海南省琼海市嘉积中学2014届高三数学上学期教学质量监测(段考)理 新人教A版

输出p
p k
N
k 否 2013-2014学年度第一学期高中教学质量监测（段考）
高三年级数学科试题（理科）
（时间：120分钟，满分：150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！
一、 单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 设集合{|10}M x x =+<，2
{|30}N x x x =+<，则M N ∩为（ ） A. {|0}x x >
B. {|31}x x -<<-
C. {|30}x x -<<
D. {|1}x x <-
2. 已知,x y R ∈，i 是虚数单位，且(1)2x i y i --=+，则x y
i -的值是（ ） A. 1
B. 1-
C. 4
D. 4-
3. “a 和b 都不是偶数”的否定形式是（ ） A. a 和b 至少有一个是偶数 B. a 和b 至多有一个是偶数 C. a 是偶数，b 不是偶数
D. a 和b 都是偶数
4. 若3cos 5α=-
，且3(,)2
παπ∈，则tan α为（ ） A. 34-
B. 43-
C.
3
4
D.
43
5. 执行右边的流程框图，若输入的N 是6，则输出的p 的值 是（ ）
A. 120
B. 720
C. 1440
D. 5040
6. 若210
cos S xdx π
=
⎰
，2
21
1
S dx x
=⎰
，231x S e dx =⎰
则123,,S S S 的大小关系是（ ）
A. 123S S S <<
B. 213S S S <<
C. 231S S S <<
D. 321S S S <<
7. 为了得到函数cos()3
y x π
=+
的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）
A. 向左平移
6
π
个长度单位 B. 向右平移
6
π
个长度单位 C. 向左平移56
π
个长度单位 D. 向右平移
56
π
个长度单位 8. 已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴是直线 6
x π
=，则函数
()sin 2cos 2g x a x x =--的单调递增区间是（ ）
A. 5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-
+∈
B. 5[2,2]()1212
k k k Z ππ
ππ-
+∈ C. 7[,]()12
12
k k k Z π
π
ππ+
+
∈
D. 7[2,2]()12
12
k k k Z π
π
ππ+
+
∈ 9. 锐角三角形ABC 中，若2C B ∠=∠，则
AB
AC
的取值范围是（ ）
A. B. (0,2) C. D. 2) 10. 已知2
1()ln 2
f x a x x =+
，若对任意不相等的两个正数12,x x 都有 1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）
A. [0,)+∞
B. (0,)+∞
C. (0,1)
D. (0,1]
11. 设3
()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则
123()()()f x f x f x ++的值（ ）
A. 一定大于零
B. 一定小于零
C. 小于或等于零
D. 正负均有可能 12. 已知函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为00(,)M x y ，记函数()f x 的导函
数为()f x '，()f x '的导函数为()f x ''，则有0()0f x ''=.若函数32
()3f x x x =-，则可求
出12340244025
(
)()()(
)()201320132013
20132013
f f f f f +++++的值为（ ） A. 4025
B. 4025-
C. 8050
D. 8050-
二、填空题（本大题共4个小题，每道题5分 ，共20分）
13. 若锐角,αβ
满足(1)(1)4αβ=，则αβ+= . 14. 已知函数()cos f x a x b =+的最大值为1，最小值为3-，则函数()sin g x b x a =+的最大
值是 . 15. 函数3
21()1(,)3
f x x ax bx a b R =
+-+∈在区间[1,3]-上是减函数，则a b +的最小值是 .
16. 设函数321
,(,1]12()111,[0,]
3
62x x x f x x x ⎧∈⎪⎪+=⎨⎪-+∈⎪⎩，()sin 22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在
12,[0,1]x x ∈使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）
已知1sin cos 1sin cos ()1sin cos 1sin cos f θθθθ
θθθθθ
-+--=
+
---+ （1）化简()f θ；
（2）求使()4f θ=的最小正角θ.
18.（本小题满分12分）
在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知1cos 3
A =
. （1）求2
2tan
sin 22
A A
+的值； （2）若6a =
，ABC S =△，求b 的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-（其中0a >且1a ≠），记
()()()h x f x g x =-.
（1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(3)2f =，求使()0h x <成立的x 的集合.
20.（本小题满分12分）
如图所示，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段
FBC .该曲线段是函数2sin()(0,0)3
y A x A π
ωω=+
>>在[4,0]x ∈-时的图象，且图象最高点是(1,2)B -.3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF .赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE . （1）求ω的值和DOE ∠的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路EF 上，
一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=.求当矩形面积取最大值时θ的取值.
21. （本小题满分12分）
已知函数2()ax
f x x b
=+在1x =处取极值2.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）当m 满足什么条件时，()f x 在区间(),21m m +为增函数；
（3）若00(,)P x y 是函数()f x 图象上一个动点，直线l 与函数()f x 图象切于P 点，求直
线l 的斜率的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，AB 为
O 的直径，,BC CD 是O 的切线，,B D 为切点．
（1）求证：AD ∥OC ； （2）若O 半径是1，求AD OC 的值.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相等单位长度.已知直
线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6
π
α=
．
（2）设直线l 与圆2ρ=相交于,A B 两点，求点P 到A 、B 两点的距离之积.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =--+．
（1）若()f x a ≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解不等式2
()2f x x x ≥-.
2013-2014学年度第一学期高中教学质量监测（段考）
一、
单项选择
题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1-6. B A A D B B 7-12. C C A A B D
二、填空题（本大题共4个小题，每道题5分 ，共20分） 13.
3
π
14. 13-或 15. 2 16. 14[,]23
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） 解:(1) (1cos )sin (1cos )sin ()(1cos )sin (1cos )sin f θθθθ
θθθθθ
+---=
+--+-
2
2222cos 2sin cos 2sin 2sin cos 2222222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
222222θθθθθθ
θθθθθθ--=
+--………………………………3’ 2cos (cos sin )2sin (sin cos )2222222sin (sin cos )2cos (cos sin )
222222
θθθθθθ
θθθθθθ--=
+--…………………………………5’ 2
2
cos sin cos sin 12
222
2sin sin
cos
sin cos
sin cos
2
2
22
22
θθθ
θ
θ
θ
θθθθ
θ
+=-
-
=-=-
=-
…………………8’ (2)由()4f θ=得2
4sin θ
-
= 1
sin 2
θ∴=-……………………………………………………………………………10’
故所求的最小正角76
π
θ=……………………………………………………………12’
18.（本小题满分12分）
高三年级数学科试题（理科）答案
解：（1）2
22211cos 2
tan sin sin (1)(1)22221cos cos 2
A A A A A A
-+=+=++………3’ 1cos 3A =
∴原式11253(1)126
13-
=
+=+………………………………………………………….6’ （2
）11sin 22
ABC S bc A ===△
27bc ∴=…………………………………………………………………………………8’
又6a =，1cos 3A =，222
2cos a b c bc A =+-
22223618=54b c b c ∴=+-+，即：………………………………………………10’
解27bc =，22
=54b c +
得b =12’
19. （本小题满分12分）
解:(1)由题意10
10x x +>⎧⎨->⎩
11x ∴-<<
故()h x 的定义域为：(1,1)-…………………………………………………………3’ 显然()h x 的定义域关于原点对称
()()()log (1)log (1)()()()a a h x f x g x x x g x f x h x -=---=--+=-=-
故()h x 是定义域上的奇函数…………………………………………………………6’ （2）由(3)2f =得2a =……………………………………………………………8’ 由()0h x <得22log (1)log (1)x x +<-
于是011x x <+<-，解得：10x -<<…………………………………………11’ 故所求的x 的集合是{}|10x x -<<………………………………………………12’ 20. （本小题满分12分） 解：（1）由已知条件得：2,
34
T
A ==
26
T π
π
ωω
=
∴=
…………………………………………………………………2’
故曲线段FBC 的解析式为22sin(
)6
3
y x π
π
=+
…………………………………3’
当0x =
时，y OC ==，又CD =
4
COD π
∴∠=
从而4
DOE π
∠=
(5)
’
（2）由（1
）知OD =OP =，(0,)4
POE
π
θ∠=∈
矩形草坪的面积)S θθθ=
-………………………………8’
2
116(sin cos sin )6(sin 2(1cos 2))22
θθθθθ=-=-
-………9’
)34
π
θ=+
-……………………………………………10’
(0,)4
πθ∈，24
2
ππθ∴+=，即8
π
θ=时，S 取最大值………………………12’
21. （本小题满分12分）
解：（1）222
()
()()a b x f x x b -'=+…………………………………………………………1’
由已知(1)0(1)2f f '=⎧⎨=⎩，即2(1)
0(1)2
1a b b a b -⎧=⎪+⎪
⎨⎪=⎪+⎩
41a b =⎧∴⎨
=⎩ ∴函数()f x 的解析式为24()1
x
f x x =
+……………………………………………3’ （2）由（1）得222
4(1)
()(1)
x f x x -'=+，令()0f x '>，解得11x -<<……………4’ 故()f x 在[1,1]-上是增函数………………………………………………………5’ 又()f x 在(),21m m +上为增函数
121121m m m m ≥-⎧⎪
∴+≤⎨⎪+>⎩
解得10m -<≤……………………………………………………7’
即当10m -<≤时，函数()f x 在(),21m m +为增函数…………………………8’ （3）直线l 与()f x 图象切于00(,)P x y 点
故l 斜率2
0022222
0004448
()(1)1(1)
x k f x x x x --'===++++………………………………9’ 令2
011t x =
+，则01t <≤，2
211848()42
k t t t =-=--………………………10’ 当14t =
时，min 1
2
k =-，当1t =时，max 4k =…………………………………11’ 故直线l 斜率的取值范围是1
[,4]2
-………………………………………………12’
22. （本小题满分10分） 解：连接,BD OD （1）
,CB CD 是O 两切线
BD OC ∴⊥，90ODB DOC ∴∠+∠=
又AB 是
O 的直径，AD DB ∴⊥
90ODB ADO ∴∠+∠=
ADO DOC ∴∠=∠
∴AD ∥OC ………………………………………………………………………5’ （2）AO OD =，ADO A DOC ∴∠=∠=∠ Rt BAD Rt CDO ∴△∽△ AD BA
OD OC
∴=
212AD OC AB OD ∴==⨯=…………………………………………………10’
23. （本小题满分10分）
解：（1）直线l 的参数方程为312112
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（t 为参数）………………………4’ （2）因为,A B 都在直线l 上，所以可设它们所对应参数分别是12,t t 由直线参数几何意义知：12,t PA t PB ==
圆2ρ=的直角坐标方程是：22
4x y +=
直线l
的参数方程代入圆的直角坐标方程，整理得：21)20t t +-= 因为,A B 是圆2ρ=与直线l 的两交点，故12,t t
是21)20t t +-=的解
从而122t t =- 故122PA PB t t ==……………………………………………………………10’
24. （本小题满分10分）
解：（1）3(1)()21(12)3(2)x f x x x x ≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩
又当12x -<<时，3213x -<-+<，3()3f x ∴-≤≤
若要使()f x a ≤恒成立，只需max ()3a f x ≥=
a ∴的取值范围是[3,)+∞…………………………………………………………5’
（2）当1x ≤-时，2231
x x x ⎧-≤⎨≤-⎩，解得：1x =-
当12x -<<时，222112
x x x x ⎧-≤-+⎨-<<⎩，解得：11x -<≤
当2x ≥时，2232x x x ⎧-≤-⎨≥⎩
，此时无解 综上所述，不等式2()2f x x x ≥-的解集是[1,1]-……………………………10’。