内蒙古乌海市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

内蒙古乌海市2021届新高考数学模拟试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ）
A ．21
B ．22
C ．11
D ．12 【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值.
【详解】
解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，
所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =.
故选:A.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.
2．若2m ＞2n ＞1，则（ ）
A ．11m n ＞
B ．πm ﹣n ＞1
C ．ln （m ﹣n ）＞0
D ．1122
log m log n ＞ 【答案】B
【解析】
【分析】 根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确；
而当m 12=，n 14
=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ．
【点睛】
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
3．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】
设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1
f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1
g x x '=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.
【点睛】
本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.
4．过双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且
BF DF =，则C 的离心率是（ ） A 5 B ．2 C 5D 10【答案】D
【解析】
【分析】
如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几
何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率.
【详解】
如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C .
因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥.
又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.
设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.
因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =.
在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以5102c e a =
==. 故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.
5．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）
A ．69人
B ．84人
C ．108人
D ．115人
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【详解】
在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223--=人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10050023x =，解得115x =人. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.
6．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A ．2
B ．2
C ．2
D ．22 【答案】B
【解析】
【分析】
设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP u u u r ，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，
以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则可得1OB OC ==，3232
OA ==OA 的三等分点G 、F 如图， 则1333
OG OA ==，2333AG OF OA ===，2263DG AD AG =-=，1623EF DG ==，
所以()0,1,0B 、()0,1,0C -
、)
A
、33D ⎛ ⎝⎭
、,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 由题意设(),,0P x y
，,DP x y ⎛= ⎝⎭
u u u r ，
QV ABD 和ACD V 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，
BE CE E =Q I ，AD ∴⊥平面BCE
，AD ⎛∴= ⎝⎭
u u u r 为平面BCE 的一个法向量，
因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2
π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
，
由题意可得sin cos ,AD DP AD DP AD DP θ⋅=<>==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
=== 因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sin
θ也为定值，
22339
x x ==，可得
23y =
，此时sin θ=
，则cos θ=，sin tan cos 2θθθ==. 故选：B.
【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
7．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B I 等于（ ）
A ．{}012
,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12
, 【答案】A
【解析】
【分析】 进行交集的运算即可．
【详解】
{0A =Q ，1，2，3}，{|22}B x x =-剟，
{0A B ∴=I ，1，2}．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 8．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为
n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n
+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）
A ．917
B ．817
C ．1735
D ．935
【答案】A
【解析】
【分析】
设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22
1x y m n
+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()
P AB P B A P A =
计算即可. 【详解】 设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22
1x y m n
+=表示焦点在y 轴上 的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535
P AB ⨯==⨯，则所求的概率为 ()9(/)()17
P AB P B A P A =
=. 故选：A.
【点睛】 本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.
9．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论．
【详解】
解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，
反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，
∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．
故选：A.
【点睛】
本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是
A ．6m ≠
B ．5m ≠
C ．4m ≠
D ．3m ≠ 【答案】B
【解析】
【分析】
此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值.
【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d .
所以本题答案为B.
【点睛】
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.
112，体积为23
，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）
A ．12
B ．1
C ．10
D ．5 【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离.
【详解】
将抛物线放入坐标系，如图所示，
∵2PO =，1OE =，2OC OD ==
∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得22y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，
12EF =，1PE =，∴52
PF =. 故选：D
【点睛】
本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.
12．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，
若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11
b a ++则的取值范围是（ ）
A ．(11,53)
B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞
C ．(1,53)
D ．(,3)-∞
【答案】C
【解析】
【分析】 先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定11
b a ++的取值范围. 【详解】
由()y f x '=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可
知24a b +<.故
1421725111
b a a a a +-+<=-+<+++， 又有11712133322b b b b a ++>=-+>+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移
6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则b a
=________． 3
【解析】
【分析】
根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
构造方程，从而求得结果.
【详解】 ()f x Q 向左平移6
π
个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称
()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
即：31sin cos 332
a b a b b π
π
+=+= 3b a ∴= 本题正确结果：3
【点睛】
本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.
14．运行下面的算法伪代码，输出的结果为S =_____．
【答案】1011
【解析】
【分析】
模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出S 的值,用裂项相消法求和即可.
【详解】
模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：
11111223341011
S =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 11111111223341011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111=-
1011
=. 故答案为:
1011 【点睛】
本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.
15．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________.
【答案】821
【解析】
试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有4
10210C =种不
同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A 为“取出球的编号互不相同”，
则事件A 包含了11111
5222280C C C C C ⋅⋅⋅⋅=个基本事件，所以()808
21021
P A =
=. 考点：1.计数原理；1．古典概型. 16．已知变量，满足约束条件
，则
的最小值为__________．
【答案】-5 【解析】 【分析】
画出，满足的可行域，当目标函数经过点时，最小，求解即可。

【详解】
画出，满足的可行域，由
解得
，当目标函数
经过点
时，取
得最小值为-5.
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。

需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1
24AA AB ==，M ，
N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG
.
（1）求线段AG 的长；
（2）求二面角B MG N --的余弦值. 【答案】（1）1AG =（25
【解析】 【分析】
（1）先证得1AB GN ⊥，设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ∆中解直角三角形求得1,BE A E ，由此求得AG 的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面BMG 和平面NMG 的法向量，计算出二面角B MG N --的余弦值. 【详解】
（1）由题意，11 A B MNG A B GN GN MNG ⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
平面平面，
设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ∆中，可求得45BE =，则165
A E =， 可求得13A G =，则1AG =
（2）以1B 为原点，1B B 方向为x 轴，1B C 方向为y 轴，11B A 方向为z 轴， 建立空间直角坐标系.
(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N
(2,2,0)BM =-u u u u r ，(1,0,2)BG =-u u u r
，易得平面BMG 的法向量为1(2,2,1)n =u r .
(0,2,0)NM =u u u u r ，(1,0,2)NG =u u u r
，易得平面NMG 的法向量为2(2,0,1)n =-u u r .
设二面角B MG N --为θ，由图可知θ为锐角，所以
1212||5cos ||||35
n n n n θ⋅===⋅⋅u r u u r u r u u r .
即二面角B MG N --5
.
【点睛】
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18．设函数2()sin()2cos 1(0)366
x x
f x ωπ
ωω=--+>，直线3y =()f x 图象相邻两交点的距离为2π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若点,02B ⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心，且5b =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）3；253
. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)函数2()sin(
)2cos 1366
x x
f x ωπ
ω=--+，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得； (Ⅱ)由(Ⅰ)知函数()3)3f x x π
=-
，根据点,02B ⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心，代入可得B ，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.
【详解】 (Ⅰ)2()sin(
)2cos 1366
x x
f x ωπ
ω=--+Q
1cos 3sin
cos
cos
sin
213
6
3
6
2
x
x
x
ωωπ
ωπ
+=--⋅
+
33sin cos
2323
x x
ωω=
-3sin()33x ωπ=- ()f x ∴3,()f x ∴最小正周期为2π
3ω∴=
(Ⅱ)由题意及（Ⅰ）知())3
f x x π
=-
，2sin(
)0233
B B ππ-=⇒=Q 22222251
cos 222a c b a c B ac ac +-+-===-Q ,
2225
25225,3
ac a c ac ac ∴-=+-≥-≤
故1sin 2412
ABC S ac B ∆=
=≤
故ABC ∆. 【点睛】
本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.
19．在ABC ∆中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒，cos AMC ∠=. （1）求sin B ；
（2）若12
MC BM =u u u u r u u u u r
，4AC =，求MC .
【答案】（1）10
；（2）4 【解析】 【分析】
（1）B AMC BAM =∠-∠，利用两角差的正弦公式计算即可；
（2）设MC x =，在ABM ∆中，用正弦定理将AM 用x 表示，在ACM ∆中用一次余弦定理即可解决. 【详解】
（1）∵cos AMC ∠=
，
∴sin AMC ∠=
， 所以，sin sin()B AMC BAM =∠-∠
sin cos cos sin AMC BAM AMC BAM =∠⋅∠-∠⋅∠
=
=
.
（2）∵
1
2 MC BM
=
u u u
u r u u u u r
，
∴设MC x
=，2
BM x
=，
在ABM
∆中，由正弦定理得，
sin45sin
BM AM
B
=
︒
，
∴210
=
，
∴
25
AM x
=，
∵2222cos
AC AM MC AM MC AMC
=+-⋅⋅∠，
∴222
4255
42
5
x x x x
=+-⋅⋅
∴4
MC x
==.
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 20．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，120
ABC
∠=︒，2
AB AE ED EF
===，//
EF AB，二面角E AD B
--为直二面角.
（Ⅰ）证明：BD FC
⊥；
（Ⅱ）求二面角A CF B
--的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
15
5
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接,
AC BD交于点O，取AD中点M，连结,,
EM OM OF，证明BD⊥平面OFC得到答案. （Ⅱ）分别以,,
OA OB OF为,,
x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面BCF的法向量为(3,1)
n=-
r
，平面ACF的法向量为(0,1,0)
m=
u r
，计算夹角得到答案.
【详解】
（Ⅰ）连接,AC BD 交于点O ，取AD 中点M ，连结,,.EM OM OF 因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥. 因为AE ED =，所以EM AD ⊥.
因为二面角E AD B --为直二面角，所以平面EAD ⊥平面ABCD ，
且平面EAD I 平面ABCD AD =，所以EM ⊥平面,ABCD 所以EM BD ⊥ 因为,OM AB P 1,
2
OM AB =
,EF AB P 1
,2EF AB =,,OM EF OM EF =P
所以OMEF 是平行四边形，所以EM OF P .
所以BD OF ⊥，所以AC OF O I ＝，所以BD ⊥平面OFC ， 又FC ⊂平面OFC ，所以BD ⊥FC .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,OA OB OF 两两垂直，分别以,,OA OB OF 为,,x y z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系.
设2,(0,1,0),(3,0,0),3),AB B C F =则 (3,1,0),(0,3),BC BF ∴=-=-u u u r u u u r
设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z =r ，由300030
z y n BC n BF x y ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ， 取1,(3,1)z n =∴=-r
.
平面ACF 的法向量为(0,1,0)m =u r ||15
|cos ,|5||||
n m n m n m ⋅∴
<>==r u r
r u r r u r . 所以二面角A CF B --余弦值为15
5
. 【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 21．设函数()()1f x x x a a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式()5f x ³的解集；
（2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或5}x ≥；（2）3a ≤-或5a ≥. 【解析】
试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得()f x 最小值，再解含绝对值不等式可得a 的取值范围.
试题解析：（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩
或4255x x >⎧⎨-≥⎩，
解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥. （2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 22．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()2
2a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛
⎫
++= ⎪⎝
⎭
，1a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3
π
（2【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.
（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆. 【详解】
（1）由()2
2a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.
所以由余弦定理，得222cos 1
22
a b c C ab +-==.
又因为()0,C π∈，所以3
C π
=
.
（2）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫
+
+= ⎪⎝
⎭
，得4sin sin 0c A b C -+=. 由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =. 又因1a =，所以4b =. 所以ABC ∆的面积113sin 14322S ab C ==⨯⨯⨯=. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P . 【答案】（1）2
4y x =；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,
2y y P +⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的
方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证. 【详解】
（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且该点在直线10x y +-=上，
所以
102
p
-=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，
则2,4a A a ⎛⎫
⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()1,D a -，()1,E b -.
∴直线AB 的方程为22
2
444
b a
a y a x
b a ⎛⎫
--=- ⎪⎝
⎭-，即()40x a b y ab -++=.
又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-. ∵P 是DE 的中点，∴1,
2a b P +⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
∴22
4224142AP
a b
a a a k a a a ++-
===++，4222EF
AP b a k k a -====--. 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,
2y y P +⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -= 联立直线AB 和抛物线C 的方程2
14x my y x
-=⎧⎨
=⎩，得2
440y my --= 又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()
11212111
2121AP
y y y y y k
x x -
+-=
=++，2
2EF y k =-. ()()()()()
211
1211221121
11114144021111AP EF
y y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-====
=++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．。