华中师大《微分几何》练习题库及答案

《微分几何》练习题库及答案
一、单项选择题 第一章
1．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（ ）．（内积；易；2分钟）
A 2
B 1-
C 0
D 1
2．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线 的方程是（ ）．（直线方程；易；2分钟） A ⎩
⎨
⎧==1y z x B 1321+==-z y
x C 11+==+z y x D ⎩⎨
⎧==1
z y
x
3．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（ ）．（混合积；较易；2分钟）
A 2
B 1-
C 1
D 2-
4.已知()(,,)t
t
t e t e -=r ，则(0)''r 为（ ）．（导数；易；2分钟） Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)
5．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（ ）．（导数；易；2分钟）
Ａ t λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa
上述a 为常向量．
6.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（ ）．（微分；较易；2分钟） Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章
7．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（ ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)
Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角
4π Ｄ 有固定夹角3
π 8．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（ ）．（伏雷内公式；较易；2分钟）
Ａ α为单位向量 Ｂ ⊥αα
Ｃ κ=-α
β Ｄ κ=-βα 9．直线的曲率为（ ）．（曲率；易；2分钟）
Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２
10．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（ ）．（伏雷内公式；较易；2分钟） Ａ ()()s s κ=α
Ｂ ()()s s κϕ= ，ϕ为()s α的旋转角 Ｃ
()s κ=-⋅αβ
Ｄ ()|()|s s κ=r 11．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ ）．（曲率；易；2分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 12．下列论述不正确的是（ ）．（基本向量；易；2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ
13．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（ ）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 14．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 15．2
sin
4),cos 1(),sin (t
a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为
（ ）．（切线方程、夹角；较易；2分钟）
Ａ 垂直 Ｂ 平行 Ｃ 成3π的角 Ｄ 成4
π
的角 第三章
16．椭球面222
2221x y z a b c
++=的参数表示为（ ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕ
θϕθϕ= B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ= C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=
D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2
)x y z a b c ϕθϕθθ=
17．以下为单叶双曲面222
2221x y z a b c
+-=的参数表示的是（ ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =
B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =
C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =
D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =
18．以下为双叶双曲面222
2221x y z a b c
+-=-的参数表示的是（ ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v
b u v
c u =
B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =
C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =
D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =
19．以下为椭圆抛物面22
222x y z a b
+=的参数表示的是（ ）．（参数表示；易；2分钟）
A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u v
u v = B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v = C 2
(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =
20．以下为双曲抛物面22
222x y z a b
-=的参数表示的是（ ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a u
b u u = B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =
C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-
D (,,)(,,)x y z au bv u v =-
21．曲面2
2
3
3
(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ ）．（切平面方程；易；2分钟）
A 2135200x y z +-+=
B 1834410x y z +--=
C 756180x y z +--=
D 1853160x y z +-+=
22．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（ ）．（第一基本形式；中；2分钟）
A 2222(d sin d )R u u v +
B 2222(d cosh d )R u u v +
C 2222(d sinh d )R u u v +
D 2222(d cos d )R u u v +
23．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（ ）．（第一基本形式；中；2分钟）
A 22d d u v +
B 22d d u v -
C 222d d u R v +
D 222
d d u R v - 24．在第一基本形式为222
(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ ）．（弧长；中；2分钟）
A 21cosh cosh v v -
B 21sinh sinh v v -
C 12cosh cosh v v -
D 12sinh sinh v v -
25．设M 为3
R 中的2维2
C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ ）．（坐标网、曲线网；易；2分钟）
A 0E =
B 0F =
C 0G =
D 0M = 26．以下正确的是（ ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）
A d (d )=n r W
B d (d )u =n r W
C d (d )u v =n r W
D d (d )=-n r W 27．以下正确的是（ ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）
A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r W
B (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r W W
C (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r W W
D (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W 28．以下正确的是（ ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）
A (d ,(δ))(d ,δ
)=I r r II r r W B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r W W D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r W W 29．高斯曲率为常数的的曲面叫（ ）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面 第四章 30．
,___________ij
ji i j
g
g =∑．
（第一基本形式；易；2分钟） A 1 B 2 C 0 D -1
31．
______j kj
l j
g
δ=∑．
（第一基本形式；易；2分钟） A kj g B kl g C ki g D ij g
32．________k
ij Γ=．
（克氏符号；较易；2分钟） A 1()2jl ij
kl il j i
l i
g g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B
1()2
jl ij kl il j i
l i g g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑ C 1()2jl ij
kl il j i
l i
g g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D
1()2
jl ij
kl il j i
l i g g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ 33．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．（测地曲率、测地曲率的几何意义、梅尼埃定理；易；2分钟）
A 0
B 1
C 2
D 3
34．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）
A
B
C
D
35．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线
36．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）
A 等于π
B 小于π
C 大于π
D 不能确定 37.若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。

A 、 直线 B 、平面曲线 C 、球面曲线 D 、圆柱螺线
38.曲线()r r t =
在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子______不正确。

A 、2r r k r '''⨯='
B 、3r r k r '''⨯='
C 、k r =
D 、()()
2r r r r r τ''''''='''⨯
39.对于曲面的第一基本形式2
2
2
2,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__ __。

A 、0>
B 、0<
C 、0≤
D 、0≥
二、填空题 第一章
40．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = ．（向量的夹角；易；3分钟）
41．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b ．（向量积；较易；3分钟）
42．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为 ．（平面方程；较易；3分钟）
43．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为 ．（直线方程；较易；3分钟）
44．计算2
3
2
lim[(31)]t t t →+-+=i j k ．(极限;易;3分钟)
45．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0
lim(()())t t t →⋅=f g ．(内积、极限；
易；3分钟)
46．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2
t u =，t v sin =，则
d d t
=r
．（导数、链式法则；易；3分钟）
47．已知t =ϕ，2
t =θ，则
d (,)
d t
ϕθ=r ．（导数、链式法则；易；3分钟）
48．已知4
2
()d (1,2,3)t t =-⎰r ，6
4
()d (2,1,2)t t =-⎰
r ，求
4
6
2
2
()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r ，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b ．
（积分的性质、向量积、内积；较易；3分钟）
49．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r ．（导数、积分；易；3分钟） 50．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r ．(导数、积分；易；3分钟)
51．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则
4
d
()d d t t ⋅=⎰f g ．(内积、导数、积分；较易；3分钟)
第二章
52．曲线3()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为 .(切向量;易;3分钟)
53．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为 . (切向量;易;3分钟)
54．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为 . (切向量;易;3分钟)
55．设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 ．(切向量、切线方程;易;3分钟)
56．设有曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为 ．(切向量、切线方程;易;3分钟) 第三章
57．设(,)u v =r r 为曲面的参数表示，如果 ，则称参数曲面是正则的；如果
:()G G →r r 是 ，则称参数曲面是简单的．(正则曲面、简单曲面；易；3分
钟) 58．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 ．(坐标网;易;3分钟)
59．平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为 ，面积元为 ．(第一基本形式、面积元；易；3分钟)
60．悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 的第一类基本量是 ．(悬链面、第一基本量；较易；3分钟)
61．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是 ．（交角、坐标曲线；较易；3分钟）
62．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式是 ．（正螺面、第一基本形式；易；3分钟）
63．双曲抛物面(,)((),(),2)u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是 ．（双曲抛物面、第一基本形式；易；3分钟）
64．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为 ．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟）
65．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是 ．（渐近方向；
易；3分钟）
66．两个方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是 ．（共轭方向；较易；3分钟）
67．函数λ是主曲率的充要条件是 ．（主曲率；中；3分钟） 68．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是 ．（主方向；中；3分钟）
69．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则 ．（罗德里格定理、主方向、主曲率；中；3分钟）
70．旋转极小曲面是 或 ．（极小曲面；较易；3分钟） 第四章 71．高斯方程是______________，魏因加尔吞方程为______________．（高斯方程、魏因加尔吞；中；3分钟）
72．ij g 用ij g 表示为______________．（第一基本形式;易；3分钟）
73．测地曲率的几何意义是______________．（测地曲率的几何意义；中；3分钟） 74．,,g n κκκ之间的关系是______________．（曲率、测地曲率、法曲率；易；3分钟） 75．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为______________．（测地曲率、梅尼埃定理、测地曲率的几何意义；易；3分钟） 76．测地线的方程为______________．（测地线；易；3分钟）
77．高斯-波涅公式为 ．（高斯-波涅公式；较易；3分钟）
78．如果G ∂是由测地线组成，则高斯-波涅公式为 ．（高斯-波涅公式；较易；3分钟）
79.向量{}(),3,r t t t a =
具有固定方向，则a =_____。

80. 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''= 的充要条件是
81. 设曲线在P 点的切向量为α ，主法向量为β ，则过P 由,αβ
确定的平面是曲线在P 点
的____________。

82. 曲线()r r t = 在t = 1点处有2γβ= ，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率
(1)τ=
83. 主法线与固定方向垂直的曲线是
三、叙述题
第三章
84．曲面。

（曲面的概念；较易；3分钟） 85．坐标曲线。

（坐标曲线的概念；较易；3分钟）
86．第一基本形式。

（第一基本形式的概念；较易；3分钟） 87．内蕴量。

（内蕴量的概念；较易；3分钟） 88．第二基本形式。

（第二基本形式的概念；较易；3分钟） 89．曲面的椭圆点。

（点的分类；较易；3分钟） 90．法曲率。

（法曲率的概念；较易；3分钟） 91．主曲率。

（主曲率的概念；较易；3分钟） 92．高斯曲率。

（高斯曲率的概念；较易；3分钟） 93．极小曲面。

（极小曲面的概念；较易；3分钟）
四、计算题
第二章
94．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．（弧长；中；5分钟）
95．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．（基本向量；中；10分钟
96．圆柱螺线为()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 。

（基本向量、曲率、挠率；中；15分钟）
①求基本向量α，β，γ； ②求曲率κ和挠率τ； 第三章
97．求正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的切平面和法线方程．（切平面、法线；中；5分钟）
98．求球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )a a a ϕθϕθϕθϕ=r 上任一点处的切平面与法线方程．（切平面、法线；中；5分钟）
99．求旋转抛物面2
2
()z a x y =+的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟） 100．求正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟） 101．计算正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一、第二基本量．（第一基本形式、第二基本形式；中；15分钟）
102．计算抛物面2
2z x y =+的高斯曲率和平均曲率．（高斯曲率、平均曲率；中；15分钟） 103．计算正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的高斯曲率（高斯曲率；中；15分钟） 第四章
104.求位于正螺面
cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线
00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．（测地曲率、刘维尔定理；中；15分）
105.求曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 的曲率和挠率，其中cosh 2t t
e e t -+=，
sinh 2
t t
e e t --=。

106.计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．
107.求位于正螺面(cos ,sin ,)u v u v av =r 上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===的测地曲率。

五、证明题
第二章
108．证明曲线(cos ,sin ,0)t t e t e t =r 的切向量与曲线的位置向量成定角．（切向量、夹角；较易；5分钟）
109．证明：若'r 和''r 对一切t 线性相关，则曲线是直线．（曲率；中；10分钟）
110．证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．（主法线、夹角；中；10分钟）
111．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2
===的所有法平面皆通过坐标原点．（法平面；较易；5分钟） 112．证明曲线t z t y t t x +=-=-+=
11
,11,112
为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程。

（挠率；中；10分钟）
第三章
113．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．（坐标曲线、夹角；5分钟）
114．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟） 115．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即
(d ,d )
(d ,d )
u v u v II I 与方向无关，则称该点
是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．（脐点；难；15分钟）
116．证明平面是全脐的．（脐点；易；5分钟） 117．设有曲面(,)z f x y =，试证曲面的第二基本形式与函数(,)f x y 的二阶微分成比例．（第二基本形式；较难；10分钟）
118．证明曲面3
x y z +=的所有点为抛物点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟）
119．求证正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v av =r 是极小曲面．（平均曲率；中；15分钟） 120．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．（点的分类、平均曲率；中；5分钟）
第四章
121．证明若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零．（高斯曲率；难；10分钟）
122．求证半径为R 的球面上测地三角之和为()2
1
,A R π∆+
其中()A ∆为测地三角形的面积．（高斯-波涅定理；难；10分钟）
123．若曲面S 的高斯曲率处处小于零，则曲面S 上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线．（高斯-波涅定理；难；10分钟）
124.求证直纹面的高斯曲率0K ≤，等号成立的充要条件是直纹面可展。

125.设有曲面(,)u v =r r ，其单位法向量是n ，高斯曲率是K 。

证明u v u v K ⨯=⨯n n r r 。

《微分几何》练习题库参考答案
一 单项选择题 第一章 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4.【答案】Ａ 5．【答案】Ｃ 6.【答案】Ｄ 第二章 7．【答案】Ｃ 8．【答案】Ｃ 9．【答案】Ｂ 10．【答案】Ｄ 11．【答案】Ｄ 12．【答案】Ｄ 13．【答案】Ｄ 14．【答案】Ｄ 15．【答案】Ｄ 第三章 16．【答案】C 17．【答案】D 18．【答案】A
19．【答案】B 20．【答案】C 21．【答案】B 22．【答案】D 23．【答案】C 24．【答案】B 25．【答案】B 26．【答案】D 27．【答案】C 28．【答案】A 29．【答案】C 第四章 30．【答案】B 31．【答案】B 32．【答案】A 33．【答案】A 34．【答案】B 35．【答案】A 36．【答案】B 37.C 38.A 39.D
二、填空题 第一章 40．【答案】
3
6
41．【答案】(1,1,1)--- 42．【答案】0=-z x 43．【答案】
2
1
131--=-=+z y x 44．【答案】138-+i j k 45．【答案】０
46．【答案】(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 47．【答案】
(sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+
48．【答案】)5,9,3(- 49．【答案】t +a c 50．【答案】
2
12
t +a c 51．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则
4
d
()d d t t ⋅=⎰f g ． 【答案】4cos 62-
第二章
52．【答案】2(2,3,)t t e 53．【答案】(0,,)a a 54．【答案】(0,,)a b
55．【答案】2111
-=--
=
-z e
e y e e x 56．【答案】11-==-z y x 第三章
57．【答案】u v ⨯≠r r 0 ；一一的 58．【答案】正规坐标网
59．【答案】22d d u v + ；d d u v
60．【答案】2cosh E u =，0F =，2cosh G u =
61．
2
62．【答案】2
2
2
2
d ()d u u b v ++
63．【答案】2222222222
(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++ 64．【答案】0
65．【答案】(d)0n κ=或22d 2d d d 0L u M u v N v ++=
66．【答案】(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++=
67．【答案】
0E L
F M
F M
G N
λλλλ--=--
68．【答案】
d d d d 0d d d d E u F v L u M v
F u
G v M u N v
++=++
69．【答案】d d n κ=-n r ，其中n κ是沿(d)方向的法曲率 70．【答案】平面 ；悬链面 第四章 71．【答案】k
ij ij k
ij k
L =
Γ+∑r r
n ，,1,2i j =；,kj i ik i j k
L g =-∑n r ，,1,2i j =
72．【答案】22
1212
111()det()ij ij g g g g g g -⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
73．【答案】曲面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲线()C *的曲率 74．【答案】222
g n κκκ=+ 75．【答案】0
76．【答案】22,d d d 0,1,2d d d k i j
k ij i j
u u u k s s s +Γ==∑ 77．【答案】
1
d d ()2k
g
i
i G
G K s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰
78．【答案】
1
d ()2k
i
i G
K σπαπ=+-=∑⎰⎰
79. T
80.以该向量为切方向的曲线为平面曲线 81.密切平面 82. -2
83. 一般螺线
三、叙述题 第三章
84．【解】设G 是初等区域，S ⊂3
R ，如果存在一个连续一一映射3
:G →r R 使得()G S =r ，
则称S 是一张曲面，而()x =r r 叫S 的参数表示．
85．【解】曲面:(,),(,)S u v u v G =∈r r ，0(,)u v r 的像叫u -曲线，0(,)u v r 的像叫v -曲线，u -曲线和v -曲线都叫坐标曲线．
86．【解】称二次型22(d ,d )d 2d d d u v E u F u v G v =++I （其中u u E =⋅r r ，u v F =⋅r r ，
v v G =⋅r r ）为曲面的第一基本形式．而E 、F 、G 叫曲面的第一类基本量．
87．【解】由曲面的第一类基本量所决定的量叫曲面的内蕴量．
88．【解】称二次型22(d ,d )d 2d d d u v L u M u v N v =++II （其中uu L =⋅r n ，uv M =⋅r n ，
vv N =⋅r n ）为曲面的第二基本形式．而L ，M ，N 为曲面的第二类基本量．
89．【解】若在P 点有20LN M ->，则称P 点为曲面的椭圆点．
90．【解】给定曲面S 上一点P 处的一个切向量(d)d :d u v =，则P 点沿方向()d 的法曲率定义为(d)(d ,d )/(d ,d )n κ=II r r I r r ．
91．【解】使法曲率(d)n κ达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率．
92．【解】曲面的两个主曲率之积12K κκ=⋅叫曲面的高斯曲率． 93．【解】平均曲率0H =的曲面叫极小曲面．
四、计算题 第二章
94．【解】旋轮线()((sin ),(1cos ))t a t t a t =--r 的切向量为()(cos ,sin )t a a t a t '=-r ，则它的π20≤≤t 一段的弧长为：
22
()d 8s t t t a π
π
'=
==⎰⎰
r ．
95．【解】由题意知 ()(sin cos ,cos sin ,)t
t
t t t t t t t e te '=+-+r ， ()(2cos sin ,2sin cos ,2)t
t
t t t t t t t e te ''=---+r ， 在原点时有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)'''==r r 。

又
(,)(,), '''''''''-=
='''''⋅⨯r r r r r r r αβr r r r ，'''
⨯='''
⨯r r γr r ， 所以有
(0,
),(),(22366333
==-=-αβγ。

96．【解】①由题意有
()(sin ,cos ,)t a t a t b '=-r ，()(cos ,sin ,0)t a t a t ''=--γ，
又由公式()(),,''''''''''''⋅-⋅⨯=
==''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r αβγr r r r r r
有
sin ,cos ,),
(cos ,sin ,0),
sin ,cos ,).
a t a t
b t t b t b t a =
-=--=-αβγ ②由一般参数的曲率公式3
()t κ'''⨯=
'
r r r 及挠率公式 2
(,,)
()t τ''''''=
'''
⨯r r r r r 有22a a b κ=
+，2
2b a b
+=τ。

第三章
97．【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，切平面方程为
cos sin cos sin 00sin cos 0,sin cos x u v y u v z bv v v b v x b u y uz buv u v
u v
b
---=⇒⋅-⋅+-=-
法线方程为
cos sin sin cos x u v y u v z bv
b v b v u
---==-．
98．【解】
(sin cos ,sin sin ,cos )a a a ϕϕθϕθϕ=--r ，
(cos sin ,cos cos ,0)a a θϕθϕθ=-r ，
3
1
2
2sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0
cos (cos cos ,cos sin ,sin )
e e e a a a a a a ϕθϕθ
ϕθϕ
ϕθ
ϕθ
ϕϕθϕθϕ⨯=---=---r r
∴ 球面上任意点的切平面方程为
2
(cos cos ,cos sin ,sin )
cos (cos cos ,cos sin ,sin )0,
x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=
即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=，
法线方程为
2
(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),
x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---
即
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕ
ϕθϕθϕ
---==
． 99．【解】参数表示为22(,)(,,())x y x y a x y =+r ，
(1,0,2)x ax =r ，(0,1,2)y ay =r ，
2214x x E a x =⋅=+r r ，24x y F a xy =⋅=r r ，
2214y y G a y =⋅=+r r ，
2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．
100．【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，
1u u E =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，22v v G u b =⋅=+r r ， 2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．
101．【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，
(0,0,0)uu =r ，(sin ,cos ,0)uv v v =-r ，(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ，
cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v v
v
b v b v u u v u v b
⨯==--i
j k
r r ，
||u v u v ⨯=
=
⨯r r n r r ， 1u u E =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，22v v G u b =⋅=+r r ， 0uu L =⋅=r n
，uv M =⋅=r n 0vv N =⋅=r n ．
102．【解】设抛物面的参数表示为2
2
(,)(,,)x y x y x y =+r ，则
(1,0,2)x x =r ，(0,1,2)y y =r ，
(0,0,2)xx =r ，(0,0,0)xy yx ==r r ，(002)yy =r ，，，
102(2,2,1)012x y x x y y
⨯==--i j k
r r ，
||
x y x y ⨯=
=
⨯r r n r r ，
214x x E x =⋅=+r r ， 4x y F xy =⋅=r r ， 214y y G y =⋅=+r r ，
xx L =⋅=
r n 0xy M =⋅=r n ，
yy N =⋅=
r n
2222222222
4
4441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，
2232
222
12442
2(441)GL FM EN x y H EG F
x y -+++=⋅=-++． 103．【解】直接计算知
1E =，0F =，22G u a =+，0L =
，M =
0N =，
22
22
22
()LN M a K EG F u a -∴==--+． 第四章
104．【解】因为正螺面的第一基本形式为2
2
2
2
d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v-曲线0u u =，由2
π
θ=
得
d 0d s
θ
=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得
0220g u
u a
κ=
=+．
105.解 由一般参数的曲率公式3()t κ'''⨯=
'r r r 和挠率公式2
(,,)
()t τ''''''='''
⨯r r r r r 以及 ()(sinh ,cosh ,)
()(cosh ,sinh ,0)()(sinh ,cosh ,0)
t a t a t a t a t a t t a t a t '=''='''=r r r
有
||cosh t '=r ，
22||cosh t '''⨯r r ， 2(,,)a ''''''=r r r ，
2
2
1
(),2cosh 1
().2cosh t a t
t a t
κτ=
=
106.解 设抛物面的参数表示为22(,)(,,)x y x y x y =+r ，则
(1,0,2)x x =r ，(0,1,2)y y =r ，
(0,0,2)xx =r ，(0,0,0)xy yx ==r r ，(002)yy =，，r ，
102(2,2,1)012x y x x y y
⨯==--i
j
k
r r ，
||
x y x y ⨯=
=
⨯r r n r r ，
214x x E x =⋅=+r r ， 4x y F xy =⋅=r r ， 214y y G y =⋅=+r r ，
xx L =⋅=
r n 0xy M =⋅=r n ，
yy N =⋅=
r n ，
2222222222
4
4441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，
2232
222
124422(441)GL FM EN x y H EG F
x y -+++=⋅=-++． 107.解 因为0F =，所以是正交网。

圆柱螺线是v -曲线，由刘维尔定理有
v g k =
直接计算得221,E G u a ==+， 所以0
22
0v g u k u a
=
+。

五、证明题 第二章
108．【证】对曲线上任意一点，曲线的位置向量为(cos ,sin ,0)t t e t e t =r ，该点切线的切向量为：((cos sin ),(sin cos ),0)t t e t t e t t '=-+r ，则有：
2cos
2t θ'⋅==='r r r r ， 故夹角为
4
π。

由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角． 109．【证明】若'r 和''r 对一切线性相关，则存在恒不同时为0的(),()f t g t 使
()()()()f t t g t t '''+=r r 0。

则 ()() t t t '''⨯=∀r r 0。

又3
()t κ'''⨯=
'
r r r ，故 ()0k t =t ∀。

于是该曲线是直线．
110．【证明】由题意有
()(sin ,cos ,),()(cos ,sin ,0)t a t a t b t a t a t '''=-=--r r 。

由(,)(,)''''''''
-=
''''⋅⨯r r r r r r βr r r
知(cos ,sin ,0)t t =--β。

另一方面z 轴的方向向量为
(0,0,1)=a ，而0⋅=a β，故⊥a β，即主法线与z 轴垂直．
111．【证明】由题意可得()(sin 2,cos 2,sin )t a t a t a t '=-r ，则任意点的法平面为
)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点
（0,0,0）代入上述方程有
左边
)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，
故结论成立． 112．【证明】设011
11112
=+++-+-+D t C t
B t t A
，整理比较两边同次项可得 0,02,0=+++=-=-D C B A C A D A ，
则有D C D B D A 2,4,=-==，即曲线为直线，且有0124=++-z y x ． 第三章
113．【证明】设正螺面的参数表示是(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r ，则
(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ， (cos ,sin ,0)(sin ,cos ,)0u v v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r ，
故正螺面上的坐标曲线互相垂直．
114．【证明】参数表示为(,)(,,)x y x y xy =r ，则
(1,0,)x y =r ，(0,1,)y x =r ，(0,0,0)xx =r ，(0,0,1)xy =r ，(0,0,0)yy =r ，
(,,1)x y y x ⨯=--r r
，||
x y x y ⨯=
=
⨯r r n r r
0xx L =⋅=r n
，xy M =⋅=
r n ，0yy N =⋅=r n ，
22222
11
00011
LN M x y x y ∴-=⨯-
=-<++++， 故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点． 115．【证明】设球面的参数表示为
(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R v u R v u R v =r ，则
(cos sin ,cos cos ,0)u R v u R v u =-r ， (sin cos ,sin sin ,cos )v R v u R v u R v =--r ， (cos cos ,cos sin ,0)uu R v u R v u =--r ， (sin sin ,sin cos ,0)uv vu R v u R v u ==-r r ， (cos cos ,cos sin ,sin )vv R v u R v u R v =---r ，
22cos u u E R v =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，2v v G R =⋅=r r ，
2
cos
L R v
==-
，0
M==，
N R
==-，
1
(,,)(,,)
L M N E F G
R
∴=-，故球面是全脐的．
116．【证明】设平面的参数表示为(,)(,,0)
x y x y
=
r，则
(1,0,0)
x
=
r，(0,1,0)
y
=
r，
(0,0,0)
xx
=
r，(0,0,0)
xy
=
r，(0,0,0)
yy
=
r，
1
x x
E=⋅=
r r，0
x y
F=⋅=
r r，1
y y
G=⋅=
r r，
xx
L=⋅=
r n，0
xy
M=⋅=
r n，0
yy
N=⋅=
r n
(,,)0(,,)
L M N E F G
∴=，故平面是全脐的．
117．【证明】设曲面(,)
z f x y
=的参数表示为(,)(,,(,))
x y x y f x y
=
r，则
(1,0,)
x x
f'
=
r，(0,1,)
y y
f'
=
r，(0,0,)
xx xx
f''
=
r，(0,0,)
xy xy
f''
=
r，(0,0,)
yy yy
f''
=
r，
10(,,1)
01
x y x x y
y
f f f
f
'''
⨯==--
'
i j k
r r
，
(,,1)
||
x y
x y
f f
''
⨯--
==
⨯
r r
n
r r
，
xx
L
''
=⋅=
r n
，
xy
f
M
''
=⋅=
r n
yy
f
N
''
=⋅=
r n
22
(d,d)d2d d d)
xx xy yy
f x f x y f y
''''''
∴=++
II r r．
118．【证明】记曲面的参数表示为1/3
(,)(,,())
x y x y x y
=+
r，则
2/3
1
3
(1,0,())
x
x y-
=+
r，2/3
1
3
(0,1,())
y
x y-
=+
r，
5/3
2
3
(0,0,())
xx
x y-
=-+
r，
5/3
2
(0,0,())
xy
x y-
=-+
r，5/3
2
(0,0,())
yy
x y-
=-+
r，
2/32/311
33
((),(),1)x y x y x y --⨯=-+-+r r ， ||
x y x y ⨯=⨯r r n r r ，
5/329(0,0,())xx L x y -=⋅=-+⋅r n n ，
5/329(0,0,())xy M x y -=⋅=-+⋅r n n ，
5/329(0,0,())yy N x y -=⋅=-+⋅r n n 20LN M ⇒-=，
∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．
119．【证明】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v a =-r ，
(0,0,0)uu =r ，(sin ,cos ,0)uv v v =-r ，(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ，
cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v v
v
a v a v u u v u v a
⨯==--i
j k
r r ，
||u v u v ⨯=
=
⨯r r n r r ， 1u u E =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，22v v G a u =⋅=+r r ， 0uu L =⋅=r n
，uv M =⋅=r n ，0vv N =⋅=r n ，
2
121
0,22
EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是
极小曲面． 120．【证明】12
02
H κκ+=
= ， 12κκ∴=-， 21220K κκκ∴=⋅=-≤
当0K =时，120κκ==， ∴极小曲面的点都是平点； 当0K <时，极小曲面的点都是双曲点． 第四章
121．【证明】在每族测地线中任取两条，围成曲面上的曲边四边形．根据已知条件，曲边四边形的外角和为2,π由高斯-波涅公式有
d 22G
K σππ+=⎰⎰，
d 0G
K σ=⎰⎰．
若在曲面上的某点0P 处，0K ≠，不妨设0()0K P >，则在0P 点的邻近
0K >，从而对于围绕0P 点的充分小的曲边四边形有
d 0G
K σ>⎰⎰，
得出矛盾，所以0K ≡，即曲面为可展曲面． 122．【证明】由高斯-波涅公式有
d ()G
K S σπ=∆-⎰⎰．
对于半径为R 的球面有2
1
K R =
，所以 21
()()S A R
π∆=+
∆， 其中()A ∆为测地三角形的面积．
123．【证明】设若存在所述闭测地线()C ，它所围成的曲面部分为G ，则由高斯-波涅公式
1
d d ()2k
g
i
i G
G
K s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰ ．
因为0K <，则
d 0G
K σ≤⎰⎰，又后两项均为0，得出矛盾．所以不存在所述测地线．
124.证明 直纹面的参数表示为()()u v u =+r a b 。

由此得
()()u u v u ''=+r a b ，()v u =r b ， uu v ''''=+r a b ，uv '=r b ，vv =0r ，
=
n ，
2L =
M ''=
0N =。

所以22
222
(,,)0()LN M K EG F EG F ''-==-≤--b a b ，
等式成立的充要条件是(,,)0''=b a b ，即曲面是可展曲面。

125.证明 因,u v n n 是切向量，所以//u v u v ⨯⨯n n r r 。

设u v u v λ⨯=⨯n n r r 。

两边与u v ⨯r r 作内积得
()()()()u v u v u v u v λ⨯⋅⨯=⨯⋅⨯n n r r r r r r 。

由拉格朗日公式得K λ=。