2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习高考大题专项三 高考中的数列Word版含解析

高考大题专项三高考中的数列
1.(2018山西吕梁一模,17)已知{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b1=2,b2=5,且
a n
b n+1=a n b n+a n+1.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求数列{b n}的前n项和.
2.(2018福建龙岩4月质检,17)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N+).
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=lg a n,求数列{a n+b n}的前n项和T n.
3.(2018北京海淀期末,15)已知等差数列{a n}的前n项和S n,且a2=5,S3=a7.
(1)数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=,求数列{a n+b n}的前n项和.
4.(2018河北唐山一模,17)已知数列{a n}为单调递增数列,S n为其前n项和,2S n=+n.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)若b n=,T n为数列{b n}的前n项和,证明:T n<
5.(2018湖南衡阳二模,17)等差数列{a n}中,a3=1,a7=9,S n为等比数列{b n}的前n项和,且b1=2,若4S1,3S2,2S3成等差数列.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)设c n=|a n|·b n,求数列{c n}的前n项和T n.
6.已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=(m+1)-ma n对任意的n∈N+都成立,其中m为常数,且m<-1. (1)求证:数列{a n}是等比数列;
(2)记数列{a n}的公比为q,设q=f(m),若数列{b n}满足b1=a1,b n=f(b n-1)(n≥2,n∈N+).求证:数列是等
差数列;
(3)在(2)的条件下,设c n=b n·b n+1,数列{c n}的前n项和为T n,求证:T n<1.
7.(2018宿州十三所中学期中,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,并且满足a1=1,na n+1=S n+n(n+1). (1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求T n;
(3)在(2)的条件下,是否存在常数λ,使得数列为等比数列?若存在,试求出λ;若不存在,说明理由.
参考答案
高考大题专项三高考中的数列
1.解 (1)把n=1代入已知等式得a1b2=a1b1+a2,∴a2=a1b2-a1b1=3a1.
∴{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,即a n=3n-1.
(2)由已知得b n+1-b n==3,
∴{b n}是首项为2,公差为3的等差数列,其通项公式为b n=3n-1,
∴S n===.
2.解 (1)由S n=2a n-1(n∈N+),可得S1=2a1-1,
∴a1=2a1-1,∴a1=1.
又S2=2a2-1,
∴a1+a2=2a2-1,
∴a2=2.
∵数列{a n}是等比数列,
∴公比q==2,
∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.
(2)由(1)知,b n=lg a n=(n-1)lg 2,
∴T n=(b1+a1)+(b2+a2)+…+(b n+a n)=(0+1)+(lg 2+2)+…+[(n-1)lg 2+2n-1]=[lg 2+2lg 2+…+(n-1)lg
2]+(1+2+…+2n-1)=lg 2+2n-1.
3.解 (1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则解得a1=3,d=2.
由a n=a1+(n-1)d,则a n=2n+1.
因此,通项公式为a n=2n+1.
(2)由(1)可知:a n=2n+1,
则b n=22n+1,==4.
因为b1=23=8,所以{b n}是首项为8,公比为q=4的等比数列.
记{a n+b n}的前n项和为T n,则
T n=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a n+b n)=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)=+=n2+2n+
.
4.(1)解当n=1时,2S1=2a1=+1.
所以(a1-1)2=0,即a1=1.
又{a n}为单调递增数列,所以a n≥1.
由2S n=+n得2S n+1=+n+1,
所以2S n+1-2S n=-+1,
整理得2a n+1=-+1,
即=(a n+1-1)2,
所以a n=a n+1-1,即a n+1-a n=1,
所以{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n=n.
(2)证明因为b n===-,
所以T n=-+-+…+-=-
<.
5.解 (1)在等差数列{a n}中,设公差为d,则a7-a3=4d=9-1=8,故d=2,
∴a n=a3+(n-3)d=1+2(n-3)=2n-5.
设等比数列{b n}的公比为q,依题意有:6S2=4S1+2S3,故q=2,∴b n=2n.
(2)∵c n=|2n-5|·2n.
当n=1时,T1=6,
当n=2时,T2=10,
当n≥3时,2n-5>0,
T n=10+1×23+3×24+…+(2n-7)2n-1+(2n-5)2n,①
2T n=20+1×24+3×25+…+(2n-7)2n+(2n-5)2n+1,②
由①-②,得-T n=-10+8+2(24+…+2n)-(2n-5)2n+1,
∴T n=34+(2n-7)2n+1.。