特殊形式的一元一次方程及解法

特殊形式的⼀元⼀次⽅程及解法
特殊形式的⼀元⼀次⽅程及解法
⽅程是初中代数的主线之⼀，现在所学⼀元⼀次⽅程是以后所学⽅程的基础，我们在学习中会遇到⼀些特殊形式的⼀元⼀次⽅程，利⽤转化思想化成⼀般形式，再解⼀元⼀次⽅程。

特殊的形式有以下⼋种，列出以供同学们参考。

形式⼀：两个⾮负数的和为0或两个⾮负数互为相反数。

两个⾮负数互为相反数可以转化为其和为0，有仅有均为0时才成⽴。

例1 已知（a+3）2与1-b 互为相反数，且关于x 的⽅程
4x a +-3y=2
1x+b 的解为x=-1,求2y 2-3的值。

解析：由已知有（a+3）2+1-b =0 ∴（a+3）2=0，1-b =0，则a=-3,b=1；
把a=-3,b=1，x=-1代⼊到⽅程中有
413---3y=21×（-1）+1，解得y=-2
1 2y 2-3=2×（-21）2-3=21-3= -221 形式⼆：连等
转化成⼏个⽅程，再分别解⽅程
例2 已知a+2=b-2=2
c =2008，且a+b+c=2008k,求k 的值。

解析：已知条件可转化为三个⽅程①a+2=2008；②b-2=2008；③
2c =2008；分别解得a=2006；b=2010；c=4016。

代⼊到后⼀个等式中，2006+2010+4016=2008k 解得：k=4
形式三：分母是⼩数
利⽤分数的基本性质，分别把每个式⼦分⼦、分母扩⼤适当的倍数。

例3 解⽅程2.188.1x --03.002.003.0x +=2
5-x 解析：第⼀个式⼦分⼦、分母同时乘以10，第⼆个式⼦分⼦、分母同时乘以100，原⽅程可变形为：128018x --323x +=2 5-x 两边同乘以12，得：18-80x-4（3+2x ）=6（x-5）去括号、移项合并得：-94x=-36 解得：x=
4718 形式四：两个⽅程同解
同解即解相同，其中⼀个⽅程可以解出来，再代⼊到另⼀个⽅程中。

例4 关于x 的⽅程3x-（2a-1）=5x-a+1与⽅程
212+x +34-x =8有相同的解，求（8
a ）2009+a 2-21的值。

解析：后⼀个⽅程只有x ，则先解
解得x=4
把x=4代⼊第⼀个⽅程有12-（2a-1）=20-a+1
解得a =-8，（
8a ）2009+a 2-21 =（88-）2009+（-8）2-21=-1+64-21=42
形式五：定义就运算
例5 若“*”是新规定的某种运算法则，设A*B=A 2-A*B,试求（-2） *x=32
1中的x 。

解析：由规定有：（-2）*x=（-2）2-（-2）x=4+2x=321∴x=-4
1 形式六：有多重括号
层层去括号往往较⿇烦，根据具体情况可以重复移项去分母，化为不含括号的⼀元⼀次⽅程，
例6 解关于x 的⽅程
31｛31【31（3
1x-3）-3】-3｝-3=3 解析：移项合并，再去⼤括号（两边同乘以3）有：31【31（3
1x-3）-3】-3=18；重复上步骤有31（31x-3）-3=63 重复步骤解得：x=603
形式七：分⼦中含有分母
找出每个分⼦中的分母的最⼩公倍数，对每个式⼦的分⼦与分母分别乘以其公倍数，使分⼦中不含分母。

例7 解关于x 的⽅程3432x x +--2)361(21x --=3313x +--2
37102x x -- 解析：其分⼦中的分母的最⼩公倍数分别为4，6（第⼆个有括号，先去括号，再找公倍数），等号右边为3、3则每个式⼦分⼦与分母分别乘以对应的公倍数有：
12)3(2x x +--12)6(3x --=9)1(9x +--6
)710(6x x --（注意适当添加括号）解答略
形式⼋：含绝对值的⼀元⼀次⽅程（暂时仅限于式⼦整体含绝对值）。

例8 解关于x 的⽅程3)25(2+-x x =4
解析：同除以3，得)25(2+-x x =
34 去括号，合并有23--x =3
4 据绝对值的定义有：-3x-2=
34或-3x-2=-34 解答略。