广东省肇庆市高三第二次模拟考试——数学理数学理

广东省肇庆市
2017届高三第二次模拟考试
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
（1）设复数满足，为虚数单位，则复数的虚部是
（A ） （B ） （C ） （D ） （2）已知，函数的定义域为，，则下列结论正确的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
（3）已知满足约束条件302601
02
x y y x y x ⎧
⎪+-≥⎪-+≥⎨⎪⎪-≤⎩，则的最小值为 （A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）-3 （4）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
（5）执行如图所示的程序框图，如果输入的，
正视图 俯视图
侧视图
则输出的属于
（A ） （B ） （C ） （D ） （6）下列说法中不正确．．．
的个数是 ①“”是“”的必要不充分条件； ②命题“”的否定是“”；
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 （7）若的展开式中含有常数项，则的最小值等于
（A ）3
（B ）4 （C ）5 （D ）6
（8）已知()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，若将它的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为
（A ） （B ） （C ） （D ） （9）已知，，，若点是所在平面内一点，且AB AC AP AB
AC
=
+
，当变化时， 的最大值等于
（A ）-2 （B ）0 （C ）2 （D ）4 （10）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
（A ） （B ）
（C ） （D ）
（11）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球
成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发
球次数为，若的数学期望，则的取值范围是 （A ） （B ） （C ） （D ）
（12）已知函数()()()32
32111
69,1323
a f x x x x g x x x ax a +=-+=
-+->，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为 （A ） （B ） （C ） （D ）
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）等比数列的前项和为，已知，则公比= ▲ .
（14）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为▲ .
（15）已知，分别是的两个实数根，则▲ .
（16）若定义域为的偶函数满足，且当时，，则方程在内的根的个数是▲ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
()()()
-=-+.
a A B c
b C B
sin sin sin sin
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．
（18）（本小题满分12分）
设数列{}的前项和为，且.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）若，且数列的前项和为，求.
（19）（本小题满分12分）
某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布. 现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）试估计该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生中身高在172cm以上（含172cm）的人数；
（III）从（Ⅱ）中身高在172cm以上（含172cm）的男生里任意抽取2人，将这2人身高纳
入全市排名（从高到低），能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望.
参考数据：若，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，
()330.9974P μσξμσ-<≤+=.
（20）（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，. （Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若是的中点，且与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值.
（21）（本小题满分12分）
已知函数()2
()1x
f x x e ax =-+有两个零点.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是的两个零点，证明. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（Ⅰ）直接写出的普通方程和极坐标方程，直接写出的普通方程； （Ⅱ）点在上，点在上，求的最小值. （23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知()|||1|f x x a x =-+-. （Ⅰ）当，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
2017届高中毕业班第二次统一检测题
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
13．或（答1个得3分，答2个得5分） 14． 15． 16． 三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知以及正弦定理，得()()()a a b c b c b -=-+， （2分） 即. （3分）
所以2221
cos 22
a b c C ab +-=
=， （5分） 又，所以. （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以， （8分）
又1sin 2S ab C =⋅==，所以， （9分）
所以2
()7325a b ab +=+=，即. （11分） 所以周长为. （12分）
（18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知，有 ①，
当时，，即. （1分） 当时， ②，
①-②得1122n n n n n a S S a a --=-=- ，即. （3分） 所以是2为公比，1为首项的等比数列，即. （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得21log ln 2n n n b a n +===， （6分） 所以(1)
122
n n n T n +=+++=
. （8分） 所以()
2222
122334
1n n =
++++
⨯⨯⨯+ （9分）
=
11111
21
22334n n
⎛
-+-+-++-
+
⎝
= （11分）
= （12分）（19）（本小题满分12分）
）（168-3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，
=0.0013，（5分）
以上的人数为：，
（10分）
（20）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以. （1分）
又，且是中点，所以. （2分）
，所以. （3分）
又，所以. （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，是在面上的射影，
所以是与面所成的角. （5分）
在Rt△BOE中，，，所以.
在Rt△PEO中，，，所以PE==.
所以，又，
所以，所以. （6分）
D
又,PO BD BD AO O ⊥=，所以. （7分）
方法一：
过做于，由（Ⅰ）知，所以，所以，
，所以是二面角的平面角. （9分） 在△PAC
中，PA PC AC ===.
所以CE ==
（10分） 111
222
EOC S OC PO EC OH ∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，得，
（11分）
，cos OH OHB BH ∠==
. （12分） 3CE ⎛= 00CB n CB n CE n CE n ⎧⎧⊥=⎪⎪
⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩
, 即 ，即 又面的一个法向量为， 3,13
OB n OB n OB n
<>==
= （21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()2(2)x
x
f x xe ax x e a '=+=+ （1分） （i ）当时，
函数在单调递减，在单调递增． （2分）
∵2(0)10,(2)40f f e a =-<=+>，
取实数满足且，则()
()22
()(1)14210f b a b ab a b b a >-+=+->-->，
（3分） 所以有两个零点． （4分） （ii ）若，则，故只有一个零点． （5分） （iii ）若，由（I ）知，
当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；
当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，，故不存在两个零点． （6分）
综上所述，的取值范围是． （7分） （Ⅱ）不妨设.
由（Ⅰ）知()()12,0,0,x x ∈-∞∈+∞，，则等价于. 因为函数在单调递减，
所以等价于，即证明. （8分） 由()()22
22210x
f x x e ax =-+=，得，
()()()()222222222111x x x f x x e ax x e x e ---=--+=--+-， （9分）
令()()()11x
x g x x e
x e -=--+-，. （10分）
()()g'0x x x x e e -=-+<，在单调递减，又，所以，
所以，即原命题成立. （12分）
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）的普通方程是， （2分） 的极坐标方程， （4分） 的普通方程. （6分） （Ⅱ）方法一：
是以点为圆心，半径为2的圆；是直线. （7分）
2
=>，直线和圆相离. （8分） 所以的最小值为. （10分） 方法二：
设()22cos ,2sin A θθ-+，因为是直线， （7分）
所以的最小值即点到直线的距离的最小值，d ==
， （9分）
所以最小值为. （10分）
（23）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）当时，不等式，即. 可得，或或 （3分）
解得，所以不等式的解集为. （6分）
（Ⅱ）|||1|1x a x a -+-≥-，当且仅当时等号成立. （8分） 由，得或，即a 的取值范围为 （10分）。