山东省乐陵第二中学高一数学必修1教学课件：3.1.1 方程的根与函数的零点

第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
第一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根
的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系.
第二页，编辑于星期日：八点 五十九分。
韦达（Viete，Francois， seigneurdeLaBigotiere）是法国 十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号，并对方程
x
第五页，编辑于星期日：八点 五十九分。
引申:二次函数 y ax2 bx c(a 0的)图象和相应一元二次方 程 ax2 bx c 0(a 的0)根有何关系?
判别式
＞0 ＝0 ＜0
二次函数
方程 ax2 bx c 0(a 0) y ax2 bx c(a 0)
的根
的图象与x轴的交点
两不相等实数根
两个交点
两相等实数根 没有实数根
一个交点
没有交点
第六页，编辑于星期日：八点 五十九分。
函数的零点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的 零点．
思考：函数 y f (x)的图象与 x轴的交点和相应的方程
f (x) 0 的根有何关系？
第七页，编辑于星期日：八点 五十九分。
第十七页，编辑于星期日：八点 五十九分。
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b] 满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区 间(a,b)内存在零点.（ ）
如图,
y
a O
bx
虽然函数y=f(x)在区间[a,b] 满足f(a)·f(b)< 0,但是图象不是 连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.
由此可知，求方程 f (x) 0的实数根，就是求函数 y f (x) 的零点。对于不能用公式法求根的方程 f (x) 0来说，可以将它与函数 y f (联x系) 起来，
利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根
第九页，编辑于星期日：八点 五十九分。
y
探究： 如何求函数的零点？
5
观察二次函数 f (x) x2 2x 3
n+1](n∈Z)．
解：求方程 2x的根x的个数，即求方程
的根的个数，即在判断函
数 y 与x y (1)x 的图象交点个数。2由图可
y (1)x 2
x (1)x
y
2
y=x
知只有一解。
1
O 1234
x
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令 f (x) x (1)x 2
估算f(x)在各整数处的取值的正负：
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（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a)·
f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）
y
如图,
Oa
bx
可知，函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a)· f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。
x0123
f(x) －
+
＋
＋
由上表可知，方程的根所在区间为 0,1.
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方程有实数根 函数的图象与 轴x 有交点
零点。
函数有
f (x)连续f(a)f(b)0
则函数
f (x)
在 a, b 内存在零点
f (x)连续
f
(a)
f
(b)
0
则函数
f (x) 在a,b内存在唯一零点
A、大于0
B、小于0
C、无法判断
D、等于零
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例2.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点
所在的区间[n，n+1](n∈Z)
解： 方法1 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：
x123456789
f(x) -4 -1.3 1.1 3.4 5.6
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练习1、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ) B
A.(-2，-1)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
练习2、若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是
连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有
零点，则f(a)·f(b)的值( C)
结论:
x 方程 f (x) 0 的根是函数 y f (x)的图象与 轴的交
点的横坐标
方程f (x)＝0有实数根
函数y＝f (x)的图象与x轴有交点
函数y＝f (x)有零点
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注意：函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴
交点的横坐标！
零点对于函数而言，根对于方程而言．
在区间[-2，1]上有零点_____－_；1
4
f(-2)=____5___，f(1)=___－__4__，
3 2
f(-2)·f(1)___<0(“＜”或“＞”)．
1
在区间(2，4)上有零点_____3_；
f(2)·f(4)____<0（“＜”或“＞”）．
-1-1 o 1 2 3 4 5
-2
-3
-4
第十一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
论做了改进。
他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在 代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀 分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一
书中提出了二次、三次和四次方程的解。
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第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未 知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。 韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与 系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与 系数关系的结论称为“韦达定理”）。
方法2： 即求方程 lnx+2x-6=0的根的个数，即求 lnx=6-2x的根的个
数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数
y
如图可知，只有一 个交点，即方程只 有一根。
6
y=lnx
O 1234
x
y=－2x +6
第二十一页，编辑于星期日：八点 五十九分。
练习: 求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，
在区间(b,c)上_____有_(有/无)零点；
③在区间(c,d)上f(c)·f(d) __<_0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上___有_(有/无)零点；
第十三页，编辑于星期日：八点 五十九分。
y
cb
Oa
x
结论 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根.
第十四页，编辑于星期日：八点 五十九分。
例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a) ·f(b)< 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零 点.（ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a) ·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b) <0， 则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）
f (x)单调
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如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪 儿也去不了。
第二十五页，编辑于星期日：八点 五十九分。
由表可知f(2)<0，f(3)>0，
y 10
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在 8
区间(2,3)内有零点．
6
4
由于函数f(x)在定义域(0,+∞) 2
7.8 9.9 12.1 14.2 f(x)=lnx+2x－6
内是增函数，所以它仅有一个 零点．
O 123456 x -2 -4
第二十页，编辑于星期日：八点 五十九分。
4
3
的图象，如图，我们发现函数
2
f (x) x2 2x 3在区间2,1上有零点.
1
计算 f (2)和 f (1)的乘积，你能发现这
个乘积有什么特点？在区间 2, 4上是
否也具有这种特点呢？
-2-1-1 o 1 2
-2
-3
-4
345x
第十页，编辑于星期日：八点 五十九分。
y
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 5
思考：观察图象填空，在怎样的条件下，
函数 y f (x在) 区间 a上, d存 在零点？
y
a Ob
c dx
第十二页，编辑于星期日：八点 五十九分。
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)____<0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上_____有_(有/无)零点；
②在区间(b,c)上f(b)·f(c) ___<0(“＜”或“＞”)．
第十五页，编辑于星期日：八点 五十九分。
解：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且
f (a)·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.
（）
如图,
y
a O
bx
函数y=f(x)在区间[a,b]上有3个零点,“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.
第四页，编辑于星期日：八点 五十九分。
探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？
(1) x2 2x 3 0 与 y x2 2x 3
(2) x2 2x 1 0 与 y x2 2x 1
(3) x2 2x 3 0 与
y
y
y x2 2x 3
y
1 3 x
1
1x