山东理工大学高等数学期末试题

05-06学年第二学期高等数学考试试题
一、 选择题（每小题2分，共20分）
1 二元函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0
0),(22222
2y x y x y
x xy y x f 在点（0，0）处（ ）。

A. 不连续、偏导数存在
B. 连续、偏导数存在
C. 连续、偏导数不存在
D. 不连续、偏导数不存在 2 设y
z
x z x z y ∂∂∂∂=,,则
依次为（ ）。

A. 1,ln -y y yx x x B. x x yx y y ln ,1- C. x x yx y y ln ,1- D. 1,ln -y y yx x x 3 点)3,3,3(a a a 是函数xyz u =在条件a
z y x 1
111
=++(x>0,y>0,z>0,a>0)下的（ ）。

A. 非驻点
B. 仅是驻点,不取得极值
C. 极小值点
D. 极大值点 4 若21D D ⊇,则必有( ). A.⎰⎰⎰⎰≥1
2
),(),(D D dxdy y x f dxdy y x f B.
⎰⎰
⎰⎰≥1
2
),(),(D D dxdy y x f dxdy y x f
C.
⎰⎰⎰⎰≥1
2
),(),(D D dxdy y x f dxdy
y x f D. 以上结论都不对
5 两个底圆半径都等于R 的直交圆柱体公共部分的表面积等于（）。

A. ⎰⎰--R
x R dy x
R R dx 00
2
2
2
24 B. ⎰⎰
--R
x R dy x
R R dx 0
2
2
2
28
C. ⎰⎰----R x R x
R dy x
R R dx 02
2
2
22
2
4 D. ⎰⎰
----R
x R x R dy x
R R dx 0
2
2
2
22
28
6 设L 为连接点（1,0）及（0,1）的直线段，则曲线积分：
⎰=+L
ds y x )(
)(
A. 1
B. 2
C. 2-
D. –1
7设L 是平面上不经过原点的简单封闭曲线正向，则曲线积分：
=+-⎰L y x ydx
xdy 22（ ）
A. 0
B. π2
C. 0或π2
D. 以上结论都不对 8 级数∑∞
=+-12
)1(n n
n
k
n （k>0是常数）（ ） A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛性与K 的取值有关 9 若∑∞
=-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在x=2处（ ）。

A. 条件收敛
B. 绝对收敛
C. 发散 D 无法判定其敛散性. 10 02),(21212
=-'-''=+y y y C C e C y C x 是微分方程是任意常数的（ ）。

A. 通解
B. 特解
C. 不是解
D. 是解，但不是通解，也不是特解 二、填空题（每空3分，满分30分） 1 =→→x xy y x )
tan(lim
0________________________.
2 曲面z=xy 上的点________处的切平面与平面x+3y+z+9=0平行。

3 函数f(x,y,z)=xy+yz+zx 在点(1,1,2)沿着x 轴正向的方向导数：
.___________=∂∂l
f
4 交换二次积分的次序⎰⎰⎰⎰-+31301020),(),(y
y dx y x f dy dx y x f dy =_________. 5 22y x z +=Ω是由曲面设与平面z=4所围成的闭区域，则：
⎰⎰⎰Ω
dv z y x f ),,(在柱面坐标系下的三次积分的表达式为________.
6 a=________时，(x+ay)dx+(2x+y)dy 在整个xoy 坐标平面内是某一个函数的全微分。

7 幂级数∑∞
=12n n n
n
x 的收敛域为______________.
8 f(x)的周期为2π，且f(x)=x(ππ<≤-x ),则其傅立叶系数:
_______=n a ;若以S(x)表示f(x)的傅立叶级数的和函数，则：
__________________)()1(=+πS S 。

9 微分方程x x y dx
dy
x
cos 2=-的通解为________________. 三、（10分）已知：),(x
y
x xf z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求：
y
x z dz ∂∂∂2及
四、（10分）计算曲面积分⎰⎰∑
-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面
)(2
122y x z +=介于平面z=0及z=2之间部分的下侧。

五、（10分）设f(x)是非负的连续函数，L 是沿y=f(x)从点O(0,0)到点A(2,0)的曲线段，且L 与X 轴围成的平面区域的面积等于1，计算曲线积分⎰+-L x dy e y xdx )(。

六、（10分）试用x
e 的展开式将函数x
e x
f x 1)(-=展开为x 的幂级数，
并求级数∑
∞
=+1)!
1(n n n
的和。

七、（10分）设函数y=y(x)满足微分方程,223x e y y y =+'-''其图形在点(0,1)处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，求y=y(x).。