高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换达标训练新人教A版必修4(2021学年)

高中数学第三章三角恒等变换３．2 简单的三角恒等变换达标训练新人教A版必修4
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３。

２ 简单的三角恒等变换
更上一层楼
基础•巩固
１。

已知sin(α—
4π）=31,则cos(4π+α）的值等于( ） Ａ。

3
22 B ．322- C 。

31- D ．31 思路分析:ｃo ｓ（
4π+α)＝si ｎ[2π—（4π+α)］＝sin(4π—α）＝—s ｉｎ(α-4
π)=-31. 答案：C 2.已知ｓinα=5
3,α是第二象限的角,且tan(α+β)=1，则ｔａnβ的值是（ ) A 。

—7 B.7 C.43-
D ．43
思路分析：∵sinα＝53，α是第二象限角, ∴cosα=54)53(1sin 122-=-=--α。

∴ｔanα＝4
3)54(53cos sin -=-÷=αα. 又∵ｔa ｎ(α＋β)=1，β=(α+β)—α,
∴tanβ=ｔan[(α+β）-α］
7)4
3(11)43(1tan )tan(1tan )tan(=-⨯+--=++-+=αβααβα. 答案:B
３。

已知tanα、ta ｎβ是方程x 2+33x+4=0的两根,且α、β∈(2π-,
2
π)，则α+β等于( ） A 。

3π B 。

32π- C 。

3π或32π- D.3π-或32π 思路分析:由题意知tanα+tanβ=33-,tanαｔａnβ=4,∴tanα<０且t ａnβ＜0。

又∵α、β∈（2π-,
2π),∴α、β∈(2π-,０）,α+β∈(－π,0).
由tan(α＋β)=
34
133tan tan 1tan tan =--=-+βαβα,（α+β)∈(—π,0），得α+β＝-32π。

答案:B ４.函数y ＝2s ｉｎ２xco ｓ２x 是( )
A 。

周期为
2π的奇函数 B.周期为2
π的偶函数 C 。

周期为4π的奇函数 Ｄ。

周期为4π的偶函数 思路分析:y=22sin4x,242ππ==T 。

又ｆ（—x ）=22sin （-4x ）=－2
2si ｎ4x ＝—f （x ），它是奇函数。

答案:A
5。

在△ＡBC 中，若s ｉｎA ｓinB ＝ｃo ｓ2
2C ,则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B.等腰三角形
C 。

不等边三角形
D 。

直角三角形
思路分析:由已知等式得
21［c ｏｓ（Ａ-B ）-cos(A+B ）]＝2
1 (1+cosC). 又A+B=π—C ，∴ｃos(A-B)-cos(π—C ）=１+ｃos Ｃ.
∴ｃｏｓ(A-B)=1。

又-π＜Ａ-B<π,∴A—B=0．
∴Ａ=B ，即三角形为等腰三角形.
答案：B
6.给出下列命题
①存在实数α，使si ｎαｃo ｓα=1；
②存在实数α,使sinα＋cosα=23; ③y=siｎ（x 22
5-π)是偶函数；
④x=8
π是函数y ＝ｓｉn(2x+45π）的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角,且α〉β，则t anα〉ｔa ｎβ。

其中正确命题的序号是___＿_____。

(注:把你认为正确的命题的序号都填上）
思路分析:对于①可化为si ｎ2α＝2,不成立;
对于②可化为sin(α+4π)=4
23〉1,不成立； 对于③可化为ｙ=si ｎ(2π＋
2π-2x)=s ｉn （2
π—2x ）=co ｓ2x,显然成立； 对于④,把x=8π代入得y=s ｉn(２×8
π＋45π）=ｓi ｎ23π=—1，显然成立； 对于⑤，不妨取α=49π,β=3π,此时ｔa ｎα=1,taｎβ＝3，显然不成立. 综上，可知③④成立.
答案:③④
综合•应用
７。

已知函数f （x)=3sin x
π，则f （1）＋ｆ(2）＋f(3）+ …+f(２ ０05）＝_＿____＿_____。

思路分析:函数ｆ(x)=3
sin x
π的周期Ｔ=2π÷3π=６。

∵f（1)+f （2）+…+f （６）=sin 3
π+si ｎ32π+s ｉnπ＋sin 34π＋sin 35π+sin2π＝0, ∴ｆ(1）+f(2)+…+f （２ 004）+f(2 0０5）=f(２ 005)=32005sin
π=ｓin(668π+3π）=233sin =π. 答案：2
3 ８。

求函数x
x y cos sin 21++=的最大值。

解：)4
sin(221π++=
x y ，∵—1≤sin(ｘ＋4π)≤1,∴当sin(x+4π)＝—１时,ｙmax =2
21-= 221222+=+. 9。

已知ｓｉｎ(θ+6π）sin(θ—6
π)＝2011,求ta ｎθ的值. 思路分析:已知条件中的两角之差是常数,所以将式子积化和差,出现常数和单个的角,利用方
程获得２θ的余弦值，再利用半角公式可以求得ｔanθ的值。

解:∵ｓｉｎ(θ+
6π)sin(θ—6
π)=2011, ∴21 (cos 3π-cos2θ）＝2011。

∴cos2θ=53-,s ｉn ２θ=±54，从而25453
12sin 2cos 1tan ±=±+
=-=θθθ。

１0。

已知函数f （ｘ)＝５ｓi ｎxcosx －235cos 352+
x (x∈R ）, （1)求ｆ(x)的最小正周期;
(2)求ｆ(x ）的单调增区间；
（3）求f(x ）图象的对称轴、对称中心.
解:
f(x ）=
25s ｉn ２x —)2cos 232sin 21(52cos 2352sin 2523522cos 135x x x x x -=-=++⨯ =5（sin ２xcos 3π-ｃos ２ｘs ｉn 3π)=5sin(2x-3
π）。

(１)f （x ）的最小正周期T=2
2π＝π． （2)令—2π＋2kπ≤２x-3π≤2
π＋２ｋπ，得—12π+kπ≤ｘ≤125π+kπ,k∈Z ，即函数ｆ(x)的单调增区间是［-12π+kπ，12
5π+ｋπ]，k∈Z . （3)令2x-3π=ｋπ+2
π，得x=21kπ+125π，k∈Ｚ，即函数f （x)的对称轴方程是x ＝21kπ+125π，ｋ∈Ｚ. 令２ｘ—3π=kπ，得x=21kπ+6
π，k∈Z ，即函数f(x)的对称中心是(621ππ+k ,０),k∈Ｚ。

回顾•展望
１１.(200６临沂统考) 求函数y ＝ｃｏs3x·ｃｏsx 的最值.
思路分析:利用化积公式将两个角的余弦化为一个角的三角函数值,从而转化为二次函数的最值。

解：ｙ=c ｏs ３x·cosx＝21
（cos4x ＋cos2x)=21(2c ｏs 2
2ｘ-１+c ｏs2x)
=cos 22x ＋21cos ２ｘ—21＝(cos ２x+41)２－
16
9. ∵ｃos2x∈[-1，１］,
∴当cos2ｘ=41-时,y 取得最小值169-; 当cos2x=1时，y 取得最大值１。

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