河北省唐山市—高三第一次模拟考试理科数学

河北省唐山市—高三年级第一次模拟考试
理科数学试卷试卷类型：A 说明：
一、本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式2
4R
S π=)()()(B P A P B A P +=+ 其中R 表示球的半径
如果事件A 、B 相互，那么 球的体积公式33
4R V π=
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 其中R 表示球的半径
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率：
k
n k k
n n P P C k P --⋅⋅=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一
项符合题目要求．
(1)复数
=+-3
)
2)(1(i
i i （ ）(A)i +1 (B)i --1 (C)i 31+ (D)i
31--(2)已知),0(+∞=U ，}0sin |{>=x x A ，}1)1(log |{4>+=x x B ，则=)(B C A U （ ）(A) }0|{π≤<x x (B) }1|{π≤<-x x (C) }30|{≤<x x (D) }
31|{≤<-x x (3)球的一个截面是半径为3的圆，球心到这个截面的距离是4，则该球的表面积是（ ）(A)π100 (B)π50 (C)
π3500 (D) π3
100
(4)圆1)2()1(2
2
=-+-y x 与圆4)1()3(2
2
=-+-y x 的公切线共有（ ）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
(5)已知实数x ，y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-0220201y x y x ，则y x z +=的取值范围是（ ）
(A)[]2,1 (B)[]3,2 (C) []3,0 (D) []
3,1
(6)函数23
1+=-x
y )1(>x 的反函数为（ ）
(A)1)2(log 3--=x y )32(<<x (B) )2(log 13--=x y )32(<<x (C) 1)2(log 3--=x y )3(>x (D) )2(log 13--=x y )
3(>x (7)已知椭圆的中心在原点，离心率2
2=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42
=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
(A)14822=+y x (B) 12422=+y x (C) 142
2=+y x (D) 12
22=+y x (8)若函数)(x f 的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）
(A))3sin(π+
=x y (B) )3sin(π
-=x y
(C) )62sin(π+=x y (D) )
6
2sin(π
-=x y (9)设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，在
①βα⊥，n =βα ，n m ⊥； ②m =γα ，βα⊥，γβ⊥；③βα⊥，γα//，γ//m ； ④α⊥n ，β⊥n ，α⊥m 中，是β⊥m 的充分条件的为（ ）
(A) ①② (B)②④ (C)②③ (D) ③④
(10)已知函数|2||2|)(+--=x x x f ，则使得2)(0<<x f 的x 的取值范围是（ ）(A) )0,2(- (B) )0,1(- (C) )1,0( (D) )1,1(-(11)已知θ2是第一象限的角，且9
5
cos sin
44
=+θθ，那么=θtan （ ）
(A)
2
2
(B) 22- (C) 2 (D) 2
-(10)从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图所示的6个不同区域（用数字表
示）中拼盘，每个区域只放一种，且水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法有（ ）
(A) 2880种 (B) 2160种 (C) 1440种 (D) 720种
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
(13)随机变ξ量服从正态分布),50(2
σN ，若3.0)40(=<ξP ，则=<<)6040(ξP 。

(14)4)2(x x +
的展开式中3x 的系数是 ．(用数字作答)
(15)OA 、OB (O 为原点)是圆22
2
=+y x 的两条互相垂直的半径，C 是该圆上任一点，且
OB OA OC μλ+=，则=+22μλ ．
(16)如图，直四棱柱1111D C B A ABCD —的底面是直角梯形，CD AB //，︒=∠90BAD ，
22==AB CD ，2221==AA AD ，M 是11D A 的中点，则1CC 与面MBC 所成角的大小
为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)
在ABC ∆中，1=BC ，6
5π
=A ，D 是BC 的中点，将BC AD y ⋅=表示为角B 的函数，并求这个函数的值域．
(18)(本小题满分12分)
商家对某种商品进行促销活动，顾客每购买一件该商品就即刻抽奖，奖励额度如下：
奖励等级 一等奖 二等奖 所占比例 10% 30% 奖金数（元）
100 20
一顾客购买该商品2件，求：(Ⅰ)该顾客中奖的概率；
(Ⅱ)该顾客获得奖金数ξ (元)的概率分布和期望ξE ．
(19)(本小题满分12分)
如图，四棱锥ABCD S —的底面ABCD 是正方形，侧面SAB 是等腰三角形且垂直于底面，
5==SB SA ，2=AB ，E 、F 分别是AB 、SD 的中点。

（Ⅰ）求证：SBC EF 平面//； （Ⅱ）求二面角A CE F ——的大小。

(20)(本小题满分12分)
已知函数ax x x f -+=)1ln()(，其中R a ∈．
(Ⅰ)若对于任意的),1(+∞-∈x ，0)(≤x f 恒成立，求实数a 的值；
(Ⅱ)求证：e n <+++)2
11()211)(211(2 ，*N n ∈，e 为自然对数的底。

(21)(本小题满分12分)
已知Γ是双曲线12
2=-x y 的上支，曲线Γ在任一点P 处的切线为AB ，其中A 、B 分别在直线x y -=和x y =上，动点M 的轨迹为曲线Λ，其中MB AM 2=． (Ⅰ)求曲线Λ的方程；
(Ⅱ)过原点O 作直线分别交曲线Γ和Λ于点C 、D ，设OC t OD =，求证t 为定值．
(22)(本小题满分12分)
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知21=a ，且1012)34()54(1--=+--+n S n S n n n ． (Ⅰ)求2S 、3S 的值及n S 的表达式；
(Ⅱ)求数列})1{(n n
a -的前n 项和n T ．
唐山市~高三年级第一次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题:
A 卷：CCABD BDCB
B AA 二、填空题：
(13)4.0 (14)24 (15)1 (16) ︒45 三、解答题： (17)解：
由65π=
A ，知
B B
C -=--=6
65πππ，又1=BC ，由正弦定理，有 26
5sin
1sin )
6
sin(
===-ππ
B
AC
B AB ，∴)6sin(2B AB -=π
，B AC sin 2=，……3分 ∴)(2
1
)()(2122AB AC AB AC AB AC BC AD +=-⋅+=⋅ ……………5分
)23
cos(12cos 1)6(
sin 2sin 22
2B B B B -+--=--=π
π
)6
2sin(2cos 212sin 232sin 232cos 212cos π-=-=++-=B B B B B B …………8分 ∵6
0π<
<B ，6626
π
π
π
<
-
<-
B ， ∴2
1
)62sin(21<-<-
πB ，
故所求函数为)
62sin(π
-=B y )60(π<<B ，函数的值域为)2
1
,21(-……………10分
（18）解：
记顾客购买一件产品，获一等奖为事件1A ，获二等奖为事件2A ，不获奖为事件0A ，则
1.0)(1=A P ，3.0)(2=A P ，6.0)(0=A P
（Ⅰ）该顾客购买2件产品，中奖的概率
64.06.01)]([1)(122000=-=-=⋅-=A P A A P P ……………4分
（Ⅱ）ξ的可能值为0，20，40，100，120，200，其中
36.06.0)0(2
===ξP ，36.06.03.0)20(1
2=⨯⨯==C P ξ， 09.03.0)40(2
===ξP ，12.06.01.0)100(1
2=⨯⨯==C P ξ，
06.03.01.0)120(1
2=⨯⨯==C P ξ，01.01.0)200(2
===ξP ……………8分
ξ的分布列为
ξ
0 20 40 100 120 200 P
36.0
36.0
09.0
12.0
06.0
01.0
……………10分
ξ的期望
01.020006.012012.010009.04036.02036.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
32=（元）…………………………………………………………………12分
（19）解法一：
（Ⅰ）取SC 中点G ，连结FG 、BG ，则CD FG 2
1
//， 又CD BE 2
1
//
， ∴BE FG //，四边形BEFG 是平行四边形， ∴BG EF //，又SBC EF 平面⊄，SBC BG 平面⊂，
∴SBC EF 平面// ……………………………………………………4分 （Ⅱ）连结SE
∵SB SA =， ∴AB SE ⊥，
又平面⊥SAB 平面ABCD ，∴ABCD SE 平面⊥ 而SDE SE 平面⊂， ∴ABCD SDE 平面平面⊥
作DE FH ⊥于H ，则ABCD FH 平面⊥，且SE FH //，H 为DE 的中点。

作CE HK ⊥于K ，连结FK ，则FK CE ⊥，
于是FKH ∠为二面角A CE F --的平面角。

…………………………8分 ∵5=
=SB SA ，2=AB ，∴2=SE ，1=FH
在正方形ABCD 中，作CE DL ⊥于L ，则
5
4
5222sin sin =⨯=⨯
=∠=∠=CE BC BEC CD LCD CD DL ， ∴5
2
21==
DL HK ，∴25tan ==∠HK FH FKH 。

故二面角A CE F --的大小为2
5
arctan …………………………12分
解法二：如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系，使x BC //轴，A 、S 分别在y 轴、z 轴上。

（Ⅰ）由已知，)0,0,0(E ，)0,1,2(D ，)2,0,0(S ，)1,2
1
,1(F ，)0,1,0(-B ，)0,1,2(-C ， ∴)1,2
1,1(=EF ， )0,0,2(=BC ，)2,1,0(=BS ， ∵BS BC EF 2
1
21+=
， ∴SBC EF 平面⊂， 又SBC E 平面∉，∴SBC EF 平面// ………………………………………4分 （Ⅱ）设),,(c b a m =为面CEF 的法向量，则EC m ⊥，且EF m ⊥。

∵)0,1,2(-=EC ，)1,2
1
,1(=EF ，0=⋅=⋅EF m EC m
∴⎪⎩
⎪⎨⎧=++=-021
02c b a b a ，取1=a ，2=b ，2-=c ，则)2,2,1(-=m ……………8分 又)1,0,0(=n 为面ACE 的法向量，所以3
2
132||||),cos(-=⨯-=⋅=
n m n m n m ，
因为二面角A CE F --为锐角，所以其大小为3
2arccos …………………………12分 （20）解：
（Ⅰ）a x
x f -+=
'11
)( ……………………………………………………1分 （1）当0≤a 时，由011
>+x
，知0)(>'x f ，)(x f 在),1(+∞-单调递增
而022ln )1(>-=a f ，则0)(≤x f 不恒成立…………………………3分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，得11-=a
x 当)11,
1(--∈a x 时，0)(>x f ，)(x f 单调递增；),11
(+∞-∈a
x 时， 0)(<x f ，)(x f 单调递减，)(x f 在11
-=a x 处取得极大值。

由于0)0(=f ，所以011
=-a
，解得1=a ，即当且仅当1=a 时0)(≤x f 恒成立。

综上，所求a 的值为1 …………………………7分
（Ⅱ）e n <+++)211()211)(211(2 等价于1)]2
1
1()211)(211ln[(2<+++n ，
下证这个不等式成立。

由（Ⅰ）知021)211ln(≤-+
k k ，即k k 2
1)211ln(≤+，*
N k ∈……………9分 ∴)2
1
1ln()211ln()211ln()]211()211)(211ln[(22n n ++++++=+++
12112
11)
211(2
12121212<-=--=+++≤n n n …………………………12分 （21）解：
（Ⅰ）曲线Γ方程可写为12+=
x y ，1
2
+=
'x x y
设),(00y x P ，则12
00+=x y ，又设),(11x x A -、),(22x x B 、),(y x M
曲线Γ在点P 处的切线斜率0
2
001
y x x x k =
+=，则切线AB 方程为)(0000x x y x y y -=-，
即2
02000x y x x y y -=-，亦即100=-x x y y …………………………3分 分别将A 、B 坐标代入切线方程得11010=--x x x y ，12020=-x x x y ∴0011x y x +-
=，0
021
x y x -=
由MB AM 2=，得
)3(31
331)21(3121200202000000021y x x y y x x y x y x x x +=-+⋅=-++-=++=
， ①
)3(3
1
331)21(31212002
020********y x x y y x x y x y x x y +=-+⋅=-++=++-=
， ② ∴9
8)(98])3()3[(912
020*******
2
=-=+-+=
-x y y x y x x y ……………7分 ∵0002
00||||3133x x x x y -≥≥>+=，∴0300>+y x ， 则由②式得0>y 。

从而曲线Λ的方程为9
8
2
2=
-x y )322(≥y …………………………8分
（Ⅱ）y 轴与曲线Γ、Λ交点分别为)1,0(C 、)322,
0(D ，此时OC OD 3
2
2=……9分 当C 、D 不在y 轴上时，设直线CD 方程为kx y =。

若0>k ，则C 、D 在第一象限，
由⎩⎨⎧=-=122x y kx y ，得)1,11(22--k k k C ，由⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=9822x y kx
y 得)1322,1322(22--k k k D ， ∴OC OD 3
2
2=
………………………………………11分 因为曲线Γ和Λ都关于y 轴对称，所以当0<k 时，仍有OC OD 3
2
2=
综上，题设的t 为定值3
2
2…………………………12分 （22）解：
（Ⅰ）由211==a S ，且1012)34()54(1--=+--+n S n S n n n ，得 当1=n 时， 22272-=⨯--S ，解得82=S ； 当2=n 时，3481133-=⨯-S ，解得183=S
猜想：2
2n S n =……………………………………………………2分
用数学归纳法证明如下
（1） 当1=n 时，命题显然成立。

………………………………………3分
（2） 假设当k n =时命题成立，即2
2k S k =，那么
由1012)34()54(1--=+--+k S k S k k k ，得 5
4101268541012)34(2541012)34(2321
---+=---+=---+=+k k k k k k k k k k S k S k k
223)1(22)2(25
4)
54(2)54)(2(2541082068+=++=--+-+=--+-+=k k k k k k k k k k k k k 于是，
当1+=k n 时命题仍然成立………………………………………6分
根据（1）和（2），对任何*
N n ∈，都有22n S n =…………………………7分 （Ⅱ）当2≥n 时，24)1(222
21-=--=-=-n n n S S a n n n ，且对于1=n 也成立。

因此，24-=n a n
对于*
N k ∈，由42124321=+-==+-=+--k k a a a a a a ，得
11 / 11 k a a a a a a T k k k 4)()()(21243212=+-+++-++-=- ，……………10分 )12(2)28(42212--=--=-=-k k k a T T k k k ，
综上，n T n n )1(2-=………………………………………12分。