人教版高一数学正弦 余弦的诱导公式 教案

高一数学正弦余弦的诱导公式
课题：§4.5正弦、余弦的诱导公式
（一）课题教材分析：
（二）素质教育目标：
1.知识目标：
2.（1）理解诱导公式的推导方法；
3.（2）使学生掌握正弦、余弦的诱导公式；
4.（3）能正确运用这些公式求任意角的正弦、余弦值；
5.（4）能进行简单三角函数式的化简与恒等式证明；
6.能力目标：
7.（1）理解掌握诱导公式及其应用，提高三角恒等变形的能力；
8.（2）提高分析问题和解决问题的能力；
9.德育目标：
10.通过公式的运用，渗透从未知到已知、复杂到简单的转化思想；
（三）课型课时计划：
1.课题类型：新授课；
2.教具使用：常规教学；
3.课时计划：本课题共安排3课时；
（四）教学三点解析：
1.教学重点：四组诱导公式的推导与符号规律的记忆，诱导公式的运用；
2.教学难点：符号规律的理解和记忆、转化思想的渗透；
3.教学疑点：运用诱导公式时符号的确定；
（五）教学过程设计
一.温故知新，引入课题
1.问题：sin7080°=？[=sin（20×360°－120°）或=sin（19×360°＋240°）]
2.背景：数学用表给出了0度到90度的三角函数值，怎样求任意角的三角函数呢？对于0°~90°间的三角函数值，可以通过查表求得，但是对于任意角α的三角函数值，不一定都能直接求得；数学的一个基本思想方法就是化归转化，能否将任意角α的三角函数求值问题转化为0°~90°间的三角函数求值问题，就成为我们今天的课题：诱导公式。

3.复习：
（1）三角函数的定义；
（2）三角函数值的符号规律；
（3）诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等，公式怎么表示，它们的作用是什么？
α
α
πsin
)
2
sin(=
+
kα
α
πcos
)
2
cos(=
+
kα
α
πtan
)
2
tan(=
+
k
诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°~360°间的三角函数值的问题；如果90到360度角的三角函数的值能够转化为0到90度的三角函数值，那么任意角的三角函数值都能通过数学用表求出了。

二.新课教学
1.预备知识：设︒
<
≤
︒90
0α，则0°~360°之间的角β可以并且只能表示以下四种形式的一种：⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
︒
︒
∈
︒
︒
∈
︒
︒
∈
︒
︒
∈
-
︒
+
︒
-
︒
=
)
360
,
270
[
)
270
,
180
[
)
180
,
90
[
)
90
,
0[
360
180
180
β
β
β
β
α
α
α
α
β
2.在直角坐标系中分别画出角α、180°－α、180°＋α、360°－α的终边，并观察α的终边与180°－α、180°＋α、360°－α的终边的关系。

3.我们的目的就是找到sin（180°－α）与sinα，sin（180°＋α）与sinα，……的关系，为了使推导过程更具有一般性，设α为任意角。

4.引导学生根据定义进行推导诱导公式（二），同时使学生理解为何要利用单位圆（教师板书推导全过程）。

以单位圆为载体，构造α
α,
180+
︒的角，设角α的终边与单
位圆交于点P（x，y），则r=1，角180°＋α的终边与单位圆交于
点P`（x，－y），由此，sinα=y，cosα=x，
sin（180°＋α）=－y，cos（180°＋α）=－x，从而得到：
sin（180°＋α）=－sinα，cos（180°＋α）=－cosα；于是得到诱导公式（二）。

P(x,y)
x
P'(-x,-y)
y
5.推导诱导公式（三）：参照上述证明，学生口述。

6.利用公式二和公式三可推得公式四：
ααααα
αααcos )cos()](180cos[)180cos(sin )sin()](180sin[)180sin(-=--=-+︒=-︒=--=-+︒=-︒
7.利用公式一和公式三可推得公式五：
ααααα
αααcos )cos()](360cos[)360cos(sin )sin()](360sin[)360sin(=-=-+︒=-︒-=-=-+︒=-︒
8.公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式，它们可以概括如下：
αααα-︒±︒-︒⋅+360,180,,360k 的三角函数值，等于α的同名①函数值，前面加上一个把α看成锐角时
原函数值的符号；简单说成：函数名不变，符号看象限。

函数；
9.应用举例一：求下列各三角函数的值 （1）21
30sin )30180sin(210sin -
=︒-=︒+︒=︒ （2）2
245cos )45180cos(225cos -
=︒-=︒+︒=︒； （3）2
33
sin
)3
sin(-
=-=-
π
π
（4）2
36
cos
)6
cos(=
=-
π
π
（5）233sin )3sin(32sin
==-=ππππ （6）224cos )4cos(43cos
-=-=-=ππππ （7）2
24sin )42sin(47sin
-=-=-=ππππ （8）2
3
30cos )30360cos(330cos =
︒=︒-︒=︒ （9）2
330cos )30180cos()2103604cos()1230cos(-
=︒-=︒+︒=︒+︒⋅-=︒- 2
3150cos )1503603cos(1230cos )1230cos(-=︒=︒+︒⋅=︒=︒- （10）21
3cos )32cos()3512cos(341cos )341cos(==-=+==-
πππ
ππππ
2
1
3cos )314cos()341cos(==+-=-ππππ
10.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般按下面步骤进行：
11.应用举例二：化简和化简求值 （1）
)
180cos()180sin()
360sin()180cos(αααα-︒-⋅︒--︒+⋅+︒
解：原式=
1)
cos (sin sin cos )]180(cos[)]180(sin[sin cos =-⋅⋅-=-︒-⋅︒+-⋅-ααα
ααααα
（2）
)
sin()3sin()cos()
cos()2sin(πααπαπαπαπ--⋅-⋅-+⋅-
解：原式=
α
αααααsin 1
sin sin )cos ()cos ()sin (-=⋅⋅--⋅-
（3）已知6
37π
α-
=，求值：)2(cos )sin()(sin 1)2cos()cos()sin(22
2απαπαπαπαπαπ+-+--+-+-⋅+ 解：原式=
αααααααααααcot )
1sin 2(sin )
1sin 2(cos cos sin sin 1cos cos sin 222=++=-+++⋅
当637πα-
=时，原式=3)6
cot()66cot()637cot(-=-=--=-π
πππ 说明：有附加条件的求值或化简求值问题，一般先把所求化简或化简求值的式子化简然后再求值； （4）已知41518sin -=
︒，求︒︒1368cos ,198sin 的值；（答案：4
1
5,451--）
（5）已知33)6cos(=-απ
，求)6
(sin )65cos(2π
ααπ--+的值；
（答案：3
3
2+-
） （6）已知 sin β=1/3，sin （α+β）=1，求sin （2α+β）的值。

解：由sin （α+β）=1得：α+β=2k π+π/2，故 2（α+β）=4k π+π；
则sin （2α+β）=sin[2（α+β）—β]=sin （4k π+π—β）=sin （π—β）=sin β=1/3。

12.应用举例三：化简求值、证明 （1）求证：
)(sec 2)
2cos(sin ]
)12(sin[])12(sin[Z n n n n ∈-=-⋅++++-ααπαπαπα
（2）化简：Z n n ∈+),cos(απ；（答案：αcos )1(n
-） （3）化简：Z n n ∈-),cos(απ；（答案：αsin )1(n
-） （4）化简：
]
)1cos[(])1sin[()
cos()sin(απαπαπαπ-+⋅+++⋅-k k k k ；（答案：－1）
（5）已知x x f 2002cos )(cos =，求)30(sin ︒f 的值
解：2
1
)240360333cos()602002cos()60(cos )30(sin -=︒+︒⋅=︒⨯=︒=︒f f
问题：能求)(sin x f 吗？
x x x x f x f 2002cos )20021001cos()]2
(2002cos[)]2[cos()(sin -=-=-⋅=-=ππ
π
（6）有关三角形的应用：已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，则 ①2
22,
C B A C B A -=+-=+ππ ②C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+ ③2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+ 13.课堂练习一：课本练习P-1、3、4 补充（1）2
1
6sin )6sin()672sin(619sin
-=-=+=+=ππππππ 补充（2）2
2
225cos )2253604cos(1665cos )1665cos(-=︒=︒+︒⋅=︒=︒- 课堂练习二：对于正切函数，求证下列诱导公式： （1）ααtan )180tan(-=-︒ （2）ααtan )180tan(=+︒ 补充：已知5
4
cos -
=α，求)sin()3sin()2cos()cos()3cos()5sin(απαπαπαπαπαπ-+-+--的值；
解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-+--是第三象限角是第二象限角ααααπαπαπαπαπαπ3
434
cot )sin()3sin()2cos()
cos()3cos()5sin(
课堂练习三：已知4
32,103cos sin π
απαα<<-=⋅，求)sin()tan(απαπ-+k k ，Z k ∈的值；
先求3tan ,1010cos ,10103sin -=-==
ααα，原式=10
1091k ）（-
三.归纳小结，强化思想
我们学习180°＋α、－α、180°－α、360°－α形式的诱导公式，可用口诀“函数名不变，符号看象限”来帮助记忆，正确掌握公式符号是运用诱导公式解题的关键； 四.作业布置 1.读书部分：
课本的四个公式及其运用，符号的记忆，熟悉角度和弧度表示的公式形式，认真领会课本对诱导公式二、三、
四、五的概括文字；
2.课后思考：αα±︒+︒270,90与α的正弦、余弦值之间的三组诱导公式的形式；
3.书面作业：
作业（一）：课本（P33）习题4.5-1（1）（3），2（1）（6）；课时训练1-选择填空题 作业（二）：课本（P33）习题4.5-3；课时训练2 作业（三）：课时训练-综合测试 五.板书设计： 六.教学反馈。