2019届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标44双曲线文新人教版20180723468

课堂达标(四十四) 双曲线
[A 基础巩固练]
1．“m <8”是“方程
x 2
m －10－
y 2
m －8
＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 方程
x 2m －10－
y 2m －8
＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程
x 2
m －10－
y 2
m －8
＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
[答案] A
2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 2
4＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲
线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )
A.37＋4
B.37－4
C.37－2 5
D.37＋2 5
[解析] 由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，
则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，
∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. [答案] C
3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，C 1与C 2的离
心率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
[解析] 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2
a ，所以
a 2－
b 2a ·a 2＋b 2a ＝3
2
， 所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4
，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，
即x ±2y ＝0.
[答案] A
4．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以
C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 2
12＝1
B.x 27－y 29＝1
C.x 28－y 28
＝1 D.
x 2
12－y 2
4
＝1 [解析] 由题意知c ＝4，A (a ，b )，所以(a －4)2
＋b 2
＝16，又a 2
＋b 2
＝16 ∴a ＝2，b 2
＝12；所以双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1，故选A.
[答案] A
5．(2018·广西名校猜题卷)过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近
线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →
，则此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2
D. 5
[解析] 如图因为FB →＝2FA →
，所以A 为线段FB 的中点，
∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°， 所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3.
故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒b a
＝ 3. ∴e 2
＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝4⇒e ＝2. [答案] C
6．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)已知双曲线C 1：x 2
4－y 2
＝1，双曲线C 2：x 2
a
2－
y 2
b 2
＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )
A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
[解析] 双曲线C 1：x 2
4－y 2
＝1的离心率为52，
设F 2(c,0)，双曲线C 2一条渐近线方程为y ＝b
a
x ， 可得|F 2M |＝
bc a 2＋b
2
＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2
＝a ， 由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2
，
且c a ＝
5
2
，解得a ＝8，b ＝4，c ＝45，即有双曲线的实轴长为16. [答案] B
7．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为______．
[解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
4＝a 2
＋b 2
，4a 2－9
b 2＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝1，b 2
＝3，
∴双曲线的标准方程为x 2
－y 2
3＝1. [答案] x 2
－y 2
3
＝1
8．(2018·海南海口4月调研)过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b <0)的右焦点且垂于x 轴的直
线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥5
13|CD |，则双曲线
离心率的取值范围为______．
[解析] 易知|AB |＝2b 2
a ，因为渐近线y ＝±
b a x ，所以|CD |＝2bc
a
，
由
2b
2
a ≥513·2bc a 化简得
b ≥513
c ，即b 2≥25169c 2，所以c 2－a 2
≥25169c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2≥169144
， 解得c a ≥1312
.
[答案] ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1312，＋∞
9．(2018·南昌二模)已知等腰梯形ABCD 中AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C 、D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是______．
[解析] 当双曲线过C ，D 时，由平面几何可知∠ACB ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝23，
所以2c ＝4，|CA |－|CB |＝2(3－1)＝2a ，即a ＝3－1，c ＝2，此时c
a
＝
23－1
＝3＋
1，若双曲线与线段CD 相交，那双曲线的张口变大，离心率变大，即e ≥3＋1，故填：[3＋1，＋∞)．
[答案] [3＋1，＋∞)
10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶
点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.
[解] (1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一
个顶点，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
c a ＝3，
a ＝3，
解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 2
6＝1.
(2)双曲线x 23－y 2
6
＝1的右焦点为F 2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝
3
3
(x －3)． 联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x 23－y 2
6＝1，y ＝33x －3
，
得5x 2
＋6x －27＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－27
5.
所以|AB |＝1＋1
3
× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－275＝1635.
[B 能力提升练]
1．(2018·三明质检)已知P 是双曲线x 2
3－y 2
＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →
的值是( )
A ．－38
B.316
C ．－
38
D ．不能确定
[解析] 令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是
x
3
－y ＝0，
x
3
＋y ＝0，
所以可取|PA |＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x 03－y 01
3
＋1，|PB |＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 03＋y 01
3
＋1，
又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－1
2
，
所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →
|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
x 2
03－y 2043
·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－38.
[答案] A
2．(2018·山西太原二模)已知双曲线x 2
3－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是AB 的中点，则△OAB (O 为坐标原点)的面积是( )
A ．4 3
B ．313 C.14
D ．2 3
[解析] 双曲线x 2
3
－y 2
＝1的a ＝3，b ＝1，
c ＝3＋1＝2，
右焦点为(2,0)，则抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为(2,0)，
即有2＝p
2，解得p ＝4，即抛物线方程为y 2
＝8x ，
联立直线y ＝kx ＋m ，可得k 2x 2
＋(2km －8)x ＋m 2
＝0， 判别式Δ＝(2km －8)2
－4k 2m 2＞0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 1＋x 2＝8－2km
k
2
， 点M (2,2)是AB 的中点，可得8－2km k
2
＝4，且2＝2k ＋m ， 解得k ＝2，m ＝－2. 满足判别式大于0. 即有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1， 可得弦长|AB |＝1＋4·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝5·16－4＝215，
点O 到直线2x －y －2＝0的距离d ＝|0－0－2|4＋1＝25
，
则△OAB (O 为坐标原点)的面积是12d ·|AB |＝12×2
5×215＝2 3.故选：D.
[答案] D
3．(2018·日照模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于
x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为______．
[解析] 设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，
代入双曲线方程得y 0＝±b 2a ，∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b
2
a
.
在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，
∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2
a
.
又∵c 2
＝a 2
＋b 2
，∴b 2
＝2a 2
或2a 2
＝－3b 2
(舍去)． ∵a >0，b >0，∴b a
＝ 2.
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . [答案] y ＝±2x
4．(2018·咸阳模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0且a ≠b )的两个焦点，
P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．给出下面四个命题：
①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝a 上；
②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝b 上； ③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a,0)． 其中所有真命题的序号是______．
[解析] 设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，PF 2切于A ，B ，与F 1F 2切于M ，则|PA |＝|PB |，|F 1A |＝|F 1M |，|F 2B |＝|F 2M |，又点P 在双曲线的右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设点M 的坐标为(x,0)，则由|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得(x ＋c )－(c －x )＝2a ，解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴．由以上分析易知，①④正确，②③错误．
[答案] ①④
5．(2018·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
[解] (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b
a
x ，∴a ＝b ， ∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝2a 2
＝4，∴a 2
＝b 2
＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 2
2＝1.
(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，
∴直线AO 的斜率满足y 0x 0
·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0.①
依题意，圆的方程为x 2
＋y 2
＝c 2
，
将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2
，即y 0＝12c ，
∴x 0＝
32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32
c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14
c 2b
2＝1，
即34b 2c 2－14
a 2c 2＝a 2
b 2
.② 又∵a 2
＋b 2
＝c 2
，∴将b 2
＝c 2
－a 2
代入②式， 整理得：34
c 4－2a 2c 2＋a 4
＝0，
∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2＋4＝0，
∴(3e 2
－2)(e 2
－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.
[C 尖子生专练]
已知椭圆C 1的方程为x 2
4＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2
的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
＞2，求k 的取值范围．
[解] (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝4－1＝3，c 2
＝4，再由
a 2＋
b 2＝
c 2，得b 2＝1，
故双曲线C 2的方程为x 2
3－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2
＝1，
得(1－3k 2
)x 2
－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，
得⎩⎨
⎧
1－3k 2
≠0，Δ＝－62k
2
＋361－3k
2
＝361－k
2
＞0，
∴k 2＜1且k 2
≠13.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9
1－3k 2.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2
＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2
＋7
3k 2－1
.
又∵OA →·OB →
＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2
＋73k 2－1＞2，
即－3k 2
＋93k 2
－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13
＜k 2
＜1，
故k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－1，－
33∪⎝⎛⎭
⎫33，1.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。