弹性力学与有限元分析试题及参考答案 精品

弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂0
0x y
y x
xy y yx
x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+s f
l m s f m l y s xy y x
s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。

为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。

此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。

上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，22
23xy C y -=σ，y x C y C xy 2
332--=τ，体力不计，Q 为常数。

试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x y
y x xy y yx
x τστσ 得
⎩⎨
⎧=--=--+-0
230
33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即
()()()⎩⎨
⎧=+=+--0
230
333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=-0
23030332
231C C C Q C C 由此解得，61Q C =
，3
2Q C -=，23Q
C = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y x y X y x xy
y yx
x τστσ
可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：
y x x
y xy x y y x ∂∂∂+=-∂∂+-∂∂τννσσνσσ222
2
2)1(2)()( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：
y x x
y xy
x y y x ∂∂∂-=--∂∂+--∂∂τνσννσσννσ2
222
212)1()1( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否
可能存在。

（1）Axy x =ε，3By y =ε，2Dy C xy -=γ； （2）2Ay x =ε，y Bx y 2=ε，Cxy xy =γ； （3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ； 其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
y x x
y xy
y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2
222
2 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。

（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。

（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。

5、证明应力函数2by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠b ）。

解：将应力函数2by =ϕ代入相容方程
024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y
y x x ϕ
ϕϕ 可知，所给应力函数2by =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为
b y
x 222=∂∂=ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，02=∂∂∂-=y x xy ϕ
τ
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四
个边上的面力分别为：
上边，2h
y -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；
下边，2h
y =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2
===h y y y f σ；
左边，2l
x -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2
=-=-=l x xy y f τ；
右边，2l
x =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2===σ，0)(2
===l x xy y f τ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。

因此，应力函数2by =ϕ能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。

6、证明应力函数axy =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠a ）。

解：将应力函数axy =ϕ代入相容方程
024
422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y y x x ϕ
ϕϕ 可知，所给应力函数axy =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为
022=∂∂=y
x ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，a y x xy -=∂∂∂-=ϕ
τ2
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四
个边上的面力分别为：
上边，2h
y -=，0=l ，1-=m ，a f h y xy x =-=-=2)(τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；
下边，2h
y =，0=l ，1=m ，a f h y xy x -===2)(τ，0)(2===h y y y f σ；
左边，2l
x -=，1-=l ，0=m ，0)(2=-=-=l x x x f σ，a f l x xy y =-=-=2
)(τ；
右边，2l
x =，1=l ，0=m ，0)(2===l x x x f σ，a f l x xy y -===2
)(τ。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。

因此，应力函数axy =ϕ能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分
量。

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，
即设0=x σ。

由此可知
022∂∂=y
x ϕ
σ
将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式
())()(,21x f y x f y x +=ϕ
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
04
241=+dx
dx y 2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。

若按一个单元计算，水的容重g γ，三角形平面构件容重g ρ,取泊松比
v =1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。

解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3
建立坐标())0,0(3)3,0(20,21:a a xoy
（1） 求形函数矩阵：
a a a a 600
321===
a b b a b 30
3321-===
a c a c c 220
321-===
图（2.14） 形函数:
)(21y c x b a A N i i i i ++=
2
3322
1a a a A =⨯⨯=
所以：
a
y a x N a y
N a x
N 32132321--
==
=
形函数的矩阵为：
[][]
[][]⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡----==a y a x a y a x a y a x a y a x N N N N m j
i
3210302003210302
（2） 刚度矩阵
[][][][][][][][][]
[]
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332
31
2322
21
13
1211
K K K K K K K K K K e
[]
()⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+=-=s r s r s r s r s r s r s r s r rs
b b
c c c b b c b c c b c c b b A Et
K 21212121142
ννννννν
()12
5
21353141
6122=-=-==
νννa E
A Et t
可得：
[][]⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=400353534150093532211E
K E K [][]⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=02510
35343127273323531233E K E K
[]
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=2152
51935313
E K []⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡----
=
41253535323E K
（3）位移列向量和右端项 由边界条件可确定：{}
{}
T
e
u a 000022υ=
水压力和构件厚分别为：
1
0==t gh
p γ
{}T T
e t l q h q h q R ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧=03203
100203
6
00001
自重为
W 与支座反力：
{}T
y x y x e
W R R W W
R R R ⎭
⎬
⎫⎩
⎨⎧--
-
=33
0333
112
所以：
[]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------
--
--=
4312
74
252151273321
3525941
4001
2535035250215250254150191
09
353E K e
{}T
y x y x e
W R h q R W h q W R R R ⎭
⎬
⎫⎩
⎨⎧-+
--
=33
363
303011
由
[]{}
{}
e
e
e
R a K =得到下列矩阵方程组：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧-+--=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧33363000030301122W R h q R W h q W R R u y x y x υ 化简得：
⎪
⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡3640035353022W h q u E υ
可得：
⎪
⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧E W E h q u 363567022υ
将⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧22υu 代入下式： ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------
--
--=
4312
74
252151273321
3525941
4001
2535035250215250254150191
09
353E K e
⎪⎪⎪⎭⎪⎪
⎪
⎬⎫⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡----33342
513502510353303
1122W R h q R W R R u E y x y x υ 固定面上的反力：a h ga gh q 330===γγ
从而可得支座反力为：
4
32212341203
3011h q W R h q W R W h q R W R y x y x -
=-=+
=-
=
这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），
可见它的系数和自由项都应该等于零，即
0)(414=dx x f d ， 0)
(4
24=dx
x f d 这两个方程要求
I Cx Bx Ax x f +++=231)(， K Jx Ex Dx x f +++=232)(
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
2323)(Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=ϕ
对应应力分量为
022=∂∂=y
x ϕ
σ
gy E Dx B Ax y x
y ρϕ
σ-+++=∂∂=26)26(22
C Bx Ax y
x xy ---=∂∂∂-=2322ϕτ
以上常数可以根据边界条件确定。

左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有
0)(0==-=C x xy τ
右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有
q Bb Ab b x xy =--==23)(2τ
上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xy τ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
0)(00
==⎰dx y b
xy
τ
将xy τ的表达式代入，并考虑到C =0，则有
0)23(2
30230
2=--=--=--⎰
Bb Ab Bx Ax dx Bx Ax b b
而00)(00
=⋅=⎰dx y b xy τ自然满足。

又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y σ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
0)(00
==⎰
dx y b
y σ，
0)(00
==⎰xdx y b
y
σ
将y σ的表达式代入，则有
02323)26(2
02
=+=+=+⎰Eb Db Ex Dx
dx E Dx b b
022)26(2
30
230
=+=+=+⎰
Eb Db Ex Dx xdx E Dx b b
由此可得
2
b q A -
=，b q
B =，0=
C ，0=
D ，0=
E 应力分量为
0=x σ, gy b x b y q y ρσ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312, ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=23b x b x q xy τ
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远
离y =0处这一结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为
x
V
f x ∂∂-
=，y V f y ∂∂-=，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，
V y
x +∂∂=22ϕσ，V x y +∂∂=22ϕσ，y x xy ∂∂∂-
=ϕ
τ2，试导出相应的相容方程。

证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x σ，y σ，xy
τ
应当满足平衡微分方程
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂00y V x y
x V
y x xy y yx x τστσ（1分） 还应满足相容方程
()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+-=+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ12222（对于平面应力问题） ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y
x y x μσσ112222（对于平面应变问题） 并在边界上满足应力边界条件（1分）。

对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。

首先考察平衡微分方程。

将其改写为
()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧=∂∂+-∂∂=∂∂+
-∂∂
0x V y y V x xy y yx x τστσ 这是一个齐次微分方程组。

为了求得通解，将其中第一个方程改写为
()()yx x y
V x τσ-∂∂=-∂∂
根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得
y A V x ∂∂=
-σ，x
A
yx ∂∂=-τ 同样，将第二个方程改写为
()()yx y x
V y τσ-∂∂=-∂∂
（1分） 可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得
x
B
V y ∂∂=
-σ，y B yx ∂∂=-τ
由此得
y
B
x A ∂∂=∂∂ 因而又一定存在某一函数()y x ,ϕ，使得
y A ∂∂=
ϕ，x
B ∂∂=ϕ 代入以上各式，得应力分量
V y
x +∂∂=22ϕσ，V x y +∂∂=22ϕσ，y x xy ∂∂∂-
=ϕ
τ2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数()y x ,ϕ必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得
()V y x V x V y y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+∂∂++∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222222222221μϕϕ ()V y x V y x x y y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂222222222222222212μϕϕ 简写为
V 24)1(∇--=∇μϕ
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得
V y x V x V y y x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂++∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂22222222222211μϕϕ V y x V y x x y y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222222222222222112μϕϕ 简写为
V 2
4121∇---=∇μ
μϕ
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次的应力函数求解。

解：纯三次的应力函数为
3223dy cxy y bx ax +++=ϕ
相应的应力分量表达式为
dy cx xf y
x x 6222+=-∂∂=ϕσ, gy by ax yf x y y ρϕσ-+=-∂∂=2622, cy bx y x xy 222--=∂∂∂-=ϕ
τ
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

现在来考察，如果适当选择各个系数，
是否能满足应力边界条件。

上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，所以有
02)(0==-=bx y xy τ
对上端面的任意x 值都应成立，可见
0=b
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
06)(0==-=ax y y σ
对上端面的任意x 值都应成立，可见
0=a
因此，应力分量可以简化为
dy cx x 62+=σ，gy y ρσ-=，cy xy 2-=τ
斜面，αtan x y =，ααπsin 2cos -=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l ，()ααcos cos =-=m ，没有面力，所以有
()()⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=+==00
tan tan αατστσx y xy y x y yx x l m m l 由第一个方程，得
()0sin tan 6sin 4cos tan 2sin tan 62=--=-+-αααααααdx cx cx dx cx
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
0tan 64=--αd c
由第二个方程，得
0sin sin tan 2cos tan sin tan 2=-=-αρααααρααgx cx gx cx
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
0tan 2=-g c ρα（1分）
由此解得
αρcot 21g c =（1分），αρ2cot 3
1g d -= 从而应力分量为
αραρσ2cot 2cot gy gx x -=, gy y ρσ-=, αρτcot gy xy -=
设三角形悬臂梁的长为l ，高为h ，则l h
=αtan 。

根据力的平衡，固定端对梁的约束
反力沿x 方向的分量为0，沿y 方向的分量为glh ρ21
-。

因此，所求x σ在这部分边界上
合成的主矢应为零，xy τ应当合成为反力glh ρ2
1
-。

()()0cot cot cot 2cot 2
2020=-=-=⎰⎰=αραραραρσgh glh dy gy gl dy h
l x h
x
()
()glh gh dy gy dy h h
l x xy ραραρτ2
1cot 21cot 200-=-=-=⎰⎰= 可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角α，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1ρ，液体的密度为2ρ，试求应力分量。

：采用半逆解法。

首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。

取坐标轴如图所示。

在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与g 1ρ成正比（g 是重力加速度）
；另一
部分由液体压力引起，应当与g 2ρ成正比。

此外，每一
部分还与α，x ，y 有关。

由于应力的量纲是L -1MT -2，
g 1ρ和g 2ρ的量纲是L -2MT -2，α是量纲一的
量，而x 和y 的量纲是L ，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是
gx
A 1ρ，gy
B 1ρ，gx
C 2ρ，gy
D 2ρ四项的组合，而其中的A ，B ，C ，D 是量纲
一的量，只与α有关。

这就是说，各应力分量的表达式只可能是x 和y 的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x 和y 纯三次式，因此，假设
3223dy cxy y bx ax +++=ϕ
相应的应力分量表达式为
dy cx xf y
x x 6222+=-∂∂=ϕσ, gy by ax yf x y y 12226ρϕσ-+=-∂∂=, cy bx y x xy 222--=∂∂∂-=ϕ
τ
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

现在来考察，如果适当选择各个系数，
是否能满足应力边界条件。

左面，0=x ，1-=l ，0=m ，作用有水平面力gy 2ρ，所以有
gy dy x x 206)(ρσ=-=-=
对左面的任意y 值都应成立，可见
6
2g
d ρ-
=
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
02)(0==-=cy x xy τ
对左面的任意y 值都应成立，可见
0=c
因此，应力分量可以简化为
gy x 2ρσ-=，gy by ax y 126ρσ-+=，bx xy 2-=τ
斜面，αtan y x =，αcos =l ，ααπsin 2cos -=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=m ，没有面力，所以有
()()⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=+==00
tan tan αατστσy x xy y y x yx x l m m l 由第一个方程，得
0sin tan 2cos 2=+-αααρby gy
对斜面的任意y 值都应成立，这就要求
0sin tan 2cos 2=+-αααρb g
由第二个方程，得
()()0sin sin 4sin tan 6cos tan 2sin 2tan 611=+--=--+-y g b a by gy by ay αρααααααρα
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
04tan 61=+--g b a ρα
由此解得
αραρ321cot 3
1cot 61g g a -=，αρ22cot 21
g b =
从而应力分量为
gy x 2ρσ-=, ()()y g g x g g y 122321cot cot 2cot ραραραρσ-+-=, αρτ22cot gx xy -=
位移边界条件
对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下： 对称轴: 法线转角=0
固定边: 挠度=0 (或已知值)
边线转角=0 (或已知值) 法线转角=0 (或已知值) 简支边: 挠度=0 (或已知值)
边线转角=0 (或已知值)
计算图示四边固定方板
方板的边长为l ，厚度为t ，弹性模型量为E ，波松比μ=0.3，全板承受均布法向荷载ｑ，求薄板中的挠度和内力。

单元划分：
为了说明解题方法，采用最简单的网络2×2， 即把方板分成四个矩形单元。

由于对称性，只需计 算一个单元，例如，计算图中有阴影的单元，单元 的节点编号为１，２，３，４。

此时，单元的a, b 是
4
l b a =
= 计算节点荷载:
由前面的均布荷载计算公式得：
T l l l l l l l l ql R ] 21 12 12 12[192
}{2
----=
边界条件：
边界23和34为固定边，因此节点2, 3, 4的挠度、边线和法线转角均为零。

边界12和14为对称轴，因此θx1 =0、θy1 =0。

于是，在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求
的未知量1w 。

结构的代数方程组：
这是一个单元的计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵。

引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素。

于是结构的
代数方程为：16)681(1581582
1201120ql w l
D w k l D =-=μ
同此解出 0
4100148.0D ql w =。

其中 32
3
009158.0)1(12Et Et
D =-=μ 内力:
利用式(4-2-6)可求得方板中点力矩为：
由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案。

还可看出，位移的精度一般比内力的精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出的，而内力则是根据位移间接求出的。

第三章 平面问题有限单元法
习题答案
3-2图示等腰直角三角形单元，设μ=1/4，记杨氏弹性模量E ，厚度为t ，求形函数矩阵[N ]、应变矩阵[B ]、应力矩阵[S ]与单元刚度矩阵[K ]e 。

【解】：⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=-=-=-=-=-=-=i j m j i m i j j i m
m i j i m j m i i m j j m i m j i j m m j i x
x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a ,,,,,,
a
j(0,a)
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=-==-==-==-==-==-==-==-=a
a c a a
b a a a a a a
c b a a a c a a b a a m m m
j j j i i i 0,0,0*0*0,000,00**0000,0,0*00*02 []⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=m j
i
m j i
N N N N N N N 0
000 ),,()(21
m j i y c x b a A
N i i i i ++=
2210
01010121a a a A ==
[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
----=--=
--==
++==++=
y x a y x y x a y x a N a y x a ay ax a a N a
y ay x a N a x y ax a N m j i 0000001)(1)00(1)00(12222
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
--+-=
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
-----+-=
10003101310310
00131
0311103)411(241210
001
4
114104
1
1411)4121)(411()411()1(2210
00110
11)21)(1()1(E E E E D μμμ
μ
μμ
μμμ
[][]32
1
B B B B =
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=-==-==-==-==-==-==-==-=a
a c a a
b a a a a a a
c b a a a c a a b a a m m m
j j j i i i 0,0,0*0*0,000,00**00
00,0,0*00*02
[][][]
[][]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1101101010000100011111001101100011000011000010
0212a
B a B a B a a a a B b c c b A B m j i i i
i i
i
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10003101310E D []⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡----=1101101010000100011a B
[][][]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==110
11031300113100310110110101000010001100
03101310a E a
E B D S
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10003101310E D []⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----=1101101010000100011a B
[][][][]⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----==423111241113313001
110110
11011013100320211101101010000100011000310131101101010000100011022Et a t a E tA
B D B K T
T e
3-3正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元，μ=1/4，板厚为t ，求各节点位移与应力。

【解】：
[][][][]⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡----------------==423111241113313001
110
11011011013100320Et tA B D B K T e
[]⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=00000000
00000000003001310001101100011011001003130031114200111324
201Et
K []
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=
42
1
13100
24131100111
1
01303100031013000111001000000000000000000202
Et K [][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------------=
+=42
1
1310
24131100114
2
311304201131024011112004130031114200111324
202
1Et K K K 载荷向量：{}0000000P R =
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---------------------------------10014140040400420000000042
1
13100
24131100114
02
31130420
11310240
111120
04130031114200111324201
3344332211P v u Et P v u v u v u v u Et
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-10014140041
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧P Et P Et v u 0501001533 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧0050000044332211Et P v u v u v u v u []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10003101310E D []⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----=1101101010000100011a B []⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡----=01101110001000010111a B
[][]12B B -=
{}[][]⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=031201010003101325000000110111000100001011000310131033221111at P at P Et P a E v u v u v u B D σ {}[][]⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬
⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=100210010003101320050000110111000100001011000310131022334422at P at P Et P a E v u v u v u B D σ
3-4三角形单元i,j,m 的j ，m 边作用有如图所示线形分布面载荷，求结点载荷向量。

【解】：面力移置公式：{}[]{}⎰=
tds p N R T
e
其中：[]⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=m j
i
m j i
N N N N N N N 0
000 ),,()(21
m j i y c x b a A
N i i i i ++=
4
26,132,62*63*2352,426,26*22*5165,363,213*56*6=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-==-=m m m j j j i i i c b a c b a c b a
2134301402
21216513612
2121===
A
2
)
46(131
)342(131
)321(131
y x N y x N y x N m j i +--=-+-=--=
所以:
[]⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+---+----+---+---=y x y x y x y x y x y
x N 460342033004603420321131 载荷分布函数：{}⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧--+=0)6(3
)(121y q q q p 积分函数：])6,5[(21
3∈+-=x x y
{}dy y q q q y x y x y x y x y x y x t tds y q q q y x y x y x y x y x y x R e
310
0)6(3
)(4600463420034233003211310)6(3
)(46004634200342330032113112163121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+---+--+------=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+---+--+------=⎰⎰
{}dy y q q q y y y y t dy y q q q y y y y y y y y t R e ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+--+---+--=⎰⎰0)6(3)(133130013313263130026313000013*3100)6(3
)(4731600
4731
632834200
32834
2000013*3101216312163 {}()()dy y q q q q y y q q q q y t dy y q q q q y y q q q q y t R e ⎰⎰⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎨⎧-------+-=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧---⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=631212121263121212120))(36(*30))(36(*60027100)3)(2(*133130)3)(2(*263130013*310
()()()()126
323122126
3
126
3
121
26
3
23122126
3
1263
1292
9
2331
)(321)36(3)(3)36(29
9331)(621)36(6)(6)36(q q y y q q y y q q dy
y y q q dy y q q q q y y q q y y q q dy
y y q q dy y q q +=
⎪
⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----+=⎪
⎭⎫
⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+---+--⎰⎰⎰⎰
所以:
{}⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎪⎪⎪
⎪
⎭⎪⎪⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧---⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰0210210031002182902990027100)3)(2(*133130)3)(2(*263130013*3101212121263121
21212q q q q t q q q q t dy
y q q q q y y q q q q y t R e
3-5图示悬臂深梁，右端作用均布剪力，合力为P ，取μ=1/3，厚度为t ，如图示划分四个三角形单元，求整体刚度方程。

【解】：
1
3
5
246
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
--+-=
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-----+-=
1000420248410
0012
102112)311(231210
001
3
113103
1
1311)3121)(311()311()1(2210
00110
11)21)(1()1(E E E E D μμμ
μ
μμ
μμμ
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡=1000420248E D []⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=110110101000010001B
[][][][]⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==534112352114424002
110110
11011024200416211101101010000100011020410241101101010000100018Et t E tA
B D B K T
T e [][][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------====534112352114424002
110110
110110242004
164
321Et K K K K
[]⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----------------=00000
000000
0000000000000000000000000000000000000000400042020000010
011100000000
000000000000000000000410053
1200002100351400000
1001110000020
0024041K
[][][][]⎥
⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡----------------====5341
123521144240
2110110
110110242004164321Et K K K K
[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=
000000000000000000000000000000000000000000000000000010110001000004240020000012530041000014350021000000000000000000000000000002420040000010110001
162
Et K
[][]⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----------------=+000000000
000
0000000000000000000000000000000000000000800084040000020022200000000
00
00000000000000000820010624000042006102800000
20022200000400
048081612Et K K
[][]⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----------------=+8000
840
4
000200222000000000
000000000000000000820010624000042006102800000200
222
00
0004000480800000000
00
000000000000000000000000000000000000000000164
3Et K K
[][][][][]⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--------------------------------=
+++=8000
84
040000
02002220000000000000000000000000000082001862484044200612282220020022200000
40004808000000008200106240000420061028000002002220000040
004808
164
321Et K K K K K
算例2： 正方形薄板平面应力问题的求解
已知图示正方形薄板，沿其对角线承受压力作用，载荷沿厚度为均匀分布，P=20kN/m 。

设泊松比u=0，板厚t=1m ，求此薄板应力。

课本第42页3.7节计算结果如下： 变形：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡76.176.172.388.052.1252.32653321u u v u v v 应力：
)/(40.40.2088.021
m kN xy y x ⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡τσσ； )/(052.1276.122
m kN xy y x ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡τσσ； )/(08.372.388.023
m kN xy y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡τσσ； )/(32.172.3024
m kN xy y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡τσσ 1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比0ν=；单元的边长及结
点编号见图中所示。

求
(1) 形函数矩阵N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S (3) 单元刚度矩阵e K 1、解：
设图1所示的各点坐标为
点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0）
于是，可得单元的面积为 12
A =2
a ，及 (1) 形函数矩阵N 为
(7分)
1
2
3
a
a
12122121
(0a a )a
1
(00a )a 1
(a a 0)
a
N x y N x y N x y =
+-=++=-+ ；
[][]
12312
3 N N N ==N I I I N N N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为
(7分)
12a 010-a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，220010a a a 0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，32-a 0100a 0
-a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B ； []12
3=B B B B
12a 00-a a 11-a a 2
2E ⎡
⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，22000a a 1a 02E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，32-a 000a 10-a 2E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
S ；
[]
[]
123123 ==S D B B B S S S
(3) 单元刚度矩阵e K
(6分)
11
1213T 21
222331
32
333110211312011110014020200200020111001e Et tA ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎡⎤
--⎢⎥
⎢⎥===⎢
⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
K K K K B DB K K K K K K
2、图2（a ）所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为21/N m ，同
时在y 方向相应的两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。

设薄板材料的弹性模量为E ，泊松比0ν=。

试求
(1) 利用对称性，取图（b ）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形
状相同的直角三角形单元。

给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b ）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。

(2) 设单元结点的局部编号分别为i 、j 、m ，为使每个单元刚度矩阵e K 相同，试在图（b ）
中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵e K 。

(3) 计算等效结点荷载。

(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。

图1
3
①
②
③
④
2、解：
(1) 对称性及计算模型正确 (5分)
(2) 正确标出每个单元的合理局部编号
(3分)
(3) 求单元刚度矩阵e K (4分)
(4) 计算等效结点荷载 (3分)
(5) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。

(5分)
如图3.11所示的平面三角形单元，厚度t=1cm ，弹性模量E=2.0*105mpa ，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单元刚度矩阵K e 。

解：此三角形单元可得：
图2
y
x
2/N m
2
1/N m 2m
2m
2/N m
O
j m m m
m
i i
i
i
j j j 1N /m
2
1N /m 124
56
对 称 1011012020031214301201e Et --⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥
--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
K 对 称 123356322000026121006120146101620212v v u Et t v u u ⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦-⎢⎥
⎣⎦
2△=（10-2）*4=32，故有
a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）
a2=1/32*（4u1-4u2）
a3=1/32*（-8u1+8u3）
a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）
a5=1/32*（-4v1+4v2）
a6=1/32*（-8v1+8v3）
而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8
b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0
b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8
b10 b20 b30 -4 0 4 0 0
[B]=1/2△* 0 c10 c20 c3=1/32* 0 -8 0 0 8
c1b1c2b2c3b3 -8 4 0 8 0
1 γ0 1 0.3 0
[D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/0.91]* 0.3 1 0
0 0 (1-γ)/2 0 0 0.35
1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0
[S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25
0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0
1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7
0 4 -0.6 -4 0 0
[K]①=B T*D*B①*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7
-0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35
0 0 0.6 -1 -0.6 0
0.7 0 0.7 -0.35 0 0
1 0 0 0.6 -1 -0.6
0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35
0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7
[K]②=B T*D*B②*t*△={E/36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4
1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3
0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.5
3.12 求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内的应变和应力，求出主应力及方向。

若在单元jm边作
用有线性分布面载荷（x轴），求结点的的载荷
分量。

解：如图2△=64/3，解得以下参数：
a1=19 a2=-2 a3=6；b1=-3 b2=4 b3=-1；
c1=-1 c2=-3 c3=4；
N1={64/3}*(19-3x-y)
N2={64/3}*(-2-3x-3y)
N3={64/3}*(6-x+4y)
故N= N i0 N j0 N m0
0 N i0 N j0 N m
1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1
b i 0 b j 0 b m 0 [B]={1/2△}* 0
c i 0 c j 0 c m c i b i c j b j c m b m -3 0 4 0 -1 0 ={64/3}* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 γ 0 [D]={E/(1-γ2)}* γ 1 0 0 0 (1-γ)/2
1 γ 0 -3 0 4 0 -1 0 单元应力矩阵[S]=[D]*[B]= {E/13(1-γ2)}* γ 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4 0 0 (1-γ)/
2 -1 -
3 -3
4 4 -1 2 1.1 -3 -u 4 3u -1 4u 2.4 单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2 (u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2 2.4 1.4
3.13
解：二维单元在x,y 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵 180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化。

3.14 解：令1t =，1p =，而E 2.0e 011=+，1/3μ=，
2
10
1011002E
D μμμμ⎡
⎤⎢⎥⎢
⎥=
⎢⎥-⎢
⎥
-⎢⎥⎦⎣
12
31231122
3
300000
0b b b N c c c c b c b c b ⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎦⎣
2N
B A =
单元①
2.250.7500.752.250000.75D ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦①②
0.500.500001000010.500.510B ⎡-⎤⎢
⎥=-⎢⎥
⎢⎥
--⎦⎣①
-1.125-0.75 1.125000.751.0+011*-0.375-2.250.37500 2.25-0.75-0.37500.3750.750S e ⎡⎤
⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎦⎣①
S DB =
1.31250.75-0.5625
-0.375-0.75-0.3750.75
2.4375-0.375-0.1875-0.375-2.25-0.5625-0.3750.5625000.375*1.0011
-0.375-0.187500.18750.3750-0.75-0.37500.3750.750
-0.375-2.250.37500 2.25ke e ⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎦
⎣
①
单元②：
000.500.5
0B 01
0100101
0.5
00.5⎡-⎤
⎢
⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎦
⎣②
00.75 1.125
0.75 1.12500 2.250.375 2.250.3750*1.00110.750
0.75
0.375
0.375S e ⎡--⎤⎢
⎥=--⎢⎥⎢⎥⎦
⎣②
0.7500.750.37500.3750
2.250.375 2.250.37500.750.3751.31250.750.56250.3750.375 2.250.75
2.43750.3750.187500.3750.56250.37510.562500.3750
0.3750.187500.1875ke ⎡--⎤
⎢
⎥---⎢⎥⎢⎥---=⎢
⎥----⎢⎥⎢⎥----⎢
⎥--⎢⎦⎣②
由ke ①和ke ②
扩充KZ （总刚度阵）
1.31250.750.56250.3750.750.375000.75
2.43750.3750.18750.375 2.25000.56250.3751.312500.75000.3750.3750.18750 2.43750 2.250.37501.01011*
0.750.3750.750 2.06250.750.56250.3750.375 2.250kz e ------------=+--------2.250.75 4.68750.3750.18750000.3750.56250.3750.56250000.37500.3750.187500.1875⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎢⎥⎦⎣
而Re .kz qe =，其中
1
1
2
211
Re 0022
Rx Ry Rx Ry '
⎡
⎤=--
⎢⎥
⎣⎦，
[]1
122
0000qe x y x y '
=，化简得：
112201.312500.7500.11310 2.43750 2.250.596820.750 2.06250.7500.19470
2.250.75
4.687510.42432x y x y ⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
则，
11220.56250.375
0.750.3750.11130.148100.18750.375 2.250.59680.95170.750.3750.56250.3750.19470.17420.37500.3750.18750.42430.0482Rx Ry Rx Ry ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3.15如图所示有限元网格，cm a 4=，单元厚度mm t 1=，弹性模量
MPa E 5
100.2⨯=，泊松比3.0=μ。

回答下述问题：
（1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小？
（2）如何设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动？ （3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵。

（4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤。

(1) (2) （3） 解：1、节点编号如图(2)所示；
2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动；
3、如图(2)所示各节点的坐标为(以m 为单位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12)
解：单元号 1 2 3 4 5 6 相邻结点 1 3 4 5 5 7 2 2 5 4 6 6 3 4 3 6 7 8
对于单元号1：
04
.0321-=-=y y b ；
04
.0132=-=y y b ；
213=-=y y b ；
08
.0231-=-=x x c ；
312=-=x x c ；
08
.0123=-=x x c ；
对于单元号2：
04
.0423-=-=y y b ；
342=-=y y b ；
04
.0234=-=y y b ；
243=-=x x c ；
08
.0432-=-=x x c ；
08
.0324=-=x x c ；
对于单元号3：
04
.0354=-=y y b ；
435=-=y y b ；
04
.0543-=-=y y b ；
534=-=x x c ；
08
.0345=-=x x c ；
08
.0453-=-=x x c ；
对于单元号4：
04
.0645-=-=y y b ；
564=-=y y b ；
04
.0456=-=y y b ；
465=-=x x c ；
08
.0654-=-=x x c ；
08
.0546=-=x x c ；
对于单元号5：
04
.0765-=-=y y b ；
04
.0576=-=y y b ；
657=-=y y b ；
08
.0675-=-=x x c ；
756=-=x x c ；
08
.0567=-=x x c ；
对于单元号6：
04
.0867-=-=y y b ；
786=-=y y b ；
04
.0678=-=y y b ；
0687=-=x x c ；
08.0876-=-=x x c ；
08
.0768=-=x x c ；
平面三角形单元的面积均为
1
1
12=∆
32
1x x x 2
3
21
0032.0m y y y =
弹性矩阵均为
⎢⎢
⎢⎣⎡-=0112μμE D 01μ ⎥⎥⎥⎦⎤-2/)1(00μ⎢⎢⎢⎣⎡⨯=0
3.01
91.0100.211 01
3.0 ⎥⎥⎥⎦⎤
35.000
应变矩阵
⎢⎢⎢⎣⎡∆===11)
5()3()1(021c b B B B 110b c 220c b 22
0b c 330c b ⎥⎥⎥⎦⎤330b c ⎢⎢⎢⎣⎡--=2505.12 5.12250-- 0
05.12 5.1200 2500 ⎥⎥
⎥⎦⎤
0250
⎢⎢⎢⎣⎡∆===33)
6()4()2(021c b B B B 330b c 220c b 220b c 440c b ⎥⎥⎥⎦⎤440b c ⎢⎢⎢⎣⎡-=005.12 5.1200- 2500- 0250- 2505.12
⎥⎥⎥⎦⎤
5.12250 应力矩阵
)1()5()3()1(B D S S S ⋅===。