Cauchy收敛准则

Cauchy收敛准则
Cauchy数列：设x n为⼀数列，如果对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N，使得
|x m−x n|＜ε，∀m,n＞N
则称x n为Cauchy数列。

Cauchy收敛准则：数列x n收敛的充分必要条件是它是Cauchy数列。

证明：先证必要性，设x n为收敛于A的数列，由数列极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，当m,n＞N时有 |x m−A|＜ε，|x_n-0|＜ε
所以 |x m−x n|＜2ε
由ε的任意性，数列x n是Cauchy数列。

下证充分性，设数列x n是Cauchy数列。

取ε=1，存在正整数N，使得|x m−x n|＜1，∀m,n＞N
取n=N+1，有|x m−x N+1|＜1，∀m＞N，从⽽|x m|＜1+|x N+1|，∀m＞N
|x k|，则|x n|≤M，所以数列x n有界，即存在上下极限。

令M=1+∑N+1
k=1
由定义，−ε＜x n−x m＜ε，∀m,n＞N
若m给定，令n→∞，取下极限−ε≤lim(下极限)n→∞x n−x m≤ε
令m→∞，取上极限−ε≤lim(下极限)n→∞x n−lim(上极限)n→∞x m≤ε
由ε的任意性，数列x n上下极限相等，即数列x n收敛。

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