高中数学学案6：1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题． (1)观察教材，你认为正弦曲线是如何画出来的？
(2)在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
(3)作余弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦曲线
正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线．
(2)正弦函数图象的画法 ①几何法：
(ⅰ)利用正弦线画出 y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象； (ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． ②五点法：
(ⅰ)画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π
2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (3)余弦曲线
余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．
(4)余弦函数图象的画法
①要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π
2个单位长度即可，这是由于cos
x ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2． ②用“五点法”：画余弦曲线y ＝cos x 在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，
⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭
⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
[问题思考]
(1)正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的吗？
(2)余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？
课堂互动区
知识点1 用“五点法”作检图 讲一讲
1．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0，2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0，2π]．
类题·通法
用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)或y ＝A cos x ＋b (A ≠0)在[0，2π]上的简图的步骤： (1)列表：
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝⎛⎭⎫π2，y 2，(π，y 3)，⎝⎛⎭⎫3π
2，y 4，(2π，y 5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 练一练
1．用“五点法”作出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]的图象．
知识点2 利用正、余弦函数的图象解不等式 讲一讲
2．利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤3
2的x 的集合．
类题·通法
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集． 练一练
2．使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( ) A.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z
B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z
C.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z
知识点3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题 讲一讲
3．判断方程sin x ＝lg x 的解的个数．
类题·通法
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 练一练
3．已知函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]，若直线y ＝k 与其仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————— 1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用． 2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题 (1)正、余弦函数图象的画法，见讲1； (2)利用正、余弦函数的图象解不等式，见讲2； (3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题，见讲3. 3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x 轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与x 轴有三个交点：(0，0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点⎝⎛⎭⎫π2，1，一个最低点⎝⎛⎭⎫3π
2，－1；y ＝cos x ，x ∈[0，2π]与x 轴有两个交点：⎝⎛⎭⎫π2，0，⎝⎛⎭⎫
3π2，0，图象上有两个最高点：(0，1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
参考答案
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．
(1)提示：利用单位圆中的正弦线可以作出y ＝sin_x ，x ∈[0，2π]的图象，将y ＝sin_x 在[0，2π]内的图象左右平移即可得到正弦曲线．
(2)提示：作正弦函数y ＝sin_x ，x ∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，0)，
⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭
⎫3π2，－1，(2π，0)． (3)提示：作余弦函数y ＝cos_x ，x ∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，1)，
⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭
⎫3π2，0，(2π，1)． [问题思考]
(1)提示：是．
(2)提示：余弦曲线与正弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同． 课堂互动区
知识点1 用“五点法”作检图 讲一讲
1．解：(1)列表：
描点、连线，如图．
(2)列表：
描点、连线，如图．
练一练
1．解：列表如下：
知识点2 利用正、余弦函数的图象解不等式 讲一讲
2．解：首先作出y ＝sin x 在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y ＝1
2，根据特殊角的正弦
值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的交点横坐标为π6和5π
6
；
作直线y ＝
32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的交点横坐标为π3和2π3
. 观察图象可知，在[0，2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤3
2成立．
所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧x |π6＋2k π＜x ≤π3＋ 2k π，或
⎭⎬⎫
2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .
练一练 2．【答案】C
【解析】不等式可化为sin x ≤
2
2
. 法一：作图，正弦曲线及直线y ＝
2
2
如图(1)所示． 由图(1)知，不等式的解集为⎩
⎨⎧
x |2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4， }k ∈Z .故选C.
法二：如图(2)所示不等式的解集为⎩⎨⎧x |2k π－5π4≤x ≤2k π
⎭
⎬⎫
＋π4，k ∈Z .故选C.
知识点3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题 讲一讲
3．解：建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象，再依次向左、右连续平移，得到y ＝sin x 的图象．在同一坐标系内描出⎝⎛⎭⎫1
10，－1，(1，0)，(10，1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图．
练一练
3．解：由题意知f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，
－sin x ，x ∈（π，2π].图象如图所示：
若函数f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则由图可知k 的取值范围是(1，3)．。