18.1 勾股定理

毕达哥拉斯定理——勾股定理 勾股定理 毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯本人以发现勾股定理( 毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达 哥拉斯定理)著称于世。 哥拉斯定理)著称于世。这定理早已为巴比伦人和 中国人所知( 中国人所知(在中国古代大约是战国时期西汉的数 算经》 学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一 段对话。商高说： 故折矩， 段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四， 故折矩 勾广三，股修四， 经隅五。 商高那段话的意思就是说： 经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三 角形的两条直角边分别为3 短边） 长边） 角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边） 径隅（就是弦）则为5 时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把 这个事实说成“勾三股四弦五” 这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是中国著 名的勾股定理.) .)， 名的勾股定理.)，不过最早的证明大概可归功于 毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯。他是用演绎法证明了直角三角形斜 边平方等于两直角边平方之和， 边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定 理(勾股定理)。 勾股定理)
毕达哥拉斯头像
毕达哥拉斯简介
毕达哥拉斯 BC?— (Pythagoras,572 BC? BC?)古希腊数学家 古希腊数学家、 497 BC?)古希腊数学家、 哲学家。 哲学家。无论是解说外在 物质世界， 物质世界，还是描写内在 精神世界， 精神世界，都不能没有数 学!最早悟出万事万物背 后都有数的法则在起作用， 后都有数的法则在起作用， 是生活在2500 2500年前的毕 是生活在2500年前的毕 达哥拉斯。 达哥拉斯。
修别墅可不是简单的，但是 修别墅可不是简单的， 也对，的确是哦！ 用处可多了！比如：农村房屋 也对，的确是哦！看来我 用处可多了！比如： ，接下 这必定用到勾股定理， 这必定用到勾股定理 得好好看看怎么用勾股定 的屋顶构造，就可以用勾股定 的屋顶构造， 来就来看看我们是如何利用 理，我以后要自己修一座 ;设计工程图纸也要 理来计算; 理来计算 勾股定理解决问题的！ 勾股定理解决问题的！ 勾股定理除了考 属于自己的别墅！ 用到勾股定理等等。 属于自己的别墅！ 用到勾股定理等等。 试有用， 试有用，在平时 哈哈….. 哈哈 有什么用啊？ 有什么用啊？ …..
教学重难点
重点
勾股定理的内容及证明。 勾股定理的内容及证明。
难点
勾股定理的证明。 勾股定理的证明。
我国古代3000多年前有一个叫商高的人发 现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结 得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。” 这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾） 的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边 （弦）的长是5。让学生画一个直角边为3cm和 4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
探究1 探究
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m， 宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
能通过。 解：能通过。
AB + CB = 5 > 2.2
2
2
探究2 探究
如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖 直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果 梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子低端B 也外移0.5m吗？
的关系， 你是否发现 32 +42 与 52 的关系， +12 52 2 2 的关系? 和 13 的关系? 对于任意的直角三角 形也有这个性质吗？ 形也有这个性质吗？
猜想
命题1 如果直角 三角形的两 命题1 直角边分别为a 斜边长为c 直角边分别为a、b斜边长为c， 那么 a2 + b2 = c2
难点
勾股定理的灵活运用。 勾股定理的灵活运用。
勾股定理的文字叙述；勾股定理的 符号语言及变形。
知识要点
勾股定理的文字叙述： 勾股定理的文字叙述：如果直角三角形 的两直角边分别为a 斜边长为c 的两直角边分别为a，b，斜边长为c，那 2 2 2 么 a + b = c。 勾股定理的符号叙述： ABC中 勾股定理的符号叙述：在△ABC中， C=90° 的对边为a ∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c， 则 。 a2 + b 2 = c2 勾股定理的变形： ABC中 勾股定理的变形：在△ABC中， C=90° 的对边为a ∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c， 则 -a a 2 = c 2 ，b 2 b 2 = c2 。 2 −
Rt△ABC， C=90° 例：在Rt△ABC，∠C=90° 已知a=b=5 a=b=5， （1）已知a=b=5，求c。 （2）已知a=1，c=2，求b。 已知a=1 c=2， a=1， 已知c=17 b=8， c=17， （3）已知c=17，b=8，求a。 已知a b=1： c=5， （4）已知a：b=1：2，c=5，求a。 已知b=15 b=15， A=30° （5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。
a2 + b
2
= c2
课堂小结
1.勾股定理的内容。 1.勾股定理的内容。 勾股定理的内容 如果直角三角形的两直角边分别为a 如果直角三角形的两直角边分别为a，b， 斜边长为c 斜边长为c，那么 a 2 + b 2 = c 2 2.勾股定理的证明。 2.勾股定理的证明。 勾股定理的证明 根据面积相等原理， 根据面积相等原理，四个直角三角形的面 积加小正方形的面积等于大正方形的面积。 积加小正方形的面积等于大正方形的面积。
A
D
解：BC=8cm
B
C
教学目标
知识与能力
树立数形结合的思想。 树立数形结合的思想。
过程与方法
会用勾股定理解决简单的实际问题。 会用勾股定理解决简单的实际问题。
情感态度与价值观
树立数形结合的思想。 树立数形结合的思想。
教学重难点
教学重点
勾股定理的应用。 勾股定理的应用。
教学难点
实际问题向数学问题的转化。 实际问题向数学问题的转化。
证明：如图所示，根据面积相等的原理有： 证明：如图所示，根据面积相等的原理有： 即： 方形ABCD = 4S直角三角形 + 小正方形 4S直 正
D C
1 2 c = 4 × ab + (b − a ) 2 2 2 2 c = 2ab + b − 2ab + a
2
c2 = a2 + b2
b A c
a
B
知识要点
经过证明确认正确的命题叫做定理 经过证明确认正确的命题叫做定理 （theorem）。 theorem）。 命题1与直角三角形的边有关， 命题1与直角三角形的边有关，我们把 它称为勾股定理， 它称为勾股定理，即：如果直角三角形的两 勾股定理 直角边分别为a 直角边分别为a，b斜边长为c，那么 斜边长为c
课堂小结
勾股定理的简单计算。 勾股定理的简单计算。
随堂练习
1.填空： 1.填空： 填空 Rt△ABC， C=90° a=8，b=15， （1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 17 。 Rt△ABC， B=90° a=3，b=4， （2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 7 。 Rt△ABC， C=90° c=10， b=3： （3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4， 则a= 6 ，b= 8 。 一个直角三角形的三边为三个连续偶数， （4）一个直角三角形的三边为三个连续偶数， 则它的三边长分别为 6, 8,10 。 已知直角三角形的两边长分别为3cm 5cm， 3cm和 （5）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm， 则第三边长为 4或 34cm 。 已知等边三角形的边长为2cm 2cm， （6）已知等边三角形的边长为2cm， 则它的高为 3 ，面积为 3 。
新课导入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他 星球的“ 为此向宇宙发出了许多信号， 星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如 地球上人类的语言、音乐、各种图形等。 地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数 学家华罗庚曾建议， 学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图 如果宇宙人是“文明人” 形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会 识别这种语言的。 识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的 重大意义。尤其是在两千年前， 重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的 成就。 成就。
教学目标
知识与能力
树立数形结合的思想、分类讨论思想。 树立数形结合的思想、分类讨论思想。
过程与方法
会用勾股定理进行简单的计算。 会用勾股定理进行简单的计算。
情感态度与价值观
树立数形结合的思想、分类讨论思想。 树立数形结合的思想、分类讨论思想。
教学重难点
重点
勾股定理的简单计算。 勾股定理的简单计算。
解： ∠ C = 90 ° Q
∴ (1) c = ∴ ( 2 )b = ∴ ( 3) a =
2
a2 + b2 = c2 − a2 =
52 + 52 = 2 2 − 12 =
50 = 5 2 3 225 = 15
c 2 − b 2 = 17 2 − 8 2 =
∴ ( 4 ) 设公比为 x , 则有 a = x , b = 2 x , 即 x 2 + (2 x ) = 5 2 ∴x= 5即 a = 5 1 2 ∴ ( 5 )由 a = c 则有 a 2 + 15 2 = (2 a ) 2 15 30 ∴a = 3, c = 3 3 3
教学目标
知识与能力
培养在实际生活中发现问题总结规律的 意识和能力。 意识和能力。
过程与方法
了解勾股定理的发现过程， 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定 理的内容，会用面积法证明勾股定理。 理的内容，会用面积法证明勾股定理。
情感态度与价值观
介绍我国古代在勾股定理研究方面所取 得的成就，激发爱国热情，促其勤奋学习。 得的成就，激发爱国热情，促其勤奋学习。
2.已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 的边长是6cm 2.已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 已知 求等边△ABC的高 的高。 （1）求等边△ABC的高。 （2）求S△ABC。 ABC。
C
答案： 答案：（1）3 3cm
9 3cm 2 （ 2）
A D B
3.已知：如图，四边形ABCD ABCD中 AD∥BC， 3.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC， 已知 AD⊥DC，AB⊥AC， B=60° CD=1cm， AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm， BC的长 的长。 求BC的长。
随堂练习
1.如图，直角△ABC的主要性质是 的主要性质是： C=90°，（用 1.如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用 如图 几何语言表示） 几何语言表示） A 两锐角之间的关系： （1）两锐角之间的关系： ； D ∠A + ∠B = 90° 为斜边中点， （2）若D为斜边中点，则斜边中线 ； B=30° （3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜 1 C B ； 边： CD = AB 2 （4）三边之间的关系： 三边之间的关系： 。
例：已知：在△ABC中， 已知： ABC中 C=90° ∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对 边为a 边为a、b、c。 求证： 求证： 2 + b 2 = c 2 。 a
勾股定理的证明方法，达300余 勾股定理的证明方法， 300余 种。你有那些方法证明呢？ 你有那些方法证明呢？
赵爽指出： 赵爽指出： 按弦图， 按弦图，又可以 勾股相乘为朱实 二，倍之为朱实 四。以勾股之差 相乘为中黄实。 相乘为中黄实。 加差实， 加差实，亦成弦 实。
1 AC = AB 2
AB = AC + CB
2 2
2
2.△ABC的三边a 2.△ABC的三边a、b、c， 的三边 ∠B b = a +c 若满足 b 2 > a 2 + c 2 ，则∠B是 若满足
2 2 2，则
=90° =90°； 钝 锐 角； 角。
若满足
b < a +c
2 2
2 ， 则 ∠ B是
不是。 解：不是。
OB 2 = AB 2 − OA2 = 9 − 6.25 = 2.75 6.25 + 2.75 = 9 ≠ 4 +
(
பைடு நூலகம்2.75 + 0.5
)
2
≈ 8.67
课堂小结
用勾股定理解决简单的实 际问题。 际问题。
随堂练习
1.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45 1.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45 小明和爸爸妈妈十一登香山 度的坡路走了500 500米 看到了一棵红叶树， 度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这 棵红叶树的离地面的高度是 250 2 米。 2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4 2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4 如图 米，则这两株树之间的垂直距离是 6 米， C 水平距离是 2 3 米