高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则课件42高二选修22数学课件

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典例透析，发展(fāzhǎn)思维
例1 指出下列函数的复合(fùhé)关系.
1y 2x3
解 （1）函数
2ysin(x)
4
y 2x3是由函数
3ylnx (1) 4yco 2(3x s2 )
y
u
1
u2
与
u2x3复合而成的.
分析：将复合函数进行分解时，从外向内，一层一层地分析，
把复（合2）函函数数分y解为sin两(x个（)是或由多函个(数duō
本节课我们一起来研究简单复合函数的求导法则.
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学习 目标 (xuéxí)
理解复合函数的概念(gàiniàn)，分清复 合函数的复合关系，会将一个复合函 数分解为两个（或多个）基本函数；
掌握复合函数的求导法则，会求简单复 合函数的导数，并能解决一些简单的相关问 题.
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3.求曲线 y
1 x2 3x
在点
4
，1 2
处的切线方程.
4.一做简谐振动的小球相对于平衡点的距离 s与运
动的时间 t满足
st10sin2t(),求小球在 t
3
3
时的
瞬时速度(shùn shí
. sù dù)
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课堂小结，知识 整合 (zhīshi)
知识(zhī shi)要点：
的几何意义，先求出切线斜率，再根据点斜式方程可写出切线方
程.
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实践运用 ，巩固新知 (yùnyòng)
1.求下列(xiàliè)函数的导数. （1）y3 2x1 （ 2） yln 4x63 （ 3 ） y s i 2 x n 5 l3 n x 1
2.已知函数 fx ax1且 f11,求实数 a的值.
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3.复合函数(hánshù)的求导步骤
问题3：你能总结出简单复合函数(hánshù)的求导步骤吗？
第一步：由外向内将复合函数(hánshù)分解成两个(或多个)基本函数 (hánshù)，用到中间变量，即“分解”；
第二步：将分解成的基本函数进行求导，即“求导”； 第三步：将第二步所得各导数相乘，即“相乘”； 第四步：将中间变量还原成原来自变量的函数，即“回代”. 简记为：分解——求导——相乘——回代.
No 用到中间变量，即“分解”。第二步：将分解成的基本函数进行求导，即“求导”。第三步：将
第二步所得各导数相乘，即“相乘”。复合而成的.根据复合函数的求导法则，得。（1,1）处的 切线方程.。所以曲线(qūxiàn)在点（1,1）处的切线斜率为。1.求下列函数的导数.
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12/8/2021
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导，一定要明确是哪个变量对哪个变量求导，最后根据复合
函数的求导法则(fǎzé)求导.在熟练掌握复合函数的求导法则(fǎzé)
后，不必再写出复合函数的分解过程，中间步骤可以省略，
直接运用求导法则(fǎzé)，由外向内，逐层求导，直到关于自变 量求导.例如本例中（2）的解题过程可以写成
y x3 x 1 3 x 1 1 2 1 2 3 x 1 1 2 3 x 1 23 3 x 1
简单复合函数(hánshù)的求导法 则
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创设 问题，导入新课 (chuàngshè)
前面我们已经学习了基本初等函数的导数公式以及导 数的四则运算(sìzéyùn suàn)法则，对于简单函数求导，关键是 将函数关系式转化为能够直接利用基本初等函数的导数公
式.那么，对于非简单函数，例如y2x13 ，如何求其导数呢?
解决问题，构建 新 (ɡòu jiàn) 知1.复合函数(hánshù)的概念
问题1：你能给出复合(fùhé)函数的定义吗? 学生活动 对于函数 ysin2x ,若 yf(u)siun ,u(x)2x
则这三个函数之间具有怎样的关系呢? 给定 x的一个值,通过对应法则 ,就得到了一个
u的值，再通过对应法则 f ,就唯一确定了 y的值，这
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学生活动1 函数 ysin2x是由yf(u)siun和u(x)2x
复合而成的，请同学们求出 yx，yu和 u x, 并分析三者之
间具有怎样的关系呢？
： 讨论(tǎolùn)结果 yu cosu， ux 2x 2
y x si2 x n 2 sx ic no xs
2sixncoxs
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例3 求曲线 y xex1在点（1,1）处的切线方程.
解
yex1xex1
ex1xxe1x1
ex1xex1
所以曲线在点（1,1）处的切线斜率为 ky x1 2
故所求切线(qiēxiàn)方程为
即
y-12x1
y2x1
分析：解决本题的关键(guānjiàn)是求曲线的切线的斜率，由导数
讨论(tǎolùn)结 果：
yu 2u， ux 3
y 3 x 1 2 9 x 2 6 x 1
yห้องสมุดไป่ตู้ 18x6
易知， y u u x 2 u 3 6 3 x 1 1 x 6 8
因此， yx yuux
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抽象概括(gàikuò)，揭示法则
如果复合(fùhé)函数yfx是由函数 y f(u)和 u(x)
样 y是 x的函数.函数 ysin2x是由函数 yf(u)siun和 u(x)2x复合而成的.我们把函数 ysin2x 称为函数 yf(u)siun和 u(x)2x 的复合函数.
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抽象概括(gàikuò)，形成概念
一般地，对于两个函数 y和f(u) u(x)，ax给b定 的一x个值，就得
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2.复合(fùhé)函数的求导法则
问题(wèntí)2：如何求简单复合函数的导数呢？
思考：如何求复合函数 ysin2x的导数呢？ y(s2 ix)n co 2x成s立吗？
答：由于函数 ysin2x不是基本初等函数，所以 不能直接利用基本初等函数的导数公式进行求 导，因此得出y(s2 ix)n co 2x不s成立.
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例2 求下列(xiàliè)函数的导数.
1y2x13 2y 3x1
解 （1）函数 y2x13 是由函数 yu3和 u2x1
复合而成的.根据复合函数的求导法则，得
yx yu ux u 3 2 x 1 3 u 2 2 6 2 x 1 2
分析：本例题(lìtí)中的函数都是复合函数，求复合函数 的导数时，关键先要分清复合函数的复合关系，再根据复 合函数的求导法则进行求导，注意最后一定要“回代”.
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1
（2）函数 y 3x1是由函数 y u u2 与 u3x1复合而成的.
根据复合函数的求导法则，得
yx
yu
ux
u
1 2
3x
1
1
1
u2
3
2
3 2u
2
3 3x 1
➢ 方法总结：求复合函数的导数时，关键在于分清复合关系，
引入中间变量，明确复合层次，由外向内，将复合函数分解
为两个（或多个）基本函数，再对分解成的基本函数进行求
复合而成的， 那么复合函数
(hánshù)
yfx的导数 yx 和函数
y f (u)、u(x) 的导数 y u、 u x 之间具有如下关系：
yxfxyu ux
即
y x fxfu x
这就是复合函数的求导法则，即 y对 x的导数等于
y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积.
对于复合函数的求导法则可以推广到复合关系为两 层以上的情形.
1.复合函数(hánshù)的 概2.复念合函数的求导法则
3.复合函数的求导步骤
数学思想方法： 1.特殊到一般的思想 2.算法的思想
3.转化与化归的思想 4.整体的思想
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请各位老师(lǎoshī)批评指正！
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内容(nèiróng)总结
简单复合函数的求导法则。的函数.函数。的导数的乘积.。对于复合函数的求导法则可以推 广到复合关系为两层以上的情形.。第一步：由外向内将复合函数分解成两个(或多个)基本函数，
2 sixn co x ssixn co xs
2 c2 o x s s2 ix n
2co2sx
易知， yu u x 2co us2co 2xs
故
yx yuux
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学生活动2 已知函数 y3x12，显然函数 y3x12 是由函数 y u2和 u3x1复合而成的.请求出 yx, y u 和u x， 并分析各导数之间的关系.
4
yɡè)）si基nu与本u函 数x .
4
复合而成的.
（3）函数 ylnx(1)是由函数 ylnu与ux1复合而成的.
（4）函数 yco2(s3x2)是由函数 y u 2、 ucov与s v3x2复合 而成的.
➢方法总结：正确分解复合关系，关键在于把哪一部分看作一个整 体，合理引入中间变量，由外向内，层层分解，从而知道复合函数 是由哪些基本函数复合而成的.
到了 的值u，进而确定了
么称这个函数为函数
中间y变f(量(x.))
u
指的和数值位引，置入yy看中这作间的f样一变(复u个量)可整合u 体以函，u(数kěy,ǐy记)表(x作)示成
的函. 其x数中，那为
注：对复合(fùhé)函数进行分解时，由外向内，层层分解.
例如： y ex1
函数 y ex1是由 y eu 和 ux1复合而成的.