湖北省襄阳五中高考数学5月模拟试卷 理(含解析)

湖北省襄阳五中2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U=R，集合，则（∁U A）∩B=
（）
A．（0，+∞）B．（0，1] C．（1，+∞）D．（1，2）
2．（5分）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）
A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i
3．（5分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）
A．π+24B．π+20C．2π+24D．2π+20
4．（5分）下列四个结论中正确的结论个数是（）
①命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．
②设，是两个非零向量，则“∥”是“•=||•||”成立的充分不必要条件．
③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．
④设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，回归方程为
=0.85x﹣85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg．A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）
A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）
6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．B．C．D．
7．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（5分）若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是（）
A．10 B．11 C．13 D．14
9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的
圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）
A．3 B．2 C．D．
10．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x 的函数g（x）=f（x）+的零点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11-14题）
11．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．
12．（5分）设 n=10sinxdx，则（﹣）n展开式中的常数项为（用数字作答）
13．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值．假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈（用分数表示）．
14．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
{b n}，可以推测：
（Ⅰ）b2014是数列{a n}中的第项；
（Ⅱ） b2n﹣1=．（用n表示）
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）【选修4-1：几何证明选讲】
15．（5分）如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥B D，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
16．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，则两曲线交点间的距离是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在锐角△ABC中，=
（1）求角A；
（2）若a=，求bc的取值范围．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有na n+1=2S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列{b n}的前n项之和为T n，求证：．
19．（12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各
轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
20．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．
21．（13分）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b
截得的线段长等于C1的长半轴长．
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．
22．（14分）设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．
（1）求常数b的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：（）10000.4＜e＜（）1000.5．
湖北省襄阳五中2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U=R，集合，则（∁U A）∩B=
（）
A．（0，+∞）B．（0，1] C．（1，+∞）D．（1，2）
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：根据指数函数和对数函数确定出A与B，根据全集U=R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．
解答：解：由对数函数的定义得：x﹣1＞0，即x＞1，
∵全集U=R，∴∁U A=[（﹣∞，1]，
由指数函数的图象和性质得y＞0，
∴B=（0，+∞），
则（∁U A）∩B=（0，1]．
故选：B．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）
A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z的共轭复数可求．
解答：解：由z=|（﹣i）i|+i5=，
得：．
故选：A．
点评：本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．
3．（5分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）
A．π+24B．π+20C．2π+24D．2π+20
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，即可求出该器皿的表面积．
解答：解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，
s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，
故s=s1+s2=π+24
故选：A．
点评：由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征．
4．（5分）下列四个结论中正确的结论个数是（）
①命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．
②设，是两个非零向量，则“∥”是“•=||•||”成立的充分不必要条件．
③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．
④设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，回归方程为
=0.85x﹣85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：①利用逆命题的定义可知
②“∥”说明共线，“•=||•||”说明同向．
③关键看调查的对象是否存在明显的分层情况．
④对于线性回归直线方程，每增加一个x，大约增加0.85．可判断
解答：解：对于①命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．正确．
对于②“∥”说明共线，“•=||•||”说明同向．∴“∥”是
“•=||•||”成立的必要不充分条件．错．
对于③某学校有男、女学生各500名．因为抽取的人明显分男女两层次的人，则宜采用的抽样方法是分层抽样．正确
对于④设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，回归方程为=0.85x﹣85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加
0.85kg．符合线性回归直线的定义，正确．
故选：C．
点评：本题主要考查了逆命题的定义，向量共线条件，分层抽样的定义，线性回归直线的有关知识，属于简单题型．
5．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）
A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标．
解答：解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（3，﹣1）．
∵（+）∥，⊥（+），
∴2（y+2）=﹣3（x+1），3x﹣y=0．
∴x=﹣，y=﹣，
故选D
点评：本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．
6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．B．C．D．
考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
解答：解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
7．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
分析：由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．
解答：解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．
又，
则b50=2．
∴，
当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．
故选：B．
点评：本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
8．（5分）若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是（）
A．10 B．11 C．13 D．14
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答：解：由约束条件作出可行域如图，
当x≥0时，z=|x|+2y化为y=﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系，
当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，z max=1+2×5=11；
当x＜0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，
当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，z max=4+2×5=14．
∴z=|x|+2y的最大值是14．
故选：D．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的
圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）
A．3 B．2 C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出圆心到直线的距离，利用以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，求出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．
解答：解：由题意，圆心到直线的距离为d==，
∵以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，
∴2=a，
∴2（c4﹣a2b2）=3a2c2，
∴2c4﹣2a2（c2﹣a2）=3a2c2，
∴2e4﹣5e2+2=0，
∵e＞1，
∴e=．
故选：D．
点评：熟练掌握双曲线的性质和圆中弦长的计算、离心率计算公式是解题的关键．10．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x 的函数g（x）=f（x）+的零点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点：根的存在性及根的个数判断；导数的运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：令=0得f（x）=﹣，即xf（x）=﹣1，然后利用导数研究函数xf（x）的单调性和极值，即可得到结论．
解答：解：令=0，得f（x）=﹣，
即xf（x）=﹣1，即零点满足此等式
不妨设h（x）=xf（x），则h'（x）=f（x）+xf'（x）．
∵当x≠0时，，
∴当x≠0时，，
即当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（0）=0，
∴h（x）≥0，
∴h（x）=﹣1无解，即xf（x）=﹣1无解
即函数的零点个数为0个．
故选：A
点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．
二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11-14题）
11．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：算法的功能是求S=1+++…+的值，计算不满足条件S＜的最小S的值，可得答案．
解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+++…+的值，
∵S=1+++=＜满足条件，S=1++++=＞不满足条件．
∴输出S=．
故答案为：．
点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．12．（5分）设 n=10sinxdx，则（﹣）n展开式中的常数项为210（用数字作答）
考点：二项式定理的应用；定积分．
专题：导数的综合应用；二项式定理．
分析：根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．
解答：解：∵n=10sinxdx=﹣10cosx=﹣10（cos﹣cos0）=10，
∴展开式中
通项T r+1=••=（﹣1）r••，
令5﹣=0，
解得r=6，
∴展开式中的常数项为
T6+1=（﹣1）6•==210．
故答案为：210．
点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了简单定积分的计算问题，是基础题目．
13．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值．假如统计结果是m=34，那么可以估
计π≈（用分数表示）．
考点：模拟方法估计概率．
专题：应用题；概率与统计．
分析：由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积
为﹣，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
解答：解：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y），满足，面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，
因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=34，
所以=﹣，所以π==．
故答案为：．
点评：本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．
14．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
{b n}，可以推测：
（Ⅰ）b2014是数列{a n}中的第5035项；
（Ⅱ） b2n﹣1=5n（5n﹣1）．（用n表示）
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：先归纳出数列a n=，然后写出：
b1=a4，b2=a5，
b3=a9，b4=a10，
b5=a14，b6=a15，
…
再归纳出b2n=a5n，b2n﹣1=a5n﹣1．
解答：解：显然a n=，数列a n中是5的倍数要么n+1是5的倍数，要么n是5的
倍数，
b1=a4，b2=a5，
b3=a9，b4=a10，
b5=a14，b6=a15，
…
∴b2n=a5n，b2n﹣1=a5n﹣1，
∴b2014是数列{a n}中的第2014÷2×5=5035项．
∴b2n﹣1=．
点评：本题主要考查归纳推理的思维能力．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）【选修4-1：几何证明选讲】
15．（5分）如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是2．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：立体几何．
分析：连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．
解答：解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，
∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，
∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，
又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．
由PD=1，得BD=2PD=2．
在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，
∴圆O的半径为2．
故答案为：2．
点评：本题考查了圆的弦切角定理及直角三角形的有关性质等，解题的突破口是得到∠BDP 与∠PBD的2倍关系．应记住一些常用的结论，如
（1）弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
（2）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
（3）同弧（或等弧）所对的圆周角相等．
（4）90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是90°．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
16．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，则两曲线交点间的距离是．
考点：参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：分别化为直角坐标方程，联立得出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：曲线C1的参数方程是，消去参数t化为y2﹣x2=4．
曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，+=1，∴x+y=2．
联立，解得，，
∴两曲线交点间的距离==4．
故答案为：4．
点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线交点坐标、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在锐角△ABC中，=
（1）求角A；
（2）若a=，求bc的取值范围．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．
分析：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A 的值．
（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc的取值范围．
解答：解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，
，
∴sin2A=1且，
（2），
又，
∴b=2sinB，c=2sinC，
bc=2sin（135°﹣C）•2sinC=，
，
∴．
点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有na n+1=2S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列{b n}的前n项之和为T n，求证：．
考点：数列的求和；数列的应用．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）法一：由na n+1=2S n，得当n≥2时，（n﹣1）a n=2S n﹣1，所以na n+1﹣（n﹣1）a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，故na n+1=（n+1）a n，由此能求出a n．
法二：由na n+1=2S n及a n+1=S n+1﹣S n，得nS n+1=（n+2）S n，故，由此能求出a n．（Ⅱ）依题意得，由此能够证明．
解答：解：（Ⅰ）解法一：由na n+1=2S n①
得当n≥2时，（n﹣1）a n=2S n﹣1②，
由①﹣②可得，na n+1﹣（n﹣1）a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，
所以na n+1=（n+1）a n，
即当n≥2时，，
所以，
将上面各式两边分别相乘得，，
即（n≥3），
又a2=2S1=2a1=2，所以a n=n（n≥3），
此结果也满足a1，a2，
故a n=n对任意n∈N+都成立．…（7分）
解法二：由na n+1=2S n及a n+1=S n+1﹣S n，
得nS n+1=（n+2）S n，
即，
∴当n≥2时，（此式也适合S1），
∴对任意正整数n均有，
∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（此式也适合a1），
故a n=n．…（7分）
（Ⅱ）依题意可得
∴．…（13分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
19．（12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各
轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，ξ=i表示前i﹣1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可．
解答：解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A i（i=1，2，3），则，，．
∴该选手被淘汰的概率
=
==．
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3.，
=，
P（ξ=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=．
∴ξ的分布列为
∴=．
点评：本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．
20．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．
考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题．
专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；
（2）建立直角坐标系，设，求出平面AMD、平面AME的一个法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角E﹣AM﹣D的余弦值为，即可得出结论．
解答：（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，
∴AM=BM=，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD⊂平面ADM
∴AD⊥BM；
（2）建立如图所示的直角坐标系，设，
则平面AMD的一个法向量，
，
设平面AME的一个法向量为，
取y=1，得，所以，
因为
求得，所以E为BD的中点．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键．
21．（13分）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b
截得的线段长等于C1的长半轴长．
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．
考点：圆锥曲线的综合．
专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．
分析：（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；
（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k MA•k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；
（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．
解答：解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，
故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．
（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，
由得x2﹣kx﹣1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），
所以
k MA•k MB=====
﹣1．
故MA⊥MB，即MD⊥ME．
（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．
由，解得或．
则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．
又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．
于是s1=|MA|•|MB|=•|k1|••|﹣|=．
由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．
解得或，，则点D的坐标为（，）．
又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．
于是s22=|MD|•|ME|=．
故=，解得k12=4或k12=．
又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．
点评：本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．
22．（14分）设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．
（1）求常数b的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：（）10000.4＜e＜（）1000.5．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（1）对f（x）求导，根据条件知f′（0）=0，即可求常数b的值；
（2）f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1，f″（x）=﹣，分类讨论，确定函数的
单调性，即可求实数a的取值范围；
（3）对要证明的不等式等价变形如下：（）10000.4＜e＜（）1000.5．所以可以考虑证明：对于任意的正整数n，不等式＜e＜恒成立．
解答：（1）解：对f（x）求导得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，
根据条件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，
所以b=1．（3分）
（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1
f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1
f″（x）=﹣．
①当a≤﹣时，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[0.1]上单调递增，从而f′
（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；
②当a≥0时，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[0.1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；
③当﹣＜a＜0时，令，当0≤x≤m时，f″（x）＜0，于是f′（x）
在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，
即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．
综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（8分）
（3）证明：对要证明的不等式等价变形如下：（）10000.4＜e＜（）1000.5．
所以可以考虑证明：对于任意的正整数n，不等式＜e＜恒成立．并且继续作如下等价变形
对于（p）相当于（2）中a=﹣∈（﹣，0），情形，有f（x）在[0，]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．
取x=，当n≥2时，（p）成立；
当n=1时，（p）成立．
从而对于任意正整数n都有（p）成立．
对于（q）相当于（2）中a=﹣情形，对于任意x∈[0，1]，恒有f（x）≥f（0）而且仅有f （0）=0．
取x=，得：对于任意正整数n都有（q）成立．
因此对于任意正整数n，不等式＜e＜恒成立．
这样依据不等式＜e＜，再令n=10000利用左边，令n=1000利用右边，即可得到（）10000.4＜e＜（）1000.5成立．（12分）
点评：本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况．本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求．。