高考数学上海卷(理)全解全析

全国普通高等学校招生统一考试（上海）
数学（理工农医类） 全解全析
一 填空（4’×11）
1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)
【解析】由11102x x -<-<⇒<<.
2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22A
B A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.
3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +
【解析】由2(2)11i
z i z z i i
=-⇒=
=++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2
【解析】令1
2(4)()44(0)2f t f
t t t t -=⇒=⇒=>⇒=.
5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→
b |＝ .
【解析】
222||()()2||||2||||cos
7||73
a b a b a b a a b b a b a b a b a b π
+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π
2+x )的最大值是 .
【答案】2
【解析】由max ()cos 2sin()()26
f x x x x f x π
=+=+
⇒=.
7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】
34
【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：36C ；
可构成三角形的个数为：3
336
4
3
15C C C --=，所以所求概率为：333643
3
6
34C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0 的x 的取值范围是 . 【答案】(1,0)
(1,)-+∞
【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；
9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==
【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤
1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；
11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1
x 的图像交点的横坐标，若
x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4
x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线
y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)
(6,)-∞-+∞
【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x
+=，原方程的实根是曲线3y x a
=+与曲线4y x
=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单
位而得到的。

若交点(x i ,4
x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，因直线y ＝x 与4y x =交点为：(2,2),(2,2)--；所以结合图象可得：
3300
2 2 (,6)(6,)22a a x a x a a x x ><⎧⎧⎪⎪
+>-+<⇒∈-∞-+∞⎨⎨⎪⎪≥-≤⎩⎩
或；
二 选择（4’×4）
12.组合数C r
n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）
A ．r +1n +1C r -1n -1
B ．(n +1)(r +1)
C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1
D ．n r C r -1n -1
【答案】D 【解析】由1
1!(1)!!()!(1)![(1)(1)]!r
r n n n n n n C C r n r r r n r r
---=
==-----.
13. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l
与平面α垂直”的（ ）条件
A ．充要
B ．充分非必要
C ．必要非充分
D ．既非充分又非必
要
【答案】C
【解析】直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直，
即充分性不成立；
14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3
2
的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值
是（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5
4
【答案】B
【解析】由11311 223||1||1
2
a a S a q a q a ⎧
=⎪⎧=-+⎪⎪
-⇒⇒=⎨⎨⎪⎪<⎩-<⎪⎩. 15.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x ,y )、P ’(x ’,y ’)满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）
A ． A
B ︵ B ． B
C ︵ C ． C
D ︵ D ． DA ︵
【答案】D
【解析】依题意，在点Q 组成的集合中任取一点，过
该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的 左上方区域（权且称为“第二象限”）与点 Q 组成的集合无公共元素，这样点Q 组成的
集合才为所求. 检验得：D ． DA ︵
三. 解答题（本大题满分90分）
16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的 大小（结果用反三角函数表示） 【解析】
过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接CO . EF ⊥平面ABCD ，
∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分
由题意，得11
12
EF CC ==.
1
12
CF CB == ∴ 5DF =. ……8分
EF DF ⊥， ∴5
tan 5
EF EDF DF ∠=
=. ……10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是5
arctan
5
. ……12分 17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120° 的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某 人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米， 求该扇形的半径OA 的长（精确到1米） 【解析】
[解法一] 设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分
由题意，得 500CD =(米)，300DA =（米），
A
E B 1
D 1 D C 1
A 1
B
C
A
O
D
B
C
A
O
D
B
C
F
x
y
O
· B
A C ·
·
D ·
60CDO ∠=︒ ……4分
在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= ……6分 即，2221
500(300)2500(300)2
r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分 解得 4900
44511
r =
≈（米） 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分
[解法二] 连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， ……2分
由题意，得500CD =（米），
300AD =（米）
，120CDA ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，
222
2cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒
2221
50030025003007002
=++⨯⨯⨯
=. 700AC ∴=（米）. ……6分
22211
cos 214
AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅. ……9分
在直角△HAO 中，350AH =（米），11
cos 14
HAO ∠=
， ∴ 4900
445cos 11
AH OA HAO =
=≈∠（米）.
答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分
18.(6’+9’)已知双曲线2
2: 14
x C y -=，P 为C 上的任意点。

（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为(3,0)，求||PA 的最小值； 【解析】
（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分
点11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别是
11|2|5x y -和11|2|
5
x y +， ……4分 它们的乘积是
11|2|5
x y -⋅221111|2||4|4
555x y x y +-==. A
O
D
B
C
H
点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 （2）设的坐标为(,)x y ，则
222||(3)PA x y =-+ ……8分
22
(3)14x x =-+-25124
()455
x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分
∴ 当125x =
时，2
||PA 的最小值为45
，
即||PA . ……15分 19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －
12|x |
⑴ 若f (x )＝2，求x 的值
⑵ 若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围 【解析】
（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1
()22
x x f x =-
……2分 由条件可知1222
x x
-
=，即222210x x
--=
解得 21x
= ……6分
20log (1x x >=∵∴ ……8分
（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022
t t t
t t m -
+-≥ ……10分 即24(21)(21)t
t
m -≥--，2210t ->∵，2(21)t
m ≥-+∴ ……13分
[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴
故m 的取值范围是[5,)-+∞ ……16分
20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点
⑴ 若a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标
⑵ 若点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝1
2ab
，
求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上 ⑶ 若动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝
1
2ab
，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由
【解析】
（1）当1,2,2a b p ===时，
解方程组242x y y x
⎧=⎨=⎩ 得8
16x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16) ……3分
（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x a
b y a ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
即点Q 的坐标为1(,)b
a a
……5分
P ∵时椭圆上的点，即2214a b += 222214
4()4()(1)1b b a a a
-=-=∴ ，
因此点Q 落在双曲线2
2
441x y -=上 ……8分 （3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠ ……10分
将1(,)b Q a a
代入方程，得2212()b q c a a =-，即22
22b qa qca =- ……12分
当0c =时，2
2b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；
当12qc =
时，22211
()24a b c c
-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上； 当102
qc qc >≠且时，2
221()21142a b c q c c
-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；
当0qc <时2
221()211()
42a b c q
c c
--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上； ……16分
21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩
⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3
a n d ， a n ≥3
⑴ 当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式
⑵ 当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100
⑶ 当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1
m
，a 6m+2
－1
m ，a 9m+2－1m
成等比数列当且仅当d ＝3m
【解析】
（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +
=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩
……3分
(2) 当101a <<时，
211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =
+，1623
a
a =+， 1
733
a a =
+，,1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133
k k a
a +-=+……6分
10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =+++++++
+++∴
11
11131(36)(6)(
6)(6)33a a a a a =+++++++++ 11311
1
(31)6333
3
a a =++++
++⨯ 13111
(11)19823
a =-+ ……10分
（3）当3d m =时，211
a a m
=+
311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 1321
3m a a m m +=+∴；
11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 16221
9m a a m m +=+∴；
1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，19231
27m a a m m
+=+∴
211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，19231
27m a a m m
+-=∴
综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921
m a m
+-
是公比为1
3m
的等比数列 ……13分
当31d m ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，
1623133,3,m a a d m ++⎛
⎫=
+∈+ ⎪⎝
⎭1633
3
10,,m a d a d m +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
192
3
3
3113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝
⎭ ……15分
由于3210m a m +-<，6210m a m +->，921
0m a m +-> 故数列23262921111
,,,,m m m a a a a m m m m
+++----不是等比数列
所以，数列23262921111
,,,,m m m a a a a m m m m
+++----成等比数列
当且仅当3d m = ……18分。