数学(文)一模答案

天津市五区县2015年高三质量调查试卷（一）
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
（1~4）ACBC （5~8） DDBA 二、填空题 （9）3（10）83（11）116（12）(1,2)-（13）1()sin()26g x x π=+（14）1
(,1)e
或a =0 三、解答题
（15）解：（I ）在[50,60)内的频数为8，则
8
0.16n
=，即50n =.…………………2分 21
0.0045010
y =
⨯=，0.10.040.0160.010.0040.03x =----=. ……6分 （II ）由（I ）知，在[80,90)之间的有5人，分别记为12345,,,,A A A A A ，[90,100]之间的2人，分别记为12,B B .……………………………8分
从[80,100]中随机抽取2人的基本事件空间Ω={121314151112,,,,,A A A A A A A A A B A B ，
232425212234353132454142515212
,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ,}，共21个基本事件. ……………………………10分
设事件A =“抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]”，则A 所包含的基本事件为：1121314151122232425212,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B 共有11个，………12分
所求事件的概率为11
21
P =
.……………………………13分 （16）解：（I ）由正弦定理得2cos cos sin 2sin cos sin --=
C A A C
B B
，…………2分 即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos -=-A B C B C B A B ，所以cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin +=+A B A B C B C B ，
sin()2sin()+=+A B C B ，…5分
而A B C π++=，则sin 2sin =C A ，即
sin 2sin =C A ，所以2=c
a
. ………………7分 （II ）因为2=c a 及2cos 3B =，所以22222227
2cos 5433
b a
c ac B a a a =+-=-⋅=，
即b =
，……………………………10分 因为在ABC ∆中2cos 3
B =
，
则sin B =，
由2
1sin 2∆===ABC S ac B a 求
得2=
a
，所以6
b =分 （17）解：（I ）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，CB ⊂平面ABCD ，平面
ABCD 平面ABEF =AB ，∴
CB ⊥平面ABEF .…………2分
∵AF ⊂平面ABEF ，∴CB ⊥AF . 又∵AF BF ⊥，CB BF =B ，CB ⊂平面CBF ，BF ⊂平面CBF ， ∴AF ⊥平面CBF . …………4分
（II ）设DF 的中点为N ，连接MN ，则MN ∥CD ，MN =1
2
CD . 又∵AO ∥CD ，AO =
1
2
CD ，∴MN ∥AO ，MN =AO ，∴MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ………6分
又∵AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF .…………8分 （III ）因为AF ⊥平面CBF ，ABEF 为梯形，
且AB ⊥CB ，BF 是AB 在平面CBF 内的射影，故BF ⊥CB ，ABF ∠为二面角D BC F --的平面角，故ABF ∠=60.……9分
又因为AB =2，所以1BF EF ==且BFE ∠=60，故BFE
∆为等边三角形，取BF 的中点H ，连接EH ，MH ，
由（I ）知CB ⊥平面ABEF ，CB ⊂平面CBF ，故平面CBF ⊥平面ABEF ，
所以EH
⊥平面CBF ，MH 为直线EM 在平面CBF 上的射影，所以EMH ∠为直线EM 与平面CBF 所成的角， …………11分
在Rt EMH
∆中，2EH =
，1122
MH BC ==，tan EH EMH MH
∠==，故直线EM 与平面CBF 分 （18）解：（I ）设l 的方程为1
(1)2
-
=-y k x
，即22120-+-=kx y k ；………1分
=，解得1
2=-k ，即:220+-=l x y (4)
分
令0=x ，得1=y ；令0=y ，得2=x ，
即2,1a b ==，所以椭圆1C 的方程为2
214
x y +=.………7分 （II ）两椭圆的离心率相等，且2C 以1C 的长轴为短轴，则2C ：
22
1416
x y +=.……9分
因为2OB OA =，即,,O A B 三点共线，而且直线AB 的斜率k 存在，其方程设为
y kx =（0k ≠），并设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =分别代入22
14x y +=与221416
x y +=可得，2
2
12
22
416,144x x k k =
=++；………11分 又2OB OA =，所以22214x x =，解得2
1k =，1k =-或1k =，
从而直线AB 的方程为y x =或y x =-.………13分
（19）解：（I ）因为()[1(1ln )]ln f x a x a x '=-+=-，令()0f x '=，得1x =. …2分
（1）当0a >时，令()0f x '>，得01x <<，()f x 单调递增；令()0f x '<，得1x >，
()f x 单调递减.
（2）当0a <时，令()0f x '>，得1x >，()f x 单调递增；令()0f x '<，得01x <<，
()f x 单调递减. ………6分
综上：0a >时，函数()f x 的单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞；0a <时，函数()f x 的单增区间为(1,)+∞，单减区间为(0,1). ………7分
（II ）因为()1e (1)ln x
f x a x x >---，0x >，所以1e ln x a x x
->+恒成立. (9)
分
令1e ()ln x h x x x -=+，则2
(1e )(1)()x x h x x
--'=，因为0x >，1e 0x
-<，所以01x <<时，()0h x '>，1x >时，()0h x '<.即函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减.故max ()(1)1e h x h ==-，只需要1e a >-. ………12分
又因为0a ≠，所以实数a 的取值范围是(,0)(,)1e 0-+∞. ………14分
（20）解：（I ）在4(21)1n n S n a =++（n *
∈N ）中，令1n =有11431a a =+，解
得11a =.………………………………2分
当2n ≥时，有11(21)1(21)1
44
n n n n n n a n a a S S --++-+=-=-
， …………4分 整理得
121
23n n a n a n --=-，…………5分 从而12112121233
12123251
n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----=⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=---. ………7分 当1n =时，11a =符合21n a n =-，所求通项公式为21n a n =-. …8分
（II ）由(
)1n n n n n b a a =+得1
(21)()2
n n b n =-.………………………………9分 则()()23
1
11111135232122222n n
n T n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+
+-+- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
由此得()()2
3
4
1
1111111352321222222n
n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
两式相减可得()231
111111*********n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()21111112222112212n n n ++⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+-- ⎪⎝⎭-
()1
312322n n +⎛⎫
=-+ ⎪
⎝⎭
………………………………………………11分
所以()13232n
n T n ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭.…………………………………………………………12分
()()1111251112325230
222222n n n n
n n n T T n n n n +++⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+-=+> ⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以{n T }为递增数列，所以当1n =时，n T 最小，最小值为1
2
. ………………14分。