九年级数学辅导： 圆 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
姓名 日期
【知识要点】
1．直线和圆的位置关系
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么： （1）直线l 和相交⇔d ＜r ，直线和圆有两个交点； （2）直线l 和⊙O 相切⇔d=r ，直线和圆只有一个交点； （3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ，直线和圆没有交点。

2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.切线的判定方法：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

（3）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

判定切线有三种方法，在几何证明中常用的是后两种方法，用后两种方法判定切线时，往往要添加辅助线。

4.切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

注意：对于切线性质定理的两个推论：
(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个。

5.外切多边形：
（1）和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。

（2）圆的外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边的和相等。

【典型例题】
例1
（1）圆外切等腰梯形的上底为4cm ，圆的半径为3cm ，那么这个梯形的腰长为 cm （2）在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标是（m ,0），半径是2，如果⊙M 与y 轴所在直线相切，那么m = ，
如果⊙M 与y 轴所在直线相交，那么m 的取值范围是 。

（3）已知⊙O 的半径为4cm ，P 为直线l 上一点，若P O=4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是 (4)下列说法正确的是（ ）
（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．
A 、（1）（2）（3）
B 、（2）（3）（5）
C 、（2）（4）（5）
D 、（3）（4）（5）
(2)
(3)
例2 如图，已知，在ABC ∆中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于D 点，过D 作AB DE ⊥于E ，求证：DE 为⊙O 的切线。

例3 如图，已知P 是⊙O 外一点，从P 引两条射线，分别与⊙O 交于A 、B 及C ，且PA PC =2
·PB ，求
证：PC 是⊙O 的切线。

例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，BC DE ⊥，垂足为E ，求证：（1）DE 是⊙O 的切线。

（2）CE CD =2
·CB
例5．如图，已知AB 为半圆的直径，O 为圆心，BE 、CD 为半圆的切线，切点分别为B 、C ，DC 的延长线交⊙O 于F ，AC 的延长线交BE 于E ，AD DC ⊥于D 。

（1）求证：BF=EF ；（2）若CE:CA=3:1，求证：CF:AC:AD=32:2:1
·
A B C D E O ·
A
B
O P
C
A B D
E
C
·
A
B
O
D C
E
F
例6．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ． 求证：AD 和⊙O 相切．
课堂练习
一、选择题
1．如图1所示，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，OP 交⊙O G 于点C ，在下列结论中，错误的是（ ）
A ．∠1=∠2
B ．PA=PB
C ．AB ⊥OP
D ．2
PA PC PO =g 2．已知圆的半径为6.5cm ，如果一条直线和圆心的距离为6.5cm ，那么这条直线与圆的位置关系是（ ）。

A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相交或相离
3．如图2所示，一正方形同时外切和内切于两个同心圆，
当小圆的半径为r 时，大圆的半径应为（
）。

A B ．
1.5r C D ．2r
4．如图3，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，4,PA =则⊙O 的半径等于（ ）。

A ．1 B ．2 C ．32
D 5．如图4所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，
E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点
F ，若⊙O 则BF 的长为（ ）
A 二、解答题
1．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且
PC PB PA ⋅=2．求证：PA 是⊙O 的切线．
P 图1
图2 B P 图3 图4 A
B O
D C
· ·
P
A
B
O C
课后作业
姓名 日期 完成时间 家长签名 1．如图，AB 为直径，D 为AB 延长线上一点，AC 为弦，且∠DAC=0322'︒，∠ADC=︒45，则CD 与⊙O 的位置关系是 ．
2．直线AB 和圆心的距离为15cm ，若AB 和⊙O 相离，则半径r = ．若AB 与⊙O 相切，则半径r = 。

若AB 与⊙O 相交，则半径r = ． 3．以边长为1cm 的等边ABC ∆的顶点A 为圆心，以2
3
cm 的半径作⊙O ，则⊙O 与BC 的位置关系是 ．
4．已知圆心O 到直线l 的距离d 和⊙O 的半径r 是方程06322
1
2=+-x x 的两个根，则直
线l 和⊙O 的位置关系是 ．
5．在ABC Rt ∆的斜边AB=16cm ，直角边AC=8cm ，以C 为圆心，以8cm 为半径作圆，则直线AB 与⊙C 的位置关系是 ．
6如图所示，已知直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=︒90，AD ∥BC ，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，以AB 为直径的圆与边CD 有怎样的位置关系？
7．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．
A D
E
B
C
· A
O
C B
D
D
· A
O B。