河南省郑州市第一中学网校2018届高三上学期入学测试理

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集U R =，集合{}
2|ln 1,|sin tan ,0,
4P x x Q y y x x x π⎧⎫
⎡⎤=≤==+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
，则P Q ⋃为 （ ）
A ．⎛
⎝⎭ B ．⎛ ⎝⎦ C ．⎛ ⎝
⎦
D ．(
【答案】B
考点：1.集合并集；2.三角函数值域.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.
2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（ ） A ．13i B ．13i - C ．1312i + D ．1213i + 【答案】A 【解析】
试题分析：123z i =+，()()12233213z z i i i ⋅=++=. 考点：复数概念及运算.
3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（ ）
A ．10
B ．16
C ．20
D ．24
【答案】C 【解析】
试题分析：（1）甲在前，乙在后：若甲在第2位，则有4种方法，若甲在第3位，则有3种方法，若甲在第4位，则有2种方法，若甲在第5位，则有1种方法，共计10种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有10种方法.故一共有20种方法. 考点：排列组合.
4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
32
53
S S S S --
的值为（ ）
A ．-2
B ．-3
C ．2
D ．3 【答案】
C
考点：数列的基本概念.
5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）
A ．1.2
B ．1.6
C ．1.8
D ．2.4 【答案】B 【解析】
试题分析：这是一个圆柱和一个长方体，体积为
()1 5.43116.4 2.2512.6, 1.64
x x x x π⋅+-⋅⋅=-==.
考点：三视图.
6.过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为右焦点，若
01260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
12 B ．2
C ．13
D 【答案】D
考点：直线与圆锥曲线位置关系. 7.函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
与2cos 23
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象关于直线x a =对称，
则a 可能是（ ）
A ．24π
B ．12π
C ．8π
D ．1124
π
【答案】A 【解析】
试题分析：图象关于直线x a =对称，则有()(),2f x f a x -关于直线x a =对称，
()2sin 423f a x a x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，22cos 2sin 2sin 23326x x x ππππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
+
=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，
即4,3
6
24
a a π
π
π
-
=-
=
.
考点：三角函数图象变换.
8.按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =（ ）
A ．45
B ．47
C ．49
D ．51 【答案】D 【解析】
试题分析：程序框图的效果是将二进制的数转化为十进制的数，即
5410110011222251=+++=.
考点：算法与程序框图.
9.已知函数(
))
2016
2016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式
()()314f x f x ++>的解集为（ ）
A ．1,4⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭ C ．()0,+∞
D ．(),0-∞ 【答案】
A
考点：函数的单调性.
10.已知实数,x y 满足260
02x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小
值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[]2,1-
B ．[]1,3-
C ．[]1,2-
D ．[]2,3 【答案】C
考点：线性规划.
11.过双曲线22
115
y x -=的右支上一点P ，分别向圆()2
21:44C x y ++=和圆()2
22:41C x y -+=
作切线，切点分别为,M N ，则2
2
PM
PN -的最小值为（ ）
A ．10
B ．13
C ．16
D ．19 【答案】B 【解析】
试题分析：如图所示，根据切线，可有2
222
1241PM
PN PO PO -=--+
()()()121
212323PO PO PO
PO PO PO =+--=+-，12128PO PO OO +≥=，
所以
22
PM PN -最小值为15.
考点：圆与双曲线的位置关系.
【思路点晴】本题考查双曲线的定义，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想，考查划归与转化的数学思想.我们首先根据题意画出图象，然后根据半径垂直于切线，将题目中的,PM PN 转化为12,PO PO ，这样，再结合图象，可以知道，
12,,P O O 三点共线时12PO PO +取得最小值为8.
12.已知函数()x
a
f x x e =-存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线
x y e =相切，符合情况的切线l （ ）
A ．有3条
B ．有2条
C ．有1条
D ．不存在 【答案】D 【解析】
试题分析：()'
1x a
e f
x a
=-
，依题意，()'0f x <在R 上有解.当0a <时，()'
0f x <在R 上无解，不符合题意；当0a >时，()'
0,,ln x a
f
x a e
x a a <<>符合题意，故0a >.易知曲线
()y f x =在0x =处的切线为111y x a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
.假设该直线与x y e =相切，设切点为
()00,x y ，
即有0011111x
e x a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
，
消去a 化简得0001x x e x e =-，分别画出,1x x
e xe -
的图像，观察可知它们交点横坐标01x >，0
x e e >，这与1
11a
-
<矛盾，故不存在. 考点：导数与切线.
【思路点晴】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考察直线方程的运用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的运用.求出()f x 的导数，由题意可知()'0f x <在R 上有解.讨论0,0a a <>可得0a >成立，求得切线方程，再假设切线与曲线x y e =相切，设出切点()00,x y ，利用切线的斜率相等构建方程，利用图象判断出切点不存在.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知0
sin a xdx π
=
⎰
，则二项式5
1a x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中3x -的系数为____________．
【答案】80-
考点：1.定积分；2.二项式定理.
14.12,F F 分别为椭圆
22
13627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()()
1211
,22
OB OA OF OC OA OF =
+=+，则OB OC +=__________． 【答案】6 【解析】
试题分析：依题意有2111
//,//22
OB AF OC AF ，故6OB OC a +==. 考点：向量运算.
15.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB AC AD 、、，且两两夹角都为60°，若球半径为R ，求弦AB 的长度___________．
【答案】a R =
考点：球的内接几何体.
【思路点晴】对棱相等的三棱锥,设三对棱长分别为,,a b c ,如下图所示三棱锥''A B CD -,请
同学们推导其外接球半径R 公式222
2
8
a b c R ++=,特别地,若一个正四面体边长为a ,其外
接球半径公式为:2
38
a . 设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,
矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.2.若长方体长宽高分别为,,a b c
则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.
16.设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11
sin
,,,n n n n f x x a x a a n N n
+=-∈∈，
满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为___________． 【答案】()12
n n n a π
-= 【解析】
试题分析：10a =，当1n =时，()(]112sin()sin ,0,f x x a x x a =-=∈，又因为对于任意的
[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，所以2a π=，所以()[]12sin ,0,,f x x x a ππ=∈=，
又
()()()[]223111
sin
sin cos ,,222
f x x a x x x a ππ=-=-=∈，对于任意的
[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，所以33a π=，由此可知1n n a a n π+-=，用累加法
求得()
12
n n n a π-=
. 考点：数列求通项.
【思路点晴】本题考查数列与三角函数的结合问题，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性.考查合情推理与演绎推理.形如()1n n a a f n +-=的递推公式，我们可以采用累加法来求通项，即112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+来求解.形如
()1
n n
a f n a +=的递推公式，我们可以采用累乘法类求通项.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）
已知(
)2cos cos f x x x x =+． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在锐角ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，求
222
a b c ab
++的取值范围． 【答案】（1）,3
6k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）；（2）[)3,4.
由正弦定理得：2sin sin 113,2sin sin 22A b B a A A π⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭=
==∈ ⎪⎝⎭
， ∴
[)222
3,4a b c ab
++∈． 考点：1.三角函数图象与性质；2.解三角形. 18.（本题满分12分）
如图所示，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，
1DAB DAA ∠=∠．
（1）求证：1A B AD ⊥；
（2）若012,A 60AD AB BC AB ==∠=，点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1A B 的中点，求平面
11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2
（2）设线段1A B 的中点为
O ，连接1DO AB 、，由题意知DO ⊥平面 11ABB A ，因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、
射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
分
考点：空间向量证明垂直与求二面角.
19.（本小题满分12分）
近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2018年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿
人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200
次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服
务都做出好评的交易为80次．
（1）是否可以犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机
变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X 的数学期望和方差．
()
()()()()2
2,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d ⎛⎫-=
=+++ ⎪ ⎪++++⎝⎭
其中 【答案】（1）犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）①分布列见解析；②2，
6
5
. 试题解析：
（
1）由题意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表：
()2
22008010407011.11110.8281505012080
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．．．．．．．．．．．6分 （2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为
2
5
，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5． 其中()()()5
4
2
3
1255323230;1;255555P X P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()()()3
2
4
1
5
3455232323;4;555555
P X C P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
X 的分布列为：
由于25,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则2525EX =⨯=；22651555DX ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：1.独立性检验；2.二项分布. 20.（本题满分12分）
已知点C 为圆()2
2
18x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点
()1,0A 和AP
上的点M ，满足0,2MQ AP AP AM ==． （1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；
（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点
,,F H O 是坐
标原点，且
34
45
OF OH ≤≤时，求k 的取值范围．
【答案】（1）2212x y +=；（2）k k ≤≤≤≤
（2）设直线()()1122:,,,,l y kx b F x y H x y =+，
考点：直线与圆锥曲线位置关系.
【方法点晴】求轨迹方程的常用方法有定义法和向观点法.本题是定义法.根据题意，动点满足椭圆的定义，也即动点到两个定点的距离之和等于常数，并且这个常数大于这两个定点的距离.在求解出椭圆方程后，要验证是否椭圆方程的每个点是否都在图象上，因为有时候有些点是不符合题意的，比如有时候斜率不存在的点可能要舍去. 21.（本小题满分12分）
已知函数()()2
2ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．
（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()
00,P x h x 处的切线方程为():l y g x =，若
()()
0h x g x x x ->-
在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称
点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()0,1,,2a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
；
（2
）存在，0x
（2）当4a =时，()2264
x x f x x
-+'=，
所以在点P 处的切线方程为()()220000000
264
64ln x x g x x x x x x x -+=-+-+，
若函数()2
64ln f x x x x =-+存在“类对称点”()()
00,P x f x ，
则等价于当00x x <<时，()()f x g x <，当0x x >时，()()f x g x >恒成立，
①当00x x <<时，()()f x g x <恒成立，
等价于()22
20000000
264
64ln 64ln x x x x x x x x x x x -+-+<-+-+恒成立，
即当00x x <<时，()
223
0000000244ln 44ln 0x x x x x x x x x x -++++-<恒成立， 令()()
223
0000000244ln 44ln x x x x x x x x x x x ϕ=-++++-，则()00x ϕ=，
要使()00x ϕ<在00x x <<恒成立，只要()x ϕ在()00,x 单调递增即可． 又∵()()
()()002
2
00224224x x x x x x x x x x x ϕ--'=-++
=，∴00
2x x ≤
，即00x <②当0x x >时，()()f x g x >
恒成立时，0x ≥
0x =()y f x =存在“类对称点”
考点：函数导数与不等式.
【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不
等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分12分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径，过点C 作圆O
的切线交BA 的延长线于点F ．
（1）求证：AC BC AD AE =；
（2）若2,AF CF ==AE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）7
AE =
.
（2）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =，又2,AF CF ==
所以4,2BF AB BF AF ==-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
因为ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，所以AFC
CFB ∆∆．
所以AF AC FC BC =，得2,c o s A F B C A C A C D CF ==∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
所以sin 7
AB AE AEB ==∠． 考点：几何证明选讲.
23.（本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角
坐标系，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα
=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．
（1）判断直线l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l 和曲线C 相交于,A B 两点，且AB =，求直线l 的斜率．
【答案】（1）相交；（2）1±.
考点：坐标系与参数方程.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()()()2,2,f x x g x m x m R =-=-∈．
（1）解关于x 的不等式()3f x >；
（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．
【答案】（1）{}
|15x x x <->或；（2）(],1-∞.
考点：不等式选讲.。