2018-2019学年上海市嘉定区封浜高级中学高一(上)期中数学试卷(附详解)

2018-2019学年上海市嘉定区封浜高级中学高一（上）期
中数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）
1.设全集为U，B∩∁U A=B，则A∩B为()
A. ⌀
B. A
C. B
D. ∁U B
2.若不等式ax>b的解集是(−∞,0)，则必有()
A. a>0，b=0
B. a<0，b=0
C. a=0，b<0
D. a=0，b>0
3.下列结论正确的是()
A. y=x+1
x
有最小值2
B. y=√x2+2
√x2+2
有最小值2
C. ab<0时，y=b
a +a
b
有最大值−2
D. x>2时，y=x+1
x−2
有最小值2
4.“a>1”是“对任意的正数x，2x+a
x
>1”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）
5.已知集合A={1,x}，则x的取值范围是______．
6.命题“若a>0且b>0，则ab>0”的否命题为______．
7.已知集合M⊊{4,7,8}，则这样的集合M共有______个．
8.用描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点组成的集合”：______．
9.设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，则A∩(∁U B)=______．
10.不等式1
x
<1的解集为______．
11.不等式|2x−1|<2的解集是______．
12.已知x>0，当x+2
x
取到最小值时，x的值为______．
13.已知集合M={x|x≤1}，P={x|x>t}，若M∩P=⌀，则实数t的取值范围是______．
14. 关于x 的不等式x 2−2kx +k 2+k −1>0的解集为{x|x ≠a,x ∈R}，则实数
a =______．
15. 已知x 2+4x −12>0是−8≤x ≤a 的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是
______．
16. 若不等式kx 2−kx +k −1<0的解集为A ，且A ≠⌀，则实数k 的范围为______．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）
17. 设集合A ={x|x 2−5x +6=0}，B ={x|ax −1=0}，若B =A ∩B ，求实数a 的值．
18. 解关于x 不等式：|2x x+1|≤1．
19. 解不等式组{x 2−6x −16<0x+3x−1
≤2．
20.在“走近世博”的展示活动中，高一年级同学需用一个面积为8平方矩形场地，矩
形场地的一边利用墙边，其余三边用红绳围成，两端接头要固定在墙上每边还需0.2米，怎样设计才能使所用的红绳最短？最短为多少米？
>0}，B={x|x2−(2a+1)x+a(a+1)<0}．
21.已知集合A={x|2−x
1+x
(1)写出集合A，集合B；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；
(3)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵全集为U，B∩∁U A=B，
∴B⊆∁U A，
则A∩B=⌀．
故选：A．
根据题意得到B为A补集的子集，即可确定出A与B交集为空集．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B
【解析】解：由题意可得，a≠0，
当a>0时，不等式的解集为(b
a ,+∞)，当a<0时，不等式的解集为(−∞,b
a
)
由ax>b的解集是(−∞,0)可得a<0，b=0
故选：B．
由题意可得，a≠0，当a>0时，不等式的解集为(b
a
,+∞)，当a<0时，不等式的解集
为(−∞,b
a
)，由ax>b的解集是(−∞,0)可求a，b．
本题主要考查了含有参数的一元一次不等式的解法，体现了分类讨论的思想在解题中的应用．
3.【答案】C
【解析】解：A、令x=−1时，y=x+1
x =−1+1
−1
=−2，故A错误；
B、由于y=√x2+2+
√x2+2
≥2
(当且仅当√x2+2=
√x2+2
即2+2=1时取等号)，而√x2+2>√2，故B错误；
C、由于ab<0时，则y=b
a +a
b
=−[(−b
a
)+(−a
b
)]≤−2√(−b
a
)⋅(−a
b
)=−2
当且仅当−b
a =−a
b
即b=−a时，等号成立
故ab<0时，y=b
a +a
b
有最大值−2；
D、∵x>2，则x−2>0，
∴函数y=x+1
x−2=(x−2)+1
x−2
+2≥2√(x−2)⋅1
x−2
+2=4
故D错误．
故选：C．
A中，特值验证，x=−1，y=−2；
B、C、D，利用均值不等式，注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等
本题考查函数的最值，解题时要注意均值勤不等式的应用．注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等，即不等式的各项都是正数，和或积中出现定值、等号成立条件具备．
4.【答案】A
【解析】解：当a>1时，2x+a
x >2√2x⋅a
x
=2√2a，又∵a>1，∴2√2a>1，充分性
满足；
当2x+a
x >1时，若a=1
6
，此时2x+a
x
=2x+1
6x
≥2√2x⋅1
6x
=
3
>1，必要性不满足．
故选：A．
当a>1时，求2x+a
x
的最小值，可得满足充分性，通过举反例，可得出必要性不满足．本题考查了基本不等式的性质、充分条件，必要条件的判定，属于基础题．
5.【答案】{x|x≠1}
【解析】解：由集合中元素的互异性知，
x≠1，
故答案为：{x|x≠1}．
由集合中元素的互异性直接写出x≠1即可．
本题考查了集合中元素的特征，属于基础题．
6.【答案】“若a≤0或b≤0，则ab≤0”
【解析】解：根据否命题的定义：
若原命题为：若p，则q，否命题为：若 ┐p，则 ┐q.
∵原命题为“若a>0且b>0，则ab>0”
∴其否命题为“若a≤0或b≤0，则ab≤0”
故答案为“若a≤0或b≤0，则ab≤0”
根据原命题与否命题的关系，可知若原命题为：若p，则q，否命题为：若 ┐p，则 ┐q，易得答案．
本题考查的知识点是四种命题，解题的关键是掌握四种命题之间的关系．
若原命题为：若p，则q，
逆命题为：若q，则p；
否命题为：若 ┐p，则 ┐q；
逆否命题为：若 ┐q，则 ┐p.
7.【答案】7
【解析】解：∵M⊊{4,7,8}，
∴这样的集合M共有23−1=7(个)，
故答案为：7
根据M为已知集合的真子集，确定出满足题意M的个数即可．
此题考查了子集与真子集，熟练掌握真子集的性质是解本题的关键．
8.【答案】{(x,y)|x>0且y<0}
【解析】解：直角坐标平面内第四象限内的点集：{(x,y)|x>0且y<0}．
故答案为：{(x,y)|x>0且y<0}．
根据描述法的表示方法，不难求出答案．
本题主要考查集合的表示方法，列举法和描述法是最基本的两种表示集合的方法，注意它们的区别和联系．
9.【答案】{1}
【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合B={3,5}，
∴∁U B={1,2,4,6,7}，
∵A={1,3,5}，
∴A∩(∁U B)={1}，
故答案为：{1}．
根据集合的基本运算即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
10.【答案】(1,+∞)∪(−∞,0)
【解析】
【分析】
本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之．首先移项通分，等价变形为整式不等式解之．
【解答】
解：原不等式等价于x−1
x
>0，即x(x−1)>0，
所以不等式的解集为(1,+∞)∪(−∞,0)；
故答案为：(1,+∞)∪(−∞,0)
11.【答案】{x|−1
2<x<3
2
}
【解析】解：由不等式|2x−1|<2，化为不等式得−2<2x−1<2，解得−1
2<x<3
2
，
依题意，不等式|2x−1|<2解集为{x|−1
2<x<3
2
}.
故答案为：{x|−1
2<x<3
2
}.
利用绝对值不等式的解法转化求解即可．
本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．12.【答案】√2
【解析】解：∵x>0，∴x+2
x ≥2√x⋅2
x
=2√2，当且仅当x=2
x
>0，即x=√2时取等
号．
故答案为：√2．
利用基本不等式即可得出．
本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】[1,+∞)
【解析】解：因为集合M={x|x≤1}，P={x|x>t}，若M∩P=⌀，
则t≥1，
所以实数t的取值范围是[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)．
利用集合交集与空集的定义求解即可．
本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与空集的定义的理解与应用，属于基础题．14.【答案】1
【解析】解：∵x的不等式x2−2kx+k2+k−1>0的解集为{x|x≠a,x∈R}，
∴Δ=(−2k)2−4(k2+k−1)=0，
∴4k−4=0，
∴a=k=1
故答案为1
由题意知，根的判别式Δ=4k2−4(k2+k−1)=0，建立关于k的不等式，求出k的值后，由于a=k，即可得到a的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式，要明确：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
15.【答案】−8≤a<−6
【解析】解：因为x2+4x−12>0，
所以x>2或x<−6．
因为x2+4x−12>0是−8≤x≤a的必要非充分条件，
所以−8≤a<−6．
故答案为：−8≤a<−6．
先求不等式的解，然后利用充分条件和必要条件的应用进行确定范围．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．
16.【答案】(−∞,4
3
)
【解析】解：当k=0时，不等式为−1<0，符合题意，
当k>0时，有Δ=k2−4k(k−1)>0，解得0<k<4
3
，
当k<0时，函数y=kx2−kx+k−1图象开口向下，则不等式kx2−kx+k−1<0的解集为A，满足A≠⌀，
综上所述k的取值范围是(−∞,4
3
).
故答案为：(−∞,4
3
).
分类讨论k=0，k>0和k<0的情况，通过二次函数图象开口方向和判别式来研究即可求解．
本题考查一元二次不等式的求解，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．17.【答案】解：因为集合A={x|x2−5x+6=0}={2,3}，B={x|ax−1=0}，
因为B=A∩B，
所以B⊆A，
当B=⌀时，a=0，符合题意；
当B={2}时，则2a−1=0，解得a=1
2
；
当B={3}时，则3a−1=0，解得a=1
3
．
综上所述，实数a的值为0，1
2,1 3．
【解析】先求出集合A，然后利用子集的定义求解即可．
本题考查了集合的运算，主要考查了集合的交集与子集以及空集定义的理解与应用，属
于基础题．
18.【答案】解：不等式：|2x x+1|≤1，化为−1≤2x x+1≤1，
由−1≤2x x+1，可得3x+1x+1≥0，等价于(3x +1)(x +1)≥0且x +1≠0，
解得x <−1或x ≥−13，
由2x x+1≤1，可得x−1x+1≤0，等价于(x +1)(x −1)≤0且x +1≠0，
解得：−1<x ≤1，
综上，不等式的解集为：{x|−13≤x ≤1}.
【解析】利用绝对值不等式以及分式不等式的解法转化求解即可．
本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
19.【答案】解：由x 2−6x −16<0得，(x −8)(x +2)<0，
解得−2<x <8，
由x+3x−1≤2得x−5x−1≥0，
即(x −5)(x −1)≥0且x ≠1，
解得x ≥5或x <1，
所以不等式组的解集{x|−2<x <1或5≤x <8}．
【解析】结合二次不等式及分式不等式的求法进行求解即可．
本题主要考查了分式不等式及二次不等式的求法，体现了转化思想的应用，属于基础题． 20.【答案】解：设平行于墙的一边长为x 米，另一边长为y ，则xy =8，
红绳长为0.4+x +2y ≥0.4+2√2xy =8.4，
∴红绳长最短为8.4米，此时x =4米，y =2米．
【解析】设平行于墙的一边长为x 米，另一边长为y ，则xy =8，红绳长为0.4+x +2y ，利用基本不等式，即可得出结论．
本题考查基本不等式的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)A={x|−1<x<2}，B={x|a<x<a+1}；
(2)∵A∪B=A；
∴B⊆A；
∴{a≥−1
a+1≤2；
解得−1≤a≤1；
∴实数a的取值范围是[−1,1]；
(3)∵A∩B=⌀；
∴a≥2，或a+1≤−1；
∴实数a的取值范围是{a|a≤−2，或a≥2}．
【解析】(1)解不等式即可得出A={x|−1<x<2}，B={x|a<x<a+1}；
(2)根据A∪B=A即可得出B⊆A，从而得出{a≥−1
a+1≤2，解出a的范围即可；
(3)根据A∩B=⌀即可得出a≥2，或a+1≤−1，从而可得出a的取值范围．
考查描述法表示集合的概念，以及分式不等式和一元二次不等式的解法，交集和并集的概念及运算，空集的概念．
第11页，共11页。