中国海洋大学图论期末复习总结

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(完整版)图论复习提纲

图论及其应用
复习课件数学科学学院
1
本次课主要内容期末复习
(一)、重点概念 (二)、重要结论 (三)、应用
2
(一)、重点概念
1、图、简单图、图的同构与自同构、度序列与图序列、补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图；
(1) 图：一个图是一个序偶<V,E>，记为G=(V,E),其中： 1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。
G1 G2
例1 指出4个顶点的非同构的所有简单图。分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以可按边数进行枚举。
5
(6) 补图与自补图
1) 对于一个简单图G =（V, E），令集合 E1 uv u v,u,vV
则图H =（V，E1\E）称为G的补图，记为 H G
2) 对于一个简单图G =（V, E），若 G G ，称G为自补图。
(5) 根树
一棵非平凡的有向树T，如果恰有一个顶点的入度为0，而其余所有顶点的入度为1，这样的的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根，出度为0的点称为树叶，入度为1，出度大于1的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点。
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(6) 完全m元树
对于根树T，若每个分支点至多m个儿子，称该根树为m元根树；若每个分支点恰有m个儿子，称它为完全m元树。
(2) 森林
称无圈图G为森林。
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(3) 生成树
图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵生成树；若T 为森林，称它为G的一个生成森林。
生成树的边称为树枝，G中非生成树的边称为弦。
(4) 最小生成树
在连通边赋权图G中求一棵总权值最小的生成树。该生成树称为最小生成树或最小代价树。

图论期末考试整理复习资料

目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。

2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。

3.边集为空的图称为空图。

4.既没有环也没有重边的图称为简单图。

5.其他所有的图都称为复合图。

6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。

10. 图G 的顶点的最大度。

11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。

例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。

12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。

13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。

15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。

16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义：联图在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。

图论期末总结

图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。

图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。

在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。

在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。

二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。

在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。

图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。

有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。

加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。

简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。

3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。

入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。

路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。

连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。

三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。

DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。

BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。

2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。

迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。

迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。

弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。

3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。

克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。

克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。

图论基础知识

end;
end;
end;
End； 15
End； End；
以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问了顶点i所在的（强）连通分支，所以只要在主程序中加上：for i:=1 to n do {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点}
if not Visited（I) then dfs(i);
Begin
访问顶点i；Visited[i]:=true;顶点i入队q；
while 队列q非空 do
begin
从队列q中取出队首元素v；
for j:=1 to n do
begin
if (not Visited[j]) and (a[v,j]=1) then
begin
时间：O（n*n）
访问顶点j；Visited[j]:=true;顶点j入队q
强连通分支：一个有向图的强连通分支定义为该图的最大的强连通子图，右图含有两个强连通分支，一个是1和2构成的一个子图，一个是3独立构成的一个子图。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
3、图的存储结构（n阶e条边）：
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历：从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历：图的宽（广）度优先遍历：类似于树的按层次遍历。从图中某个顶点V0出发，访问此顶点，然后依次访问与V0邻接的、未被访问过的所有顶点，然后再分别从这些顶点出发进行广度优先遍历，直到图中所有被访问过的顶点的相邻顶点都被访问到。若此时图中还有顶点尚未被访问，则另选图中一个未被访问过的顶点作为起点，重复上述过程，直到图中所有顶点都被访问到为止。

图论学习笔记

图论学习笔记⽬录图的概念简史欧拉与⼽尼斯堡七桥问题等价问题：“欧拉⼀笔画”\(\equiv\)与任⼀个顶点相关联的边必须是偶数条。

图的基本概念图⽆向图邻接与关联邻接与关联：\((p,q)\)图另⼀种表⽰⽅法：(p,q)图图相等与特殊的图图相等、特殊的图（平凡图、零图）有向图疑惑：⽆向图是集合反⾃反、对称的关系。

有向图中为保证反⾃反性，去掉了⾃⾝到⾃⾝的有向线段\(\{(v,v)|v \in V\}\)。

但是，图是不允许存在⾃⾝到⾃⾝的边吗？答案：是的。

图的表⽰图解法与邻接矩阵法图解法与邻接矩阵法：问题：关系的闭包在图中的意义是什么？图模型利⽤图建模现实问题，并⽤图的理论加以解决的能⼒。

例⼦：结婚问题、地图与导航⼦图⼦图概念⽣成⼦图特例：⽣成⼦图记号：去除顶点u，去除边{u,v}尤其地，注意去除边的记号不是去除u、v两个顶点。

导出⼦图（1）顶点导出⼦图：若V1⊆V(G)，则以V1为顶点集，以两个顶点均在V1中的边集组成的图，称为图G的顶点导出⼦图，记为G(V1)。

例如：求G(V1)，V1 ={1,3,5}则G(V1)为（2）边的导出⼦图：若E1⊆E(G),则以E1为边集，以E1中所有边的顶点为顶点集组成的图，称为图G的边的导出⼦图，记为G(E1)。

例如：求G(E1)，E1 = {13,24,35}则G(E1)为度度的概念定理1——握⼿定理【定理1】握⼿定理证明：每⼀条边对度数总和的贡献为2（每⼀条边对应两个顶点），由于共有q个边，故度数总和为2q。

推论1：握过奇数次数⼿的⼈为偶数个。

证明：将⼈分为两类，握奇数次⼿\(V_1\)和握偶数次⼿\(V_2\)，那么，\(V_1\)与\(V_2\)中顶点的度数总和为偶数（2q），同时，\(V_2\)的度数之和必然为偶数，那么，\(V_1\)的度数之和必然为偶数（偶数-偶数=偶数），同时，由于\(V_1\)中均是握奇数次⼿（\(V_1\)中各顶点度均为奇数），那么，\(V_1\)中顶点数必为偶数个（偶数个奇数之和=偶数）。

图论总结(超强大)解读

1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表示Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表示Star1.3.图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图Unweighted1.5.1.5.有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图Unweighted1.5.2.2.有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem1.6.网络优化Network optimization1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1. ..................................................................................................... D ijkstra1.6.2.1.1.2. .......................................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1.....................................Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应用Applications1.6.2.1.2.1. ........................... 差分约束系统System of difference constraints1.6.2.1.2.2. .......................... 有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths1.6.2.2.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ....................................................................................... F loyd-Warshall1.6.2.2.1.2. .................................................................................................... Johnson 1.6.3.网络流Flow network1.6.3.1.最大流Maximum flow1.6.3.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.3.1.1.1. ........................................................................ Ford-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1.......................................................... E dmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1. ................................................... M inimum length path1.6.3.1.1.1.1.2. ........................................... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ............................................... 预流推进算法Preflow push method1.6.3.1.1.2.1.................................................................................. P ush-relabel1.6.3.1.1.2.2........................................................................... Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. .......................................................................................... Dinic method1.6.3.1.2.扩展模型Extended models1.6.3.1.2.1. ............................................................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最小费用流Minimum cost flow1.6.3.2.1.找最小费用路Finding minimum cost path1.6.3.2.2.找负权圈Finding negative circle1.6.3.2.3.网络单纯形Network simplex algorithm1.6.4.匹配Matching1.6.4.1.二分图Bipartite Graph1.6.4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2.带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.一般图General Graph1.6.4.2.1.无权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1.图论Graph Theory1.1. 定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network二元组(),V E称为图(graph)。

图论及应用考试复习总结.讲义

情形1：假如28在C中，则39，34在C中,从而7(10), 8(10) 在C中
5 6 1 7 8 2 彼得森图 9 3 10
4
但这样得到圈：17(10)821。所以该情形不能存在。
情形2：假如23在C中，则86，8(10)在C中,从而39, 79在C 中.
5 6 1 1 7 8 9 3 彼得森图 2 彼得森图 9 3 10
5 6 1 7 8 2 彼得森图 9 3 10
4
证明： (1) 证明彼得森图是非H图。
若不然，设C是G的H圈。对于边12, 17,15来说，必然有两条边在C中。不失一般性，假定17,12在C中，那么，56，54也必然在C中。
5
6 1
7 8 2 9 3 10
4
彼得森图
又对于边28，23来说，在前面情况下，必有一条在C中。分两种情形讨论。
图论及其应用
任课教师：杨春 Email: yc517922@ 应用数学学院
本次课主要内容
超哈密尔顿图问题
(一)、超H图与超H迹 (二)、E图和H图的关系
(一)、超H图与超H迹
定义1 若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是 H图，则称G是超H图。定理1 彼得森图是超H图。
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6 4 10
4
7
8 2
但这样得到圈：123971。所以该情形也不能存在。上面推理说明，G中不存在H圈，即彼得森图是非H图。
(2) 证明对任意点v，G-v是H图。由对称性，只需考虑下面两种情形: (a) G-1,（b）G-6
5 6 5
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1
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8 2 G-1 9
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图论课期末总结

图论课期末总结首先，我在课程中学习了图的基本概念和性质。

图是由一组顶点和一组边组成的数据结构，可以用来描述很多现实生活中的问题。

在图的定义中，顶点表示问题中的对象，而边表示对象之间的关系。

图可以分为有向图和无向图，有向边表示关系有方向性，无向边表示关系无方向性。

另外，图还可以分为带权图和非带权图，带权图中的边上有权重，非带权图中的边没有权重。

接着，我学习了图的连通性和路径的概念。

在图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，那么这个图就是连通的。

连通图中的任意两个顶点都是连通的，非连通图中存在孤立的顶点。

路径是从一个顶点出发，经过若干个顶点，到达另一个顶点的序列。

在有向图中，路径有方向性，即从起点到终点的方向。

而在无向图中，路径没有方向性，即可以从任意一端出发。

然后，我学习了图的表示方法。

常见的图的表示方法有邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵是一个二维数组，其中数组的行和列分别代表图的顶点，数组元素的值表示顶点之间是否有边相连。

邻接表是由一组链表组成的数据结构，链表的每个节点表示一个顶点，链表节点中存储了与该顶点相邻的其他顶点。

除了学习图的基本概念和表示方法，我还学习了一些图的算法和应用。

其中包括最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。

最短路径算法是用来寻找图中两个顶点之间最短路径的算法，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

最小生成树算法是用来寻找连通图中一棵包含所有顶点的生成树的算法，其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。

网络流算法是用来解决网络中最大流和最小割问题的算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。

在图的应用方面，图论在计算机科学、通信网络、交通运输等领域都有广泛的应用。

在计算机科学中，图可以用来表示网页链接、社交网络和路由问题等。

在通信网络中，图可以用来建模网络拓扑和路由算法。

在交通运输中，图可以用来建模交通流量和路径规划。

图论概念定理知识点梳理

图论概念定理知识点梳理图论基本知识点梳理第一部分（基本概念）1.G 连通的充分必要条件是1)(=G ω。

或若k G V 2|)(|=，且对)(G V v ∈?，有k v d ≥)(，则G 是连通图。

4.图G 为二分图当且仅当G 中无奇圈。

5.在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。

6.设G 为简单图，若2)(≥G δ，则G 中有圈。

7. 设G 为简单图，若3)(≥G δ，则G 中有偶圈。

具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。

(2)在-k 正则图G 中，若3≥k ，则G 中有偶圈。

8.简单图G 与其补图c G 不能都不连通。

9.在2的三角剖分中，正常三角形为奇数个。

10.以下等价(1) G 是树（无圈连通图）。

(2) G 中任两顶点间恰有一条轨。

(3) G 无圈，1-=νε。

(4) G 是连通图，1-=νε 。

(5) G 是连通图，且对G 的任意边e ，e G -不连通。

（树每边皆割边）(6) G 无圈，且对任一不在)(G E 的边e ，e G +恰含一个圈。

11. 若G 连通，则1)()(-≥G G νε。

G 的生成树是G 最小的连通生成子图。

12. G 是连通图的充分必要条件是G 有生成树。

13. 2≥ν的树T 至少有两个叶。

14.完全图n K 的生成树个数2)(-=n n n K τ。

15. 图G 可平面嵌入的充分必要条件是G 可以球面嵌入。

（染地球上各国等价于染地图上各国）16. （Euler 公式） G 是连通平面图, 则2=+-φεν.17. 证明：若G 是3≥ν的连通平面图，则63-≤νε。

18. 证明：平面图G 的最小顶点次数5≤δ。

19 3≥ν平面图G 是极大平面图的充要条件是G 的平面嵌入的每个面皆三角形。

3≥ν平面图G 是极大平面图的充要条件是63-=νε。

20 G 是平面图当且仅当G 中不含与5K 和3,3K 同胚的子图。

21M 是图G 的最大匹配当且仅当G 中无M 的可增广轨。

图论总结(超强大)

图论总结(超强大) -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII1.图论 Graph Theory1.1.定义与术语 Definition and Glossary1.1.1.图与网络 Graph and Network1.1.2.图的术语 Glossary of Graph1.1.3.路径与回路 Path and Cycle1.1.4.连通性 Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合 Sets in graph1.1.6.匹配 Matching1.1.7.树 Tree1.1.8.组合优化 Combinatorial optimization1.2.图的表示 Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵 Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵 Incidence matrix1.2.3.邻接表 Adjacency list1.2.4.弧表 Arc list1.2.5.星形表示 Star1.3.图的遍历 Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索 Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求无向连通图中的桥 Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索 Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序 Topological sort1.5.路径与回路 Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路 Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图 Unweighted1.5.1.5.有权图 Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图 Unweighted1.5.2.2.有权图 Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem1.6.网络优化 Network optimization1.6.1.最小生成树 Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法 Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型 Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树 Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k小生成树 The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路 Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法 Basic algorithms1.6.2.1.1.1...................................................................................................... Dijkstra1.6.2.1.1.2........................................................................................... Bellman-Ford1.6.2.1.1.2.1. ................................... S hortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应用Applications1.6.2.1.2.1............................ 差分约束系统 System of difference constraints1.6.2.1.2.2. ...... 有向无环图上的最短路 Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路 All-pairs shortest paths1.6.2.2.1................................. 基本算法 Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ......................................Floyd-Warshall1.6.2.2.1.2. ............................................. Johnson 1.6.3...................................................... 网络流 Flow network1.6.3.1.最大流 Maximum flow1.6.3.1.1................................. 基本算法 Basic algorithms1.6.3.1.1.1. .............................. F ord-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1....................... Edmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1.................... Minimum length path1.6.3.1.1.1.1.2............... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ................. 预流推进算法 Preflow push method1.6.3.1.1.2.1................................... Push-relabel1.6.3.1.1.2.2.............................. Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. ........................................ Dinic method1.6.3.1.2.................................. 扩展模型 Extended models1.6.3.1.2.1. ................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最小费用流 Minimum cost flow1.6.3.2.1.................. 找最小费用路 Finding minimum cost path1.6.3.2.2......................... 找负权圈 Finding negative circle1.6.3.2.3.....................网络单纯形 Network simplex algorithm1.6.4............................................................. 匹配 Matching1.6.4.1.二分图 Bipartite Graph1.6.4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karpalgorithm1.6.4.1.2... 带权图-KM算法 Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.一般图General Graph1.6.4.2.1....... 无权图-带花树算法 Unweighted - Blossom (Edmonds) 1.图论 Graph Theory1.1.定义与术语 Definition and Glossary1.1.1.图与网络 Graph and Network,V E称为图(graph)。

大学集合论与图论期末考试复习资料

集合论与图论JK211009——在线考试复习资料2021版一、单选题1.设G是简单有向图,可达矩阵P(G)刻画下列关系中的是()A.点与边B.边与点C.点与点D.边与边答案：C2.A.6B.5C.4D.3答案：B3.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：D4.A.B.C.D.答案：B5.下面不能成为图的度数序列是()A.(1,2,3,4)B.(1,2,3,6)C.(1,3,5,7)D.(1,3,4,9)答案：D6.设简单无向图G有15条边,有3个4度结点,有4个3度结点,其余结点的度数均为2,那么G的结点总数为()A.9B.10C.11D.12答案：B7.如图所示,以下说法正确的是()A.e是割点B.{a,e}是点割集C.{b,e}是点割集D.{d}是点割集答案：A8.图G和G1的结点以及边分别存在一一对应关系,此对应关系是两图同构的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件答案：B9.设顶点集为V={a,b,c,d,e},下列几个无向图是简单图的有()A.G1=(V,E1),E1={(a,b),(b,c),(c,b),(a,e)}B.G2=(V,E2),E2={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,e)}C.G3=(V,E3),E3={(a,b),(b,c),(c,d),(e,e)}D.G4=(V,E4),E4={(a,a),(a,b),(c,c),(c,e)}答案：B10.若R是集合A上的等价关系,则下面哪个不一定满足()A.B.R2=RC.t(R)=RD.R-1=R答案：A11.A.B.C.D.答案：A12.A.B.C.D.答案：A13.下列哪个关系矩阵具有反自反性?()A.B.C.D.答案：A14.设集合A={1,2,3,4},A上的等价关系R={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>}∪I A,则对应于R的A划分是()A.B.C.D.答案：B15.设集合A={1,2,3,4}上的二元关系,R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},则S是R的()A.自反闭包B.传递闭包C.对称闭包D..不是任何闭包答案：C16.哈密尔顿回路是()A.只是简单回路B.是基本回路,但不是简单回路C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路答案：C17.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合的最大元、最小元、上界、下界依次为()A.8、2、8、2B.无、2、无、2C.6、2、6、2D.8、1、6、1答案：B18.下列各组数中不能构成无向图的度数序列的是()A.(1,1,2,3,5)B.(1,3,1,3,2)C.(1,2,3,4,5)D.(1,2,3,4,6)答案：C19.A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的答案：B20.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：B21.设A={a,{a}},下列命题错误的是()A.B.C.D.答案：A22.设G1、G2、G3、G4都是(4,3)的简单无向图,则它们之间至少有几个是同构的?()A.2个B.3个C.4个D.可能都不同构答案：B23.若集合A的元素个数为4,则其幂集的元素个数为()A.1个B.4个C.8个D.16个答案：D24.设结点集V={a,b,c,d},则下列与V构成强连通图的边集的是()A.E1={<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,b>,<d,c>}B.E2={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}C.E3={<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>}D.E4={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}答案：A25.在0()之间写上正确的符号。

图论复习——精选推荐

图论复习chapter 1⼀、重要概念1. 图、简单图、图的同构、度序列与图序列、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图简单图：⽆环⽆重边的图称为简单图。

（除此之外全部都是复合图）图的同构：点对应、边对应，两个图完全⼀样！A \cong B图同构的⼏个必要条件：1. 顶点数相同；2. 边数相同；3. 度数相等的顶点个数相同。

偶图（⼆分图）：可⼆分类(X, Y)的图，每条边的顶点均不属于同⼀类！指该图的点集可以分解为两个(⾮空)⼦集 X和 Y ，使得每条边的⼀个端点在 X 中，另⼀个端点在Y 中。

判定：不存在奇圈！！完全偶图：不是完全图！是指具有⼆分类(X, Y)的简单偶图，其中 X的每个顶点与 Y 的每个顶点相连记K_{m,n}度序列：图中各个顶点的度构成的⾮负正数组：(d_1, ...d_n)可图（对整数组⽽⾔）：存在⼀个简单图以它为度序列可图序列：简称图序列（注意图序列判定和度序列判定的区别，前者仅针对简单图，后者不限！）图序列判定：1）度序列和为偶数2）利⽤公式计算3）简单图的度最⼤为n-1，看度序列是否符合！4）简单图⼀定存在度数相同的顶点！度序列判定：1. 度序列和为偶数！补图：完全图 - 当前图若n阶图G是⾃补的(即G \cong \bar{G}，则(n~mod~4=0,1)⼀个n阶图和它的补图有相同的频序列⽣成⼦图：顶点与原图相同，边为原图边的⼦集导出⼦图：顶点为原图⾮空⼦集V'，以及原图中所有以V'中顶点为两端的边，记G[V']边导出⼦图：边为原图的⾮空⼦集，以及边对应的顶点，记G[E']简单图 G 中所有不同的⽣成⼦图（包括 G 和空图）的个数是2^m个对称差：G1 △ G2 : G1 △ G2 = (G1 ⋃ G2 ) - (G1 ⋂ G2 ) = (G1 -G2 ) ⋃ (G2 -G1 )联图：设G1，G2是两个不相交的图，作G1+G2，并且将G1中每个顶点和G2中的每个顶点连接，这样得到的新图称为G1与G2的联图。

图论基础知识汇总(适合建模)

图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。

第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。

1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。

1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。

哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。

图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。

如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。

图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。

哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。

在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。

当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。

欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。

他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。

问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。

欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。

图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。

集合论,图论总结

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第七章二元关系
主要内容有序对与笛卡儿积的定义与性质二元关系、从A到B的关系、A上的关系关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图关系的运算：定义域、值域、域、逆、合成、限制、像、幂关系运算的性质: A上关系的自反、反自反、对称、反对称、传递的性质 A上关系的自反、对称、传递闭包 A上的等价关系、等价类、商集与A的划分 A上的偏序关系与偏序集
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第十六章树
主要内容无向树及其性质生成树、最小生成树、基本回路系统、基本割集系统根树及其分类、最优树、最佳前缀码、波兰符号法、逆波兰符号法
Байду номын сангаас
基本要求深刻理解无向树的定义及性质熟练地求解无向树准确地求出给定带权连通图的最小生成树深刻理解基本回路、基本割集的概念，并会计算理解根树及其分类等概念会画n阶（n较小）非同构的无向树及根树（1n6）熟练掌握求最优树及最佳前缀码的方法掌握波兰符号法与逆波兰符号法
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基本要求
给定 f, A, B, 判别 f 是否为从A到B的函数判别函数 f:AB的性质（单射、满射、双射）熟练计算函数的值、像、复合以及反函数证明函数 f:AB的性质（单射、满射、双射）给定集合A, B，构造双射函数 f:AB 能够证明两个集合等势能够证明一个集合优势于另一个集合知道什么是可数集与不可数集会求一个简单集合的基数
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第十七章平面图
主要内容平面图的基本概念欧拉公式平面图的判断平面图的对偶图
基本要求深刻理解本部分的基本概念：平面图、平面嵌入、面、次数、极大平面图、极小非平面图、对偶图牢记极大平面图的主要性质和判别方法熟记欧拉公式及推广形式，并能用欧拉公式及推广形式证明有关定理与命题会用库拉图斯基定理证明某些图不是平面图记住平面图与它的对偶图阶数、边数、面数之间的关系

图论-总结

5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
第六节哈密顿图
6.1 哈密顿图定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
点的生成圈称为哈密顿圈；具有哈密顿圈的图称为哈密顿图。有割点的图一定不是哈密顿图；有割点的图不一定不是欧拉图（可能是）；
(1) 若Δ(G)=δ(G)=3，则称3-度正则图,也叫做三次图。
(2) 若Δ(G)=δ(G)=0，则称为零图，即0-度正则图。
(3) 若Δ(G)=δ(G)=p-1，则称为p-1度正则图，即 degv=p-1。
(4) p-1度正则图也称为p个顶点的完全图，记为Kp。在Kp中，每个顶点与其余各顶点均邻接。
第六章树和割集
第一节树及其性质 1.1树和森林定义1 连通且无回路的无向图称为无向树，简称树。定义2 没有回路的无向图称为无向森林，简称森林。 1.2 树的特征性质与无向树等价的几个特征性质推论1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。推论2任一非平凡树的最长路的两个端点一定是树叶。推论3 任意非平凡树都是偶图(显然，树中无圈)。推论4 任意非平凡树都是2-色的。
则 p-q+f=2。推论1 若G=(p,q)是平面连通图且每个面都是由长为n
的回路围成的，则q=n(p-2)/(n-2) 推论2 设G=(p,q)是一个最大可平面图，则G的每个面
都是三角形，而且q=3p-6。推论3 若G=(p,q)是一个可平面连通图，而且G的每个
面都是一个长为4的回路围成的，则q=2p-4 推论4 若G=(p,q)是一个连通的平面图，p≥3，则

图论基础知识点优选版

图论基础知识点优选版基本知识点：一、图的基本定义：平凡图：只有一个顶点无边的图。

非平凡图：其他所有图。

空图：边集合为空的图。

简单图：既没有环也没有重边的图。

复合图：其他所有的图。

同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。

标定图：给图的点和边标上符号。

非标定图：不标号。

非标定图代表一类相互同构的图。

完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。

N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。

偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

完全偶图：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。

若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。

k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。

完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。

图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。

子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。

生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。

导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的子图V ‘。

'[]G V 和G v -。

边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。

'[]G E 和{}G e -。

图的运算：并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图路与图的联通性：途径：迹：边互不相同的途径。

路：边和点都互不相同的途径。

连通的：两个顶点之间存在路。

连通图：每一对顶点之间都有一条路。

连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。

两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。

图论与组合数学期末复习试题含答案

组合数学部分第1章排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。

0019含1但不含0。

在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。

不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个不含0小于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。

例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mo d 3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。

例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个点值则记入序列。

如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。

2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：7。