方案 表可以知道各号试验的试验条件.例如第 4 号试验条件是 A2 B1C 2 , 即原料配比为 2:3, 加温温度为 150 度，保温时间为 35min.
正交表.本例中，选用 L9 (34 ) ， L18 (37 ) ， L27 (313 ) 都可以把试验
安排下来， 用 L9 (34 ) 只需做 9 次试验， 用 L18 (327 次试验，我们要求试验次数尽可能少，选用
L9 (34 ) 只需做 9 次试验, 因此选 L9 (34 ) 比较合适.
列 试 验 号 号
1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2 2
3 1 1 2 2 2 2 1 1
4 1 2 1 2 1 2 1 2
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
7 1 2 2 1 2 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
表 5.17 正交表 L9 (34 )
§5.3 正交试验设计
所谓正交试验设计就是利用一种规格化的表格——正交表来 合理地安排试验，利用数理统计原理科学地分析试验结果、处理 多因素试验的科学方法. 一、正交表介绍 正交表是正交试验设计的基本工具，它是根据均衡分散的思想， 运用组合数学理论在拉丁方和正交拉丁方的基础上构造的一种表 格. 为了解正交表，先介绍两张常用的正交表 L8 (27 ) 和 L9 (34 ) （见 表 5.16 和表 5.17） 表 5.16 正交表 L8 (27 )
L8 (27 ) 的交互作用列表见表 5.18，
L9 (34 ) 两列间的交互作用列表因为特别简单，所以不必列成表的
形式，而用一句话来表述： “任意两列间的交互作用为另外两列”. 交互作用列表用于确定任两列的交互作用应占的列号.例如要确 定 L8 (27 ) 中第（2） ， （5）两列的交互作用列可查上表，先在对角 线上查出列号（2）及（5） ，然后从（2）向右横看与从（5）向上 ，就是说，第（2） ， （5）两列的交互作用 竖看交叉处是数字“7” 为第 7 列.特别指出的是对 2 水平正交表，两列间的交互作用列只 有一列，对 3 水平正交表，两列间的交互作用占两列，一般 m 水 平的正交表（ m ≥ 2 ） ，两列间的交互作用列占 m − 1 列.正交表记号 所表示的意思，如图 5.1 所示， 正交表代号 正交表列数
3
3
3
（5.25）
将式（5.24）中的所有等式相加，并利用式（5.25）得
∑ Yi = 9µ + ∑ ε i ，两边除以 9 得
i =1 i =1
9
9
Y =µ+
1 9 ∑ε . 9 i =1 i
ˆ =Y . µ 的无偏估计量为： µ
显然， EY = µ 成立.因此确定出
将式（5.24）的前三式求和，再除以 3，并利用式（5.25）得
表 5.20
加 温 温 度
原料配比 A 1
B / 0C
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 I II III R
1（1:1） 1（1:1） 1（1:1） 2（2:3） 2（2:3） 2（2:3） 3（3:7） 3（3:7） 3（3:7） 94 67.4 63 31
1（150） 2（165） 3（180） 1（150） 2（165） 3（180） 1（150） 2（165） 3（180） 81.4 76 67 14.4
Ln ( t q )
正交表行数 图 5.1 表中数码数
即用正交表 Ln ( t q ) 安排试验，数码数 t 表示因素的水平为 t，q 表 示最多能安排 q 个因素，行数 n 表示要做 n 次试验. 常用的正交表，主要有以下四种类型： （1） Lt n ( t q ) 型正交表.属于这一类正交表的有 L4 ( 23 ) ， L8 ( 27 ) ，
L9 (34 ) 的正交性可得所有参数的无偏估计量为
⎫ ⎪ 1 ˆ a1 = (Y1 + Y2 + Y3 ) − Y , ⎪ ⎪ 3 ⎪ 1 ˆ a2 = (Y4 + Y5 + Y6 ) − Y , ⎪ 3 ⎪ ⎪ 1 ˆ3 = (Y7 + Y8 + Y9 ) − Y , ⎪ a 3 ⎪ ⎪ 1 ˆ = (Y + Y + Y ) − Y , ⎪ b 1 1 4 7 3 ⎪ 1 ˆ = (Y + Y + Y ) − Y , ⎬ b ⎪ 2 5 8 3 2 ⎪ 1 ⎪ ˆ b3 = (Y3 + Y6 + Y9 ) − Y , ⎪ 3 ⎪ 1 ˆ1 = (Y1 + Y6 + Y8 ) − Y , ⎪ c ⎪ 3 ⎪ 1 ˆ2 = (Y2 + Y4 + Y9 ) − Y , ⎪ c ⎪ 3 ⎪ 1 ˆ3 = (Y3 + Y5 + Y7 ) − Y , ⎪ c 3 ⎭ ˆ =Y µ
列 试 验 号 号
1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
为什么称它们是正交表呢？ 因为它们都具有下面的两条性质： （1）表中各列出现的数字个数相同， L8 (27 ) 的任一列中只出现两 个数字“1”和“2” ， “1”的个数是 4， “2” 的个数也是 4； L9 (34 ) 的任一列中只出现三个数字“1” ， “2”和“3” ，即每一列数字的 个数都是 3 ； （2）表中任意两列并在一起形成若干数字对，不同的数字对的 个数相同，L8 (27 ) 任两列并在一起形成 8 个数字对， 分别为 （1,1） , （1,2）,（2,1） （2,2）共四种，每种的个数都是 2；
将式（5.24）中的第 4～第 6 式和第 7～第 9 式分别求和并分别 ，可确定出 a2 , a3 的无偏估计量为 除以 3 及利用式（5.25）
1 1 ˆ 2 = (Y4 + Y5 + Y6 ) − Y ， a ˆ3 = (Y7 + Y8 + Y9 ) − Y . a 3 3
同理可确定出式（ 5.24 ）中其他各参数的无偏估计 . 总之利用