专题04 最值问题(专题+课件)-中考数学高分突破(课件)

问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小．
方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连结 A′B 交 l 于点 P，则
PA+PB=A′B 的值最小（不必证明）．
模型应用：（1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，
P 是 AC 上一动点．连结 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC
的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围；
(3)是否存在这样的时刻，使动点 D
到点 O 的距离最小，若存在请求出这个 48
最小距离，若不存在说明理由．
15
达标检测
1．如图，在平面直角坐标系中，分别以点 A（2，3），B（3， 4）为圆心，以 1，3 为半径作⊙A，⊙B，点 M，N 分别是⊙A，
⊙B 上的动点，P 为x 轴上的动点，则 PM+PN 的最小值为（ A ）
求点 P(2，0)到直线 y＝kx＋m 的距离的最大时直线 y
＝kx＋m 的解析式.
y＝－2x＋9
中考回顾
1．（2016 浙江台州卷）定义：有三个内角相等的四边形叫三 等角四边形．
（1）三等角四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C，求∠A 的取值
范围； 60°＜∠A＜120°
（2）如图，折叠平行四边形纸片 DEBF，使顶点 E，F 分别 落在边 BE，BF 上的点 A，C 处，折痕分别为 DG，DH．求证： 四边形 ABCD 是三等角四边形．
时间为 t 秒，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为 C，把△ACP 沿 AP 对折，使
点 C 落在点 D 处.
(1)求抛物线的解析式； y
1 x2 1 x 2 42
(2)当点 D 在△ABP 的内部时，△ABP 与
S=－t 2+5t(0＜t＜4)
△ADP 不重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 之间
4
（3）若点 B 是抛物线与 x 轴的另 一定点，点 D、M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AC 上，∠DCB=∠CDB，CD 是 MN 的垂直平分线，求点 M 的坐标．
( 3 , 0) 2
值为（B ）
A．2 B．2 3 C．4 D．2 3 +2
应用提高
3．△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，BD=3，CD=1，AD=2， P、Q、R 分别是 BC、AB、AC 边上的动点，则△PQR 周长的
最小值为 32 65 ． 65
应用提高
4．几何模型：条件：如图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点．
y=﹣2x+340（20≤x≤40）
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为 W 元，求 W 的最大值．
5200元
中考回顾
4．（2016 湖北宜昌卷）在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D
是△ABC 内部或 BC 边上的一个动点（与 B、C 不重合），以 D 为顶
点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比 k＞1），EF∥BC．
y
1 2
x
2
与直线
l
平行，则
两直线距离为___6__5____.
5
(2) 已知点 P 为抛物线 y＝x2－4x 的 x 轴上方一点，
且点
P
到直线
l：
y
1 2
x
1
的距离为
2
5 ，求点 P 的
坐标.
(9 145 , 41 145 )
4
8
(3) 若直线 y＝kx＋m 与抛物线 y＝x2－4x 相交于
x 轴上方两点 A、B（A 在 B 的左边），且∠AOB＝90°，
轴于点 C，过 A，C 两点的二次函数 y ax2 4x c 的图象交 x 轴于另一
பைடு நூலகம்
点 B．
（1）求二次函数的表达式； y x2 4x 5
（2）连接 BC，点 N 是线段 BC 上的动点，作 ND⊥x 轴交二次
函数的图象于点 D，求线段 ND 长度的最大值； 25
4
（3）若点 H 为二次函数 y ax2 4x c 图象的
中考数学
专题四：最值问题
试题探究
最值问题
在题中往往会出现“最大”、“最小”、“最多”、 “最少”、“最长”、“最短”等字样.
重点
压轴题
难点
解法技巧
最值问题
几何最值问题
代数最值问题
两点之间线段最短 垂线段最短 三角形两边之和大于第三边
……
一次函数的性质 二次函数的性质
……
典例引领
例 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 D 是 BC 边上一
9 7
应用提高
1．⊙O 是半径为 1 的圆，点 O 到直线 L 的距离为 3，过直
线 L 上的任一点 P 作⊙O 的切线，切点为 Q；若以 PQ 为边作
正方形 PQRS，则正方形 PQRS 的面积最小为（ B ）
A．7
B．8
C．9
D．10
应用提高
2．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点 P，Q， K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小
两个二次函数的最大值之和等于（ A ）
A． 5
C．3
B． 4 5 3
D．4
达标检测
4．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸
片折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE，此时 PD=3．
（1）求 MP 的值； 5
（2）在 AB 边上有一个动点 F，且不与点 A，B 重合．当 AF
动点，过点 B 作 BE⊥AD 交 AD 的延长线于 E．若 AC=6，
DE BC=8，则 AD 的最大值为（ B ）
1 A. 2
1 B. 3
3 C. 4
2
D. 2
典例引领
例 2．在平面直角坐标系中,
(1)
取点 M(1，0)，则点 M 到直线 l：
y
1 2
x
1的
距离为_____55____，取直线
顶点，点 M（4，m）是该二次函数图象上一点，
在 x 轴、y 轴上分别找点 F，E，使四边形 HEFM
的周长最小，求出点 F，E 的坐标．
F (13 , 0); E(0,13)
7
3
中考回顾
3．（2016 云南卷）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销 售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克 20 元的草莓，规定试销期 间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克 40 元，经试销发现，销 售量 y（千克）与销售单价 x（元）符合一次 函数关系，如图是 y 与 x 的函数关系图象． （1）求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式）
（1）求∠D 的度数； 90°
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形 AGDH．
①如图 1，连接 GH、AD，当 GH⊥AD 时，请判断四边形 AGDH
的形状，并证明； 四边形AGDH为正方形
②当四边形 AGDH 的面积最大时，过 A 作 AP⊥EF 于 P，且
AP=AD，求 k 的值．
k 49 24
是 OA、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
10 2
应用提高
5．已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（0，4）、E（0，
－2）两点，与 y 轴交于点 B（2，0），连结 AB.过点 A 作直线 AK⊥AB，
动点 P 从点 A 出发以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AK 运动，设运动
对称．连结 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 5 ；
（2）如图 2，⊙O 的半径为 2，点 A、B、C 在⊙O 上，OA⊥OB，∠
AOC=60°，P 是 OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值； 2 3
（3）如图 3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别
A 同学：因为 y＝ 100 x2 ，所以 S△DBE＝12x 100 x2 ，求这个函数的
最大值即可． B 同学：我们知道 x2＋y2＝100，借助完全平方公式可求 S△DBE＝12xy 的
最大值
达标检测
C 同学：△DBE 是直角三角形，底 BE＝10，只要高最大，S△DBE 就最 大，我们先将所有满足 BE＝10 的直角△DBE 都找出来，然后在其中寻找 高最大的△DBE 即可．
（1）请选择 A 同学或．者．B 同学的方法，完成解题过程． （2）请帮 C 同学在图③中画出所有满足条件的点 D，并标出使△DBE 面积最大的点 D1．（保留作图痕迹，可适当说明画图过程） 【解决问题】 根据对特殊情况的探究经验，请在图①中画出面积最大的梯形 ABCD 的顶 点 D1，并直接写出梯形 ABCD 面积的最大值．
达标检测
6．如图，抛物线 y ax2 bx c为 x 轴的一交点为 A（﹣6，0），与 y 轴的交点为 C（0，3），且经过点 G（﹣2，3）．
（1）求抛物线的表达式； y 1 x2 1 x 3
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（2）点 P 是线段 OA 上一动点，过 P 作平行于 y 轴的直线与 AC 交于点 Q，设△CPQ 的面积为 S，求 S 的最大值； 9
等于多少时，△MEF 的周长最小？
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（3）若点 G，Q 是 AB 边上的两个动 11
点，且不与点 A，B 重合，GQ=2．当四边
形 MEQG 的 周 长 最 小 时 ， 求 最 小 周 长
值．（计算结果保留根号）
75 5
达标检测
5．【提出问题】 如图①，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AC、BD 交于点 E，∠BEC＝n°， 若 AD＝a，BC＝b，则梯形 ABCD 的面积最大是多少？ 【探究过程】 小明提出：可以从特殊情况开始探究，如图②，在梯形 ABCD 中，AD//BC， AC⊥BD，若 AD＝3，BC＝7，则梯形 ABCD 的面积最大是多少？ 如图③，过点 D 做 DE//AC 交 BC 的延长线于点 E，那么梯形 ABCD 的 面积就等于△DBE 的面积，求梯形 ABCD 的面积最大值就是求△DBE 的面 积最大值．如果设 AC＝x，BD＝y，那么 S△DBE＝12xy． 以下是几位同学的对话：
A． 5 2 4 B． 17 1 C． 6 2 2 D． 17
达标检测
2．如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，则下列说
法正确的是（ B ）
A．主视图的面积最大 B．俯视图的面积最大 C．左视图的面积最大 D．三个视图面积一样大
达标检测
3．如图，已知点 A（4，0），O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A），过 P、O 两点的二次函数 y1 和 过 P、A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分 别为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D．当 OD=AD=3 时，这
（3）三等角四边形 ABCD 中，∠A= ∠B=∠C，若 CB=CD=4，则当 AD 的长为 何值时，AB 的长最大，其最大值是多少？ 并求此时对角线 AC 的长．
当AD=2时，AB的长最大，最大值是5，此时AC= 31
中考回顾
2．（2016 贵州贵阳卷）如图，直线 y=5x+5 交 x 轴于点 A，交 y
中考回顾
5．（2016 浙江绍兴卷）课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图 1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作 窗框的材料总长为 6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35m 时，透光面积最大值 约为 1.05m2． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如 图 2，材料总长仍为 6m，利用图 3，解答下列问题： 5 （1）若 AB 为 1m，求此时窗户的透光面积？ 4 （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值 有没有变大？请通过计算说明．