函数的基本性质(教案)

[课题 ]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质
主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间： 2013 年 9 月 30 日使用班级（ 21）（ 22）计划上课时间： 2013-2014 学年第一学期第 6周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容 ]：
课标要求教学大纲要求广东考试说明的内容
①通过已学过的函数特别是二次函①了解函数的单调性的概念，①理解函数的单调性、最大值、数，理解函数的单调性、最大（小）掌握判断一些简单函数的单最小值及其几何意义；结合具体
值及其几何意义；结合具体函数，了调性的方法。

函数，了解函数奇偶性的含义．
解奇偶性的含义。

②能够运用函数的性质解决②会运用函数图象理解和研究
②学会运用函数图象理解和研究函某些简单的实际问题。

函数的性质．
数的性质。

【教材与学情分析】
学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初
等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还
不过关，需要加强。

学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、
奇偶性的定义理解透彻。

[教学目标 ]：
知识目标：能力目标：情感态度与价值观目标：1．运用已学过的函数特别是二次函1．会用定义证明函数的单 1.树立用数形结合思想解决数的图象，理解函数的单调性、调性，会求函数的单调区问题的意识 .
最大（小）值及其几何意义；间及求函数的最值； 2.通过学习数学推理的能力，2．会用定义证明函数的单调性，会2．会判定简单函数的奇偶性；体会数学推理的严谨性。

求函数的单调区间及求函数的最 3.进一步体会数学语言的简
值；洁性与明确性，发展运用数学3．结合具体函数，了解奇偶性的含语言交流问题的能力。

义，会判定简单函数的奇偶性；
[教学重难点 ]：
1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性
的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。

[课的类型、教具、教法、教时]：
课的类型教具主要教法教时
新授课多媒体课件阅读交流、合作探究5
第 1 课时 1.3.1单调性与最大（小）值（1）
【教学目标】
1.运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3.会用定义证明函数的单调性
【教学重难点】
教学重点 : 理解函数的单调性的含义及其几何意义.
教学难点 : 用定义证明函数的单调性.
【教学过程】
一、引入课题
1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
y y y
11
-11x-11x
-1-1
○1随x的增大，y的值有什么变化？
○2能否看出函数的最大、最小值？
2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1． f(x) = x
○1从左至右图象上升还是下降______?
○2在区间____________ 上，随着x 的增大， f(x) 的值随着________ ．
2． f(x) = -2x+1
○1从左至右图象上升还是下降______?
○2在区间____________ 上，随着x 的增大， f(x) 的值随着________ ．
3． f(x) = x 2
○1在区间 ____________ 上， f(x) 的值随着x 的增大而 ________ ．
○2在区间____________ 上， f(x) 的值随着x 的增大而 ________ ．
二、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I ，
1
-11x -1
y
1
-11x
-1
y
1
-11x
-1
如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1<x2时，都有 f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数（ increasing function ）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
○2必须是对于区间 D 内的任意两个自变量的值x1， x2；当x1<x 2时，总有f(x 1 )<f(x 2)．
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x) 的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x) 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：
○1任取 x1， x2∈ D ，且 x1<x 2；
○2作差 f(x 1)－ f(x 2)；
○3变形（通常是因式分解和配方）；
○4定号（即判断差f(x 1 )－ f(x 2)的正负）；
○5下结论（即指出函数f(x) 在给定的区间 D 上的单调性）．
（二）典型例题
例1．（教材 P29例 1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本 P32练习第 3 题
例2．（教材 P29例 2）根据函数单调性定义证明函数的单调
性．解：（略）
巩固练习：
○1课本 P32练习第 4 题；
2y = x +1
○ 证明函数在（ 1， +∞）上为增函数．
x
思考：画出反比例函数 y =1的图象．
x
○1这个函数的定义域是什么？
○2它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论．
三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定
义域，单调性的证明一般分五步：
取值→作差→变形→定号→下结论
四、作业布置
课本 P39习题 1．3（ A 组）第1、2题．
五、教学反思：利用定义证明函数的单调性的变形过程是难点。

第 2 课时 1.3.1单调性与最大（小）值（2）
【教学目标】
1．理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
【教学重难点】
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
【教学过程】
一、引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（ 1）f ( x) = - 2 x + 3（2）f ( x) = -2x + 3x ? [1,2]
（ 3）f ( x) = x2+ 2x + 1（4）f ( x) = x2+ 2 x + 1 x ? [0,2]
二、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤ M ；
（2）存在 x0∈I，使得 f(x 0) = M
那么，称 M 是函数 y=f(x) 的最大值（ Maximum Value ）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x) 的最小值（ Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：
x0∈I，使得 f(x 0) = M ；
○ 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在
1
○ 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有 f(x) ≤M （ f(x) ≥2
M ）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
1
○ 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
2
○ 利用图象求函数的最大（小）值
3
○ 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数 y=f(x) 在区间 [a，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x) 在 x=b 处有最大值f(b) ；
如果函数 y=f(x) 在区间 [a，b]上单调递减，在区间[b， c]上单调递增则函数y=f(x) 在 x=b 处有最小值f(b) ；
（二）典型例题
例1．（教材 P30例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）
值．解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然
后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为
25cm 的圆形木头锯成矩形木料，
25
如果矩形一边长为 x，面积为 y 试
将 y 表示成 x 的函数，并画出函数
的大致图象，并判断怎样锯才能使
得截面面积最大？
例 2．（新题讲解）
旅馆定价
一个星级旅馆有150 个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）住房率（%）
16055
14065
12075
10085
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为 160 元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存
在线性关系．
设 y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160 -x) 元
时，住房率为 (55 +x
?10)% ，于是得20
y =150·(160 -x) · (55 +x10)% = ．
x
20
?10)% ≤1，可知0≤x≤90．
由于 (55 +
20
时，求 y 的最大值的问题．
因此问题转化为：当 0≤x≤ 90
将 y 的两边同除以一个常数0.75，得y1=－x2＋ 50 x＋ 17600．
由于二次函数y 1在x=25时取得最大值，可知 y 也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－ 25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为 13668.75（元）．
所以该客房定价应为 135 元．（当然为了便于管理，定价140 元也是比较合理的）例 3．（教材 P31例 4）求函数y =2在区间 [2，6] 上的最大值和最小值．
x - 1
解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．
巩固练习：（教材 P32练习 5）
三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取值→作差→变形→定号→下结论
四、作业布置
课本 P39习题 1．3 A组第5题． B组第1题
五、教学反思：函数单调性可以从三个方面理解：（ 1）图形刻画：函数图象在给定区间从左向右
连续上升则函数是增函数。

（ 2）定性刻画：函数在给定区间y 随 x 的增大而增大，则是函数是增函数，y 随 x 的增大而减小，则函数是减函数（3）定量刻画：利用定义证明。

第 3 课时 1.3.1单调性与最大（小）值（3）
【教学目标】
1．通过习题训练进一步理解函数的单调性和最大（小）值及其几何意义；
2．运用函数图象理解和研究函数的性质；
【教学重难点】
教学重点：函数的单调性和最大（小）值及其几何意义．
教学难点 ：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 【教学过程】 一、 复习回顾：
1．证明函数单调性的步骤：
① 任取 x 1， x 2∈ D ，且 x 1<x 2； ②作差 f(x 1)－ f(x 2 )；
③ 变形（通常是因式分解和配方） ； ④ 定号（即判断差
f(x 1 )－f(x 2)的正负）；
⑤ 下结论（即指出函数
f(x) 在给定的区间 D 上的单调性） ．
2．求函数单调区间的方法：根据图象判断。

3．求函数最大（小）值的方法；
① 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ② 利用图象求函数的最大（小）值
③ 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
二、习题训练： (学生训练 ,
提问学生，先学生讲评，后教师点评)
1．函数 y = x 2
- 6 x 的单调递减区间是 ___ (- ?
,3] __________.
2.定义在 R 上的函数 f(x) 对任意两个不相等的实数
a,b,总有
f (a)-
f (b)
> 0, 则必有 ( C )
a - b
A. 函数 f(x) 先增后减
B. 函数 f(x) 先减后增
C.函数 f(x) 是 R 上的增函数
D. 函数 f(x) 是 R 上的减函数
3.下列说法中正确的有 ( A
)
①若 x 1 , x 2 ? l ,当 x 1
x 2时， f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 y = f ( x)在 l 上是增函数；
②函数 y = x 2 在 R 上是增函数 ; ③函数 y = - 1
在定义域上是增函数 ;
x
④ y = 1
的单调区间是 (- ? ,0) (0, ? ).
x
A.0 个
B.1 个
C.2个
D.3 个
4.若函数 y =
k
( k > 0) 在 [2,4] 上的最小值为 5,则 k 的值为 ___20___.
x
5.判断函数 f ( x) = x - x 在区间 [1,+ ? ) 上的单调性 .（减函数）
6. 判断函数 f ( x) =
x 3 + 3x 在 R 上的单调性 ..（增函数）
7.已知 f(x) 是定义在 [-1,1] 上的增函数 ,且 f(x-1)<f(1-3x), 求 x 的取值范围 .（ 0? x
1 ）
2
三、易错点反思： （提问学生做错的原因）
四、教学反思：利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

学生对最大（小）值概念的理解往往忽视定义域的限制。