四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 二次函数的简

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
例1 求把二次函数y ＝x 2
－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．
解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为y ＝2(x －1)2
－1，其顶点坐标为(1，－1)．
（1）把函数y ＝2(x －1)2
－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y ＝2(x －3)2
－2．
（2）把函数y ＝2(x －1)2
－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y ＝2(x ＋1)2
＋2． 2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关
于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1． 解：（1）如图2．2－7，把二次函数y ＝2x 2
－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图
象的顶点位置，不改变其形状．
由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2
－1，可知，函数y ＝
2x 2
－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得
到图象的顶点为A 1(－3，1)，所以，二次函数y ＝2x 2
－4x
＋1的图象关于直线x ＝－1对称后所得到图象的函数解
析式为y ＝2(x ＋3)2－1，即y ＝2x 2
＋12x ＋17． （2）如图2．2－8，把二次函数y ＝2x 2
－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．
由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，可知，函数y ＝2x 2
－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)，
所以，对称后所得到图象的顶点为B (1，3)，且开口向下，所以，二次函数y ＝2x 2
－4x ＋1的
图象关于直线y ＝1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝－2(x －1) 2＋3，即y ＝－2x 2
＋4x ＋1．
图2.2－7
图2.2－8
练习：
1．把函数y ＝－(x －1)2
＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 。

2.函数错误!未找到引用源。

的图象关于直线错误!未找到引用源。

对称的图象所对应的函数解析式是 。

3. 函数错误!未找到引用源。

的图象关于点（1,0）对称的图象所对应的函数解析式是 。

4. 如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B Ｃ相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如
图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.
（第30题图①）
（第30题图②）
（第4题图①） （第4题图②）
5.求函数错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

上的最小值。