2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第1章1.1.1 命题的概念和例子含解析

1．1命题及其关系
1．1.1命题的概念和例子
[读教材·填要点]
1．命题的概念
可以判断成立或不成立的语句叫作命题．
2．命题的分类
(1)真命题：成立的命题叫作真命题．
(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．
(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．
[小问题·大思维]
1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？
提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？
提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．
判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)求证π是无理数；
(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
(3)一个数的算术平方根一定是负数；
(4)梯形是不是平面图形呢？
[自主解答](1)是祈使句，不是命题；
(2)可以判断其是否成立，故为命题；
(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；
(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．
1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；
(2)空集是任何非空集合的真子集；
(3)对顶角相等吗？
(4)x>3.
解：(1)能判断其是否成立，是命题；
(2)能判断其是否成立，是命题；
(3)是疑问句，不是命题；
(4)不能判断其是否成立，不是命题．
判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；
(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．
[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．
(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．
(4)是真命题，
令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，
则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，
显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，
故ab是奇数．
若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．
解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．
判断命题真假的策略
(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．
2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；
(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．
解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．
(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．
试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．
[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况： 当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1
b ； 当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．
(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．
3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2π
B ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c
a >0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝M
D ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→
>0，则B 为锐角
解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在
三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→
的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．
[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集． [妙解] 由5x －1>a ，得x >1
5(1＋a )．
∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴
1＋a
5
≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A ．红豆生南国
B ．春来发几枝
C ．愿君多采撷
D ．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.
答案：A
2．下列命题中的真命题是( ) A ．互余的两个角不相等 B ．相等的两个角是同位角 C ．若a 2＝b 2，则|a |＝|b |
D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 解析：由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的． 答案：C
3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．0
D ．－3
解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
答案：C
4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①(a·b)c＝(c·a)b；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．
解析：因为a，b，c相互不共线，
所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．
又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．
答案：②④
5．下列命题：
①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.
其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．
解析：①为真命题，②③④为假命题．
答案：①
6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．
解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.
解得x>2或x<1，
∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．
一、选择题
1．下列语句中是命题的是()
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 0°＝0
C．求x2－2x＋1>0的解集
D．作△ABC∽△EFG
解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．
答案：B
2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1B．2
C．3 D．4
解析：①③错误；②④正确．
答案：B
3．下列命题中，为真命题的是()
A．对角线相等的四边形是矩形
B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍
C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等
D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切
解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C 中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y
＋1＝0的距离d＝
2
2<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．
答案：B
4．给出下列命题：
①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；
②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；
③若x2>x，则x>1；
④函数y＝x3是指数函数．
其中假命题的个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．下列语句：
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？
②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④若m＞0，a＞b＞0，则b＋m
a＋m
＞
b
a.
其中真命题的序号为________．
解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④
6．给出下列命题：
①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； ②对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0； ③若p ＞0，则p 2＞p ； ④正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p ＝1
2时，p 2＜p ；④假，正方形是菱形，也是矩形．
答案：② ①③④
7．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)
解析：由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①为假命题；对于f (x )＝2x
，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②为真命
题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2”，故③为真命题．故真命题是②③.
答案：②③
8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；
当a ≠0时，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0，Δ＝4a 2
＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题
9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．
10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，
圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2
2
＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。