课时作业13：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

2．3.4 平面向量共线的坐标表示
一、选择题
1．下列向量中，与向量c ＝(2,3)不共线的一个向量p 等于( )
A ．(5,4)
B.⎝⎛⎭⎫1，32
C.⎝⎛⎭⎫23，1
D.⎝⎛⎭⎫13，12
考点 平面向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 A
解析 因为向量c ＝(2,3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A 中向量与c 不共线．
2．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A ．e 1＝(2,2)，e 2＝(1,1)
B ．e 1＝(1，－2)，e 2＝(4，－8)
C ．e 1＝(1,0)，e 2＝(0，－1)
D ．e 1＝(1，－2)，e 2＝⎝⎛⎭
⎫－12，1 考点 平面向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 C
解析 选项C 中，e 1，e 2不共线，可作为一组基底．
3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用向量共线求参数
答案 D
4．如果向量a ＝(k ,1)，b ＝(4，k )共线且方向相反，则k 等于( )
A ．±2
B ．－2
C ．2
D ．0
题点 利用向量共线求参数
答案 B
解析 ∵a 与b 共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b ＝λa ，即(4，k )＝λ(k ,1)＝(λk ，λ)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧ λk ＝4，k ＝λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，λ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝2，λ＝2(舍去)． 5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n
等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用向量共线求参数
答案 C
解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，
a －2
b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，
∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12
，故选C. 6．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( )
①存在实数x ，使a ∥b ；
②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ；
③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ；
④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b .
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
考点 平面向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 B
解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b .
7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成
三角形，则实数k 应满足的条件是( )
A ．k ＝－2
B ．k ＝12
C ．k ＝1
D ．k ＝－1
题点 利用三点共线求参数
答案 C
解析 因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，又AB →＝OB →－
OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1.
8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )
A ．(－5，－10)
B ．(－4，－8)
C ．(－3，－6)
D ．(－2，－4)
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用向量共线求参数
答案 B
解析 由题意，得m ＋4＝0，所以m ＝－4.
所以a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，
则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
二、填空题
9．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝______.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用向量共线求参数
答案 －6
解析 因为a ∥b ，
所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.
10．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A ，C ，D 三点共线，则k ＝________.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
答案 4
解析 因为AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)．又A ，C ，
D 三点共线，所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.
11．已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
答案 (3,3)
解析 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，
则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．
又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，
由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝34
， 所以OP →＝34
OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 12．设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m ,3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________．
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
答案 {m |m ∈R 且m ≠6}
解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形，
∴AB →，AC →不共线．
又∵AB →＝(1,1)，AC →＝(m －2,4)，
∴1×4－1×(m －2)≠0.
解得m ≠6.
∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}．
三、解答题
13．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12
BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14
|ED →|，求点E 的坐标． 解 ∵AC →＝12
BC →，∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →， 设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)，
∴x C ＝3，y C ＝－6，∴C 点的坐标为(3，－6)，
又|CE →|＝14
|ED →|，且E 在DC 的延长线上， ∴CE →＝－14
ED →，设E (x ，y )， 则(x －3，y ＋6)＝－14
(4－x ，－3－y )，
得⎩⎨⎧ x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝83，y ＝－7. 故点E 的坐标是⎝⎛⎭⎫83，－7.
14.如图所示，已知在△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC
相交于点M ，求点M 的坐标．
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用向量共线求点的坐标
解 ∵OC →＝14OA →＝1
4(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，5
4，
∴C ⎝⎛⎭⎫0，5
4.
∵OD →＝12OB →＝1
2(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，3
2，∴D ⎝⎛⎭⎫2，3
2.
设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，
AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－7
2.
∵AM →∥AD →，
∴－7
2x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①
又∵CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －5
4，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，7
4，CM →∥CB →，
∴7
4x －4⎝⎛⎭⎫y －5
4＝0，
即7x －16y ＝－20.②
联立①②，解得x ＝12
7，y ＝2，
故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12
7，2.。